Главная Случайная страница


Категории:

ДомЗдоровьеЗоологияИнформатикаИскусствоИскусствоКомпьютерыКулинарияМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОбразованиеПедагогикаПитомцыПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРазноеРелигияСоциологияСпортСтатистикаТранспортФизикаФилософияФинансыХимияХоббиЭкологияЭкономикаЭлектроника






Діаграма граничних напружень. Коефіцієнт запасу втомної міцності

 

Зазвичай, розрахунки на міцність деталей, що працюють при змінних напруженнях, виконують як перевірочні. При такому розрахунку визначають фактичні коефіцієнти запасу міцності для одного чи декількох потенційно небезпечних перерізів деталі. Умова міцності має вигляд

. (11.12)

Величина необхідного коефіцієнта запасу міцності залежить від ряду обставин (призначення деталі, умови роботи, точності визначення діючих навантажень і т.п.) і вибирається згідно із прийнятими нормами чи існуючим досвідом експлуатації деталі.

Коефіцієнт запасу міцності дорівнює відношенню границі витривалості, визначеної для деталі , до номінального значення максимального напруження, що виникає в небезпечній точці деталі. Номінальним є значення напруження, що визначене методами опору матеріалів (без врахування концентрації і т.п.).

Найпростіше визначити у випадку симетричного циклу, оскілки границі витривалості матеріалу при таких циклах відомі:

- при згині ; (11.13)
- при крученні . (11.14)

При асиметричному циклі ситуація ускладнюється, тут граничний стан характеризується двома величинами: середнім напруженням і відповідною граничною амплітудою. Для визначення коефіцієнтів запасу використовують діаграму граничних напружень (діаграму Хея). Її будують в координатах (рис. 11.5). Всередині області, що обмежена координатними осями , і кривою граничних напружень не відбувається руйнування при необмеженій кількості циклів навантаження.

Зазвичай діаграму граничних напружень схематизують. Видаляють ту область де максимальні напруження перевищують границю текучості матеріалу. Для цього через точку , що відповідає границі текучості, під кутом проводять пряму (рис. 11.5), рівняння якої

. (11.15)

Початкову ділянку діаграми замінюють прямою, яка проходить через дві точки, що відповідають симетричному граничному циклу і граничному пульсуючому циклу . Рівняння цієї прямої має вигляд

, (11.16)

де - коефіцієнт чутливості до асиметрії циклу.

Ламана лінія (рис. 11.5) обмежує область безпечної роботи конструкції: на ділянці - рівнянням (11.15); на ділянці - рівнянням (11.16).

Нехай задано робочий режим деталі, що характеризується змінним напруженням і сталим напруженням . Тоді цикл в стандартному зразку, що є рівноміцним даній деталі, визначається середнім напруженням

 

і змінним напруженням тч. (рис. 11.6)

.  

Граничні значення постійної і змінної складових напруження тч. (рис. 11.6)

, . (11.17)

Аналітичні вирази для коефіцієнтів запасу міцності отримаємо при спільному розв’язуванні рівнянь прямих ділянок і , відповідно, і із врахуванням виразів (11.17) , , звідки

, . (11.18)

Із двох значень , що визначаються виразами (11.18), шуканим є менше значення.

При асиметричних циклах кручення аналогічним чином отримаємо

, . (11.19)

При дії згину із крученням користуються загальноприйнятою на даний час емпіричною залежністю Гафа-Поларда

. (11.20)

 

12 РОЗРАХУНКИ ПРИ УДАРНИХ
НАВАНТАЖЕННЯХ

 

 

 


Ударом називають навантаження, що передається тілу протягом малого проміжку часу і викликає в ньому значні прискорення, а отже і значні сили інерції. За характером прикладання сили до стержня розрізняють поздовжній, поперечний та крутний удари.

 

12.1 Технічна теорія удару

 

Визначення прискорень частинок матеріалу при ударі досить проблематичне. Тому для розв’язання задач зазвичай використовують закон збереження енергії. При цьому будують спрощену розрахункову модель системи, що базується на кількох припущеннях, які в більшості випадків забезпечують достатній для інженерних розрахунків рівень точності.

  1. Напруження, що виникають в системі при ударі, не перевищують границю пропорційності матеріалу, тобто завжди можна використовувати закон Гука.
  2. Удар будемо вважати ідеально непружним (без відскакування). Тобто падаюча маса після удару наче прилипає до тіла, що зазнає удару, після чого вони продовжують рухатися разом.
  3. Місцеві деформації, що виникають в місці контакту тіл не враховуємо.
  4. Розглядаємо випадки, коли маса пружного тіла, що зазнає удару, мала порівняно з масою тіла, що удару завдає. Тому пружну систему вважаємо безмасовою. Разом з цим нехтуємо явищем розповсюдження хвиль деформацій.
  5. Вважаємо, що кінетична енергія, падаючого тіла повністю перетворюється у потенціальну енергію пружної деформації тіла, яке сприймає удар.
  6. Закон розподілу напружень і деформацій по об’єму тіла, яке зазнає удару, залишається таким самим як і при статичній дії сил.

На основі цих припущень визначимо переміщення і напруження, що виникають в стержнях при ударі.

Зазначимо, що в рамках технічної теорії удару можна врахувати вплив маси пружної системи. Це підвищує точність розрахунків.

 

 

Поздовжній удар

 

Нехай на стержень довжиною з висоти вільно падає вантаж (рис. 12.1,а). Абсолютне видовження стержня, що спричинене динамічною поздовжньою силою , позначимо . Оскільки швидкість падаючого вантажу в кінці удару дорівнюватиме нулю, то зміна кінетичної енергії дорівнюватиме роботі сили , тобто

, (12.1)

а потенціальна енергія пружної деформації стержня

. (12.2)

Користуючись законом збереження енергії, прирівняємо праві частини (12.1) і (12.2)

. (12.3)

Використовуючи вираз закону Гука , визначимо і підставимо у формулу (12.3):

. (12.4)

Врахуємо, що абсолютне видовження стержня при статичному прикладанні вантажу (рис. 12.1,б)

,  

тоді розділивши ліву і праву частини рівняння (12.4) на жорсткість стержня прийдемо до зведеного квадратного рівняння

.  

Розв’язавши його відносно , матимемо

. (12.5)

В останній формулі слід остаточно прийняти знак плюс, оскільки знак мінус не відповідає фізичному змісту задачі (очевидно, що ).

Позначивши динамічний коефіцієнт при поздовжньому ударі як

, (12.6)

отримаємо

, (12.7)

а враховуючи лінійний зв’язок між напруженнями і деформаціями

, (12.8)

де - напруження, що виникає при статичному прикладанні навантаження.

Вираз для динамічного коефіцієнта (12.6) можна записати в іншому вигляді, якщо скористатися залежністю між висотою та швидкістю у момент зіткнення. Знаючи, що , звідки , матимемо

. (12.9)

Коли навантаження прикладається раптово ( , ), то , а ; .

Якщо вантаж падає з великої висоти , то вираз для динамічного коефіцієнта спрощується:

. (12.10)

Поперечний удар

 

Нехай на балку з висоти вільно падає вантаж (рис. 12.2,а). Розв’язуючи задачу так само, як і при поздовжньому уда-рі, прийдемо до рівняння

 

. (12.11)

Вираз (12.11) однаковий для довільних умов на краях балки. Можуть змінюватися лише абсолютні значення і .

Розв’язавши рівняння (12.11) відносно , одержимо

, (12.12)

де - прогин балки при статичному прикладанні навантаження (ри.с12.2,б);

(12.13)

- динамічний коефіцієнт при поперечному ударі.

 

 

12.4 Крутний удар

Нехай на вал через кривошип передається ударне навантаження (рис. 12.3). У цьому випадку дотичні напруження в точках вала визначають за формулою

, (12.14)

 

де - динамічний коефіцієнт; - переміщення точки співудару в напрямі удару під дією статично прикладеної сили .

Розглядаючи лише кручення вала та вважаючи, що кривошип абсолютно жорсткий, маємо

,  

де - кут закручування торця вала під дією крутного моменту .

Часто ударне кручення спричинюється не падінням вантажів, а силами інерції мас, що обертаються з великим прискоренням при миттєвому гальмуванні. Наприклад, при гальмуванні швидко-обертових валів, що несуть маховики (рис. 12.4).

Кінетична енергія маховика при обертовому русі

,  

де ‑ полярний момент інерції маси маховика, що обертається з кутовою швидкістю .

Потенціальна енергія деформації кручення вала

,  

де - кут закручування вала.

Тоді закон збереження енергії набирає вигляду

,  

Звідки визначимо крутний момент, що діє в перерізах вала

. (12.15)

Далі за відомими формулами, можемо визначити дотичні напруження та кути закручування перерізів вала.

 

 

12.4 Врахування маси стержня, що зазнає удару

 

Якщо власна вага стержня Q і вага падаючого вантажу P (рис.12.1) – величини одного порядку, то інерцію маси стержня слід враховувати, оскільки це може суттєво вплинути на результати розрахунків. Якщо стержень безмасовий

. (12.16)

Якщо врахувати масу стержня, але привести її до місця удару, то

, (12.17)

де - коефіцієнт приведення розподіленої маси стержня до точки удару.

Розділивши (12.17) на (12.16), отримаємо поправку , яку треба внести до формули (12.6)

, (12.18)

тоді формула динамічного коефіцієнта із врахуванням маси стержня набуде вигляду

. (12.19)

Тепер знайдемо вираз для визначення коефіцієнта приведення .

Кінетична енергія пружної системи безпосередньо після удару обчислюється за формулою

,  

де - кінетична енергія елементарної частинки системи вагою , що рухається відразу після удару з швидкістю .

Величину зосередженої маси приймають такою, щоб її кінетична енергія дорівнювала , тобто

, звідки .  

В рамках технічної теорії удару приймаємо, що

,  

де - статичне переміщення перерізу в місці удару; - те ж саме в довільному перерізі.

Остаточно отримуємо

. (12.20)

Наприклад, для стержня рис. 12.1 отримаємо

 

.  

Аналізуючи вирази для динамічних коефіцієнтів при різних видах ударного навантаження бачимо, що для зниження напружень слід прагнути до збільшення податливості стержня, що досягається шляхом збільшення його довжини, застосуванням буферних амортизуючи пристроїв, заміною одного матеріала іншим з більш низьким модулем пружності. Порівнюючи формули (12.6) і (12.9) бачимо, що врахування маси стержня знижує розрахункові напруження при ударі, що пов’язано із втратами кінетичної енергії падаючого вантажу при непружному ударі.

 

 

Міцність матеріалів при ударі

 

При ударі, внаслідок того що швидкості навантаження великі, утворення і розвиток пластичної деформації матеріалу зразка чи деталі утруднене. Тому значення і матеріалу підвищуються, натомість різко знижуються його характеристики пластичності. Схематично діаграми розтягу одного і того ж матеріалу при статичному (лінія 1) і ударному (лінія 2) навантаженнях показані на рис. 12.5. Однак, зважаючи на наближеність формул (12.6 – 12.8) розрахунок на міцність при ударі виконуємо за статичними характеристиками міцності матеріалу.

Зменшення пластичності матеріалу при ударі часто призводить до того, що матеріал, який зазнає при статичному руйнуванні великих пластичних деформацій, руйнується як крихкий при ударі. Для виявлення схильності матеріалу до крихкого руйнування при ударі виконують ударну пробу, за допомогою якої визначають так звану ударну в’язкість матеріалу, що характеризує його здатність поглинати механічну енергію при ударі. Для випробування застосовують зразки стандартної форми. Один з видів таких зразків показано на рис. 12.6.

Зразок піддають ударному руйнуванню на копрі маятникового типу (рис. 12.7).

Ударну в’язкість визначають як роботу , затрачену на руйнування зразка при ударному згині, віднесену до робочої площі його поперечного перерізу

 

 

 
 

.

(12.21)

Чим більша , тим краще матеріал опирається удару.

На величину ударної в’язкості суттєво впливає температура, зі зниженням якої - зменшується, інколи дуже різко. Також значний вплив на величину ударної в’язкості мають залишкові напруження, що можуть з’явитися в поверхневих шарах матеріалу при механічній або термохімічній обробці, хімічний склад сталей (особливо збільшення кількості вуглецю і фосфору), що слід мати на увазі при проектуванні конструкцій.

 
 

 


БАЛКА НА ПРУЖНІЙ ОСНОВІ

 

 

 


13.1 Модель пружної основи

 

При розрахунках трубопроводів, що лежать на ґрунті, залізничних рейок і шпал, резервуарів, стрічкових фундамен-тів будівельних споруд, корпусів суден за стержневою теорі-єю, покриттів автомобільних доріг та в інших подібних випа-дках доводиться мати справу з балками, які на всій своїй довжині опираються на основу, що може деформуватися і має пружні властивості (рис. 13.1,а). Зрозуміло, що балка на пруж-ній основі є статично невизначеною системою, в якій неможливо знайти внутрішні зусилля без розгляду деформацій.

Для розрахунку балки дуже важливими є пружні властивості основи. Найбільш простою моделлю основи є модель Вінклера. Її можна уявити як сукупність пружин, що суцільно розподілені і не зв’язані між собою (рис. 13.1,б). Вважатимемо, що пружини припаяні до балки і при від’ємному прогині реакція основи буде спрямована вниз. Такі зв’язки балки й основи називають двосторонніми. Для такої основи реакція в кожній точці підошви балки буде пропорційною прогину в цій точці, а погонну реакцію основи можна подати у вигляді

, (13.1)

де - ширина балки, - коефіцієнт жорсткості пружної основи (коефіцієнт постелі).

Коефіцієнт постелі визначається експериментально, шляхом втискування в основу (ґрунт) жорсткого штампу. Чисельно він дорівнює силі, що необхідна для втискування в ґрунт штампа з площею одиниця на глибину ; розмірність коефіцієнта ( ).

Отже, інтенсивність реакції в кожній точці основи пов’язана з прогинами балки. Тому для розв’язку задачі необ-хідно спочатку знайти рівняння пружної лінії , а вже потім формули для визначення згинного моменту і поперечної сили. Хід розв’язку виявляється зворотнім до звичайного.

 

 

13.2 Диференціальне рівняння балки на пружній основі

 

Знайдемо рівняння зігнутої осі для балки сталого поперечного перерізу (рис. 13.1,а), яка лежить на пружній основі
і навантажена розподіленим навантаженням інтенсив-
ності .

Сумарна інтенсивність розподіленого навантаження в деякій точці балки

. (13.2)

Для отримання диференціального рівняння використа-ємо формулу (6.35), яка із врахуванням (13.2) набуде вигляду

,  

або

, (13.3)

де позначено

.  

Загальний інтеграл рівняння (13.3) має вигляд

, (13.4)

де - загальний інтеграл однорідного рівняння (при ); - частковий розв’язок, що залежить від вигляду правої частини рівняння, тобто від навантаження .

Сталі інтегрування , , і визначають з умов навантаження та опирання балки.

В частковому випадку навантаження, що розподілене за лінійним законом

, (13.5)

розв’язок також можна представити у вигляді лінійної функції

. (13.6)

Шляхом підстановки (13.5) і (13.6) в (13.3) отримаємо

і .

Отже, в такому випадку навантаження

. (13.7)

Функція визначає осадку основи від навантаження , що прикладене безпосередньо до поверхні основи (рис. 13.2). Очевидно, що вибір часткового розв’язку у вигляді (13.7) можливий не лише для лінійного закону (13.5), але і для інших , якщо виконується умова рівності нулю четвертої похідної від функції , що випливає безпосередньо з рівняння (13.3).

 

 

Последнее изменение этой страницы: 2016-07-26

lectmania.ru. Все права принадлежат авторам данных материалов. В случае нарушения авторского права напишите нам сюда...