Тема: Сравнение бесконечно больших и бесконечно малых.

Определение.

Пусть a(x) и b(x) – бесконечно малые при х®х₀ (±¥)

1) a(x) ~ b(x) при х®х₀ (±¥) если lim a(x)/b(x)=1 ^{x®x0 (±¥)}

2) a(x) и b(x) одинакового порядка при х®х₀ (±¥) если lim a(x)/b(x)=с¹0 ^{x®x0 (±¥)}

3) a(x) бесконечно малое более высокого порядка малости чем b(x) при х®х₀ (±¥) если lim a(x)/b(x)=0 ^{x®x0 (±¥)}

Определение.

Пусть f(x) и g(x) – бесконечно большое при х®х₀ (±¥)

1) f(x) ~ g(x) при х®х₀ (±¥) если lim f(x)/g(x)=1 ^{x®x0 (±¥)}

2)f (x) и g (x) бесконечно большие одинакового порядка роста, если при х®х₀ (±¥) если limf(x)/g(x)=с¹¥ ^{x®x0 (±¥)} <¥

В частности, если с=1, то они эквивалентны

3) f (x) бесконечно большое более низкого порядка роста чем g (x) или иначе g(x) бесконечно большое более высокого порядка роста чем g(x) при х®х₀ (±¥) если lim f (x)/g (x)=0 ^{x®x0 (±¥)}

Примеры:

1) sin(x) – бесконечно малое

x при х®х₀ – бесконечно малое

Сравним их lim sin(x)/x=1 Û sin(x)~x

^x®0

при х®0

2) 1n(1+x) – бесконечно малое

х при х®0 – бесконечно малое

Сравним их lim ln(1+x)/x= lim ln(1+x)^1/x =1 Û

^{x®0 x®0}

ln(1+x) ~ x, при х®0

3) x² – бесконечно большие

2х²+1, при х®+¥ – бесконечно большие

Сравним lim x²/(2x²+1) = lim x²/x²(2+1/x²)=1/2

^{x®+¥ x®+¥}

то есть функция является бесконечно большой и

одинакового порядка. Замечание: если одну из

функций одинакового порядка роста домножить на

одинаковую const, то они станут эквивалентны.

Определение:

1) пусть a(х)=оb(х) – бесконечно малое при х®х₀(±¥). То мы говорим, что a(х) и b(х) при х®х₀ (±¥), если a(х)=g(х)b(х), бесконечно малое при х®х₀ (±¥). Другими словами - a(х) – бесконечно малое более высокого порядка, чем b(х) така как a(х)/b(х)=g(х) – бесконечно малое, то есть lim a(x)/b(x)=0 ^{x®0 (±¥)}

2) пусть fa(х)=оgb(х) – бесконечно большое при х®х₀(±¥). То мы говорим, что fa(х) и g (х) при х®х₀ (±¥), если f (х)=g(х)g (х). Другими словами - f (х) – бесконечно большое более низкого порядка, чем g(х) так как f(х)/g (х)=g(х) – бесконечно малое, то есть lim f (x)/g (x)=0 ^{x®0 (±¥)}

Шкала бесконечности.

Степенные бесконечности.

xⁿ=o(x^m), 0<n<m при х®+¥. Из двух степенных бесконечностей сильнее та, у которой показатель степени больше.

Докажем:

xⁿ=x^m(xⁿ/x^m)=x^m(1/x^(m-n))=x^mg(x) m-n>0 x^mg(x)ºo(x^m)

Показательные бесконечности.

а^х=о(b^х), 1<a<b при x®+¥. Из двух показательных бесконечностей сильнее та, у которой основание больше.

Докажам

a^x=a^x(b^x/b^x)=a^x(a/b)^x=b^xg(xºo(b^x) (0<a/b<1)

Логарифмическая бесконечность

ln(x)=o(x^a), "a>0. Логарифмическая бесконечность слабее любой степенной бесконечности.

ln(x)<x "x

lim ln(x)/x^a=lim [(ln(x)/(x^a/2x^a/2))((a/2)/(a/2))]=

^{x®0 x®0}

lim [(ln(x)/x^a/2)(2/(ax^a/2)]

^x®0

Произведение бесконечно малых на ограниченную

равно бесконечно малой.

lim (ln(x)/x^a)=0 Û (lim(x))/x^a=g(x) Û lna=x^ag(x)ºox^a,

^x®0

x®+¥

Показательная и степенная.

X^k=o(a^x), " k>0,a>1 x®+¥ lim(x^k)/(a^x)=0

^x®+¥

Теорема: Пусть a(x) ~ a₁(x) при x®x₀ (±¥)

b(x) ~ b₁(x) при x®x₀ (±¥)

Тогда lim a(x)/b(x)=lim a₁(x)/b₁(x)

^{x®x0 (±¥) x®x0 (±¥)}

Доказательство:

lima(x)/b(x)=lim[a(x)a₁(x)b₁(x)]/[a₁(x)b₁(x)b(x)]=lim(a(x)/b(x))lim(b₁(x)/b(x))lim(a₁(x)/b₁(x))=lim a₁(x)/b₁(x) что

^{x®0 x®0 x®0 x®0 x®0 x®0}

и требовалось доказать. Замечание: аналогичное утверждение справедливо для двух бесконечно больших.

Пример:

lim sin(x)/3x=limx/3x=1/3

^{x®0 x®0}

Определение: (главного слагаемого)

a₁(x)+a₂(x)+…+a_n(x), при x®x₀ (±¥)

Главным слагаемым в этой сумме называется то слагаемое по сравнению с которым остальные слагаемые являются бесконечно малыми более высокого порядка малости или бесконечно большие более низкого порядка роста.

a₁(x) – главное слагаемое, если a₂(х)=о(a₁(х)),…,a_n(x)=o(a₁(x)) при x®x₀ (±¥)

Конечная сумма бесконечно малых эквивалентна своему главному слагаемому:

a₁(x)+a₂(x)+…+a_n(x) ~ a₁(x) , при x®x₀ (±¥) если a₁(х) – главное слагаемое.

Доказательство:

lim [a₁(x)+a₂(x)+…+a_n(x)]/a₁(x)=lim[a₁(x)+a₁(x)g(x)+…+a₁(x)g(x)]/a₁(x)=lim[a₁(x)(1+g₁(x)+…+g_n(x))]/a₁(x)=1 ^{x®x0 (±¥) x®x0 (±¥) x®x0 (±¥)}

Пример:

lim (e^x+3x¹⁰⁰+ln3x)/(2^x+1000x³+10000=lim e^x/2^x=lim e^x/(e^xg(x))=+¥

^{x®+¥ x®+¥ x®+¥}

2^x=o(e^x)ºe^xg(x)

Основные эквивалентности.

e^x-1 – бесконечно малое при х®0. lim (e^x-1)/x=1, то есть e^x-1 ~ x при x®0

^x®0

1-cosx – бесконечно малое при х®0. lim (1-cos x)/(x²/2)=lim{2sin(2x/2)]/[x²/2]=lim [2(x/2)²]/[x²/2]=1,

то есть

1-cos(x) ~ x²/2 при х®0 и (1+x)^p-1 ~ px при х®0

Лекция №8