Теоремы о пределах числовых последовательностей.

1) Теорема о пределе суммы:

Пусть lim a_n=a lim b_n=b Þ lim a_n+b_n=a+b

^{n®+¥ n®+¥ n®+¥}

Докозательство: a_n=a+a_n b_n=b+b_n Сложим a_n+b_n=a+b+a_n+b_n=a+b+j_n Ûlim a_n+b_n=a+b

^n®+¥

2) Теорема о произведение пределов:

Пусть lim a_n=a lim b_n=b Þ lim a_nb_n=ab

^{n®+¥ n®+¥ n®+¥}

Доказательство: a_n=a+a_n b_n=b+b_n Þ a_nb_n=(a+a_n)(b+b_n) a_nb_n=ab+ab_n+ba_n+a_nb_n=ab+j_n lim a_nb_n=ab что и

^n®+¥

требовалось доказать.

2) Теорема о пределе частного

Пусть lim a_n=a lim b_n=b b¹0 lim a_n/b_n=a/b

^{n®+¥ n®+¥ n®+¥}

Доказательство: a_n=a+a_n b_n=b+b_n так как b¹0, то $N₁: "n>N₁Þb_n¹0

_bn

₀^{| (////////}_b^·/////////) x

a_n/b_n=a_n/b_n-a/b+a/b=a/b+(ba_n-ab_n)/bb_n=a/b+[b(a+a_n)-a(b+b_n)]/b(b+b_n)=a/b+j_n/b(1+b_n/b)

lim a_n/b_n=a/b

^n®+¥

Лекция №4

Тема: Бесконечно большие последовательности .

а_n=(-1)ⁿ – не имеет предел.

{b_n}={1,1…}

{a_n}={-1;1;-1;1…} – предел не существует.

Бесконечно большие последовательности.

a_n=2ⁿ

$N:"n>N Þ a_n>ε

b_n=(-1)ⁿ2ⁿ

$N:"n>N Þ |b_n|>ε

c_n=-2ⁿ

$N:"n>N Þc_n<-ε

Определение (бесконечно большие последовательности)

1) lim a_n=+¥, если "ε>0$N:"n>N Þ a_n>ε где ε- сколь угодно малое.

^n®¥

2)lim a_n=-¥, если "ε>0 $N:"n>N Þ a_n<-ε

^n®+¥

3) lim a_n=¥ Û "ε>0 $N:"n>N Þ |a_n|>ε

^n®+¥

Последовательностью имеющий конечный предел называют сходящимися. В противном случае последовательность называют расходящимися. Среди них есть последовательности, которые расходятся в бесконечность. О них мы говорим, что они имеют бесконечный предел.

Доказательство:

a_n=2ⁿ

Берём "ε>0; хотим 2ⁿ>ε

n>log₂ε

N=[log₂ε]+1

Правило формирования обратного утверждения: нужно поменять местами значки " и $, а знак неравенства на дополнительный.

Пример:

Утверждение lim a_n=a<¥ $aÎR "ε>0 $NÎN:"n>N Þ |a_n-a|<ε

^n®¥

Обратное утверждение "aÎR $ε>0 "NÎN:$ n>N Þ |a_n-a|<ε

Всякая бесконечно большая не ограниченная. Обратное утверждение неверно.

b_n{2;0;2ⁿ;0;2³;0….}

Теорема (об ограниченной сходящейся последовательности)

Пусть $lim a_n=a<¥ Þ a_n - ограниченная

^n®+¥

Доказательство:

Дано:

"ε>0$N:"n>N Þ |a_n-a|<ε

Раз "ε>0 возьмем ε=1 Þ $N:"n>N Þ |a_n-a|<1

a-1<a_n<1+a, "n>N

Этому неравенству может быть не удовлетворять только первые N члены последовательности.

N₁=max{|a₁|;|a₂|;…|a_n|;|1+a|;|a-1|}

a_n£c, "n>N

Теорема (о единстве предела сходящейся последовательности).

Если $lim a_n=a <¥, то а- единственное.

^n®+¥

Доказательство:(от противного)

Предположим, что $ b: lim a_n=b и b¹a ε=b-a/2>0 для определенности пусть b>a Þ$N₁:"n>N₁Þ |a_n-a|<ε

^n®+¥

$N₂:"n>N₂ Þ |a_n-b|<ε N=max{N₁;N₂}, тогда оба неравенства выполняются одновременно Þ

Þ -(b-a)/2<a_n-a<(b-a)/2

-(b-a)/2<a_n-b<(b-a)/2

a_n-a<(b-a)/2

-

a_n-b>-(b-a)/2

b-a<b-a

0<0 – противоречие Þ предположение, что b>a неверно. Аналогично доказывается, что b<a, то же неверно ε=(a-b)/2

Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми величинами.

Теорема:

1)a_n- бесконечно большая Þ 1/a_n – бесконечно малая

2)a_т – бесконечно малая, a_n¹0 ("n>N₀) Þ1/a_n – бесконечно большая

Доказательство:

1)a_n- бесконечно большая Þ lim a_n=¥ Þ для достаточно больших номеров n a_n¹0. Зададим любое сколько

^n®+¥

угодно малое ε>0, положим ε=1/ε>0

Для ε $N₁:"n>N₁Þ |a_n|>ε, то есть |a_n|>1/ε N=max{N₁;N₀}

Тогда "n>N Þ 1/|a_n|<ε, то есть lim 1/a_n=0, то есть 1/a_n – бесконечно малое

^n®+¥

2)a_n – бесконечно малоеÞ lim a_n=0

^n®+¥

Дано: a_n¹0, n>N₀ зададим "ε>0 положим ε=1/ε>0

$N₁:"n>N₁Þ |a_n|<ε=1/ε

N=max{N₀;N₁}: "n>N Þ 1/|a_n|=¥, то есть 1/a_n – бесконечно большая.

Основные теоремы о существование предела последовательности.

Теорема Вейрштрасса:

Пусть a_n- ограниченная и моннатонна. Тогда $ lim a_n=а<¥

^n®+¥

Лемма. Среднее арифметическое чисел больше среднего геометрического. Равенство достигается только если все числа равны.

Лекция №5