Категории: ДомЗдоровьеЗоологияИнформатикаИскусствоИскусствоКомпьютерыКулинарияМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОбразованиеПедагогикаПитомцыПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРазноеРелигияСоциологияСпортСтатистикаТранспортФизикаФилософияФинансыХимияХоббиЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Классификация точек разрыва функции.Определение: Пусть y=f(x) определена в О°(х0), а в самой точке х0 может быть как и определена, так и неопределенна. 1) Точка х0 называется точкой разрыва 1ого рода функции, если а) Существует lim f(x)’=lim f(x)’’ , но либо функция неопределенна в точки х0 либо f(x0)¹b. Тогда точка х0 x®x°+0 x®x°-0 точка устранимого разрыва.
1,x=1 Y=(x-1)/(x-1)= Не $, x=1
б) f(x)=c¹b Можно доопределить или переопределить в точке х0, так что она станет непрерывной. $ lim f(x)=b; lim f(x)=c, но b¹c x®x°+0 x®x°-0 Может быть и определена f(x0)=b Или f(x0)=d
2)Точка х0 называется точкой разрыва 2ого рода функции если она не является точкой разрыва 1ого порядка, то есть если хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности. y=sin(1/x) Основные теоремы о непрерывных функциях. Теорема: Все основные элементы функции непрерывны в любой точки своей области определения. Определение: (функции непрерывной на отрезке) y=f(x) – называется непрерывной на отрезке [a,b], если она непрерывна в любой точке хÎ(a,b). В точке х=а функция непрерывна справа, то есть lim f(x)=f(a), а в точке х=b функция непрерывна слева lim f(x)=f(b). x®x°+0 x®x°-0 Функция непрерывна на множестве D если она непрерывна в этой точке.
Теорема: (о сохранение знака непрерывной функции) Пусть y=f(x) непрерывна в точке х0 и f(x0)>0 (f(x0)<0), тогда f(x)>0 f(x)<0 непрерывна в некоторой точки О(х0) Доказательство: $ lim f(x)=f(x0)Û "ε>0 $ d>0 "x: |x-x0|<d Þ |f(x)-f(x0)|<ε. x®x° Пусть f(x0)>0, выберем ε=f(x0) Þ |f(x)-f(x0)|<f(x0) "xÎOd(x0) ($d>0!) -f(x0)<f(x)-f(x0)<f(x0); f(x)>0 "xÎOd(x0), если f(x0)<0, то ε=-f(x0)
Теорема Коши: ( о нуле непрерывной функции) Пусть f(x) непрерывна на [a,b] и на концах его принимает значение разных знаков f(a) f(b) <0, тогда $ x0Î(a,b): f(x0)=0 Доказательство: f(b)>0 f(a)<0
Разделим отрезок [a,b] пополам. Если в середине отрезка f(x)=0, то всё доказано, если нет, то выберем ту половину отрезка, на концах которой функция принимает значение разных знаков. Выбранной отрезок поделим пополам. Если в середине нового отрезка f(x)=0, то всё доказано, если нет, то выберем ту половину от той половины, на концах которой функция принимает значение разных знаков и т.д. [a,b]É[a1,b1]É[a2,b2] Последовательность левых концов удовлетворяет отношению a<a1<a2<…<an<…<b b³b1³b2³…³bn³…>a Þ {an}-ограниченная не убывающая $ lim an=a£b f(a)<0 f(an)<0 "n x®+¥ |[anbn]|=(b-a)/2n ®0 при n®¥ {bn}-ограниченная не возрастающая $ lim bn=b³a f(b)>0 f(bn)>0 "n x®+¥ В силу непрерывности функции lim f(an)=f (lim bn)=f(b)³0 lim (bn-an)=b-a= lim (b-a)/2n=0Þa=b x®+¥ x®+¥ x®+¥ x®+¥ f(a)£0 Þ f(a)=0 x0=a f(b)=f(a)³0 Условие непрерывности функции нельзя отбросить: f(b)>0; f(a)<0 Теоремы Вейштрасса. 1) Теорема: Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b]. Тогда она ограниченна на нём. Замечание: а) Условие непрерывности нельзя отбросить
Неограниченна сверху Þ неограниченна
б) Нельзя заменить отрезок на интервал или полуинтервал. Непрерывна на (0;1]
2) Теорема: Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b]. Среди её значений есть наибольшее и наименьшее. Замечание: а) Множество [0;1] наибольшее значение 1ÎМ наименьшее значение 0 Î М б) Множество (0;1]=М наибольшее значение 1ÎМ нет наименьшего в) Множество [0;1)=M нет наибольшего наименьшее значение 0 Î М г) Множество (0;1)=М нет ни того не другого. Условие отрезка нельзя заменить на интервал или полуинтервал. xÎ(0;1] непрерывна на (0;1] нет наибольшего значения Лекция №10 Тема: «Коши, производные».
Теорема: (Коши о промежуточных значениях) Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и на концах принимает значение разные значения. f(a)=A f(b)=B A¹B. Тогда "С лежащею между А и В, $ х0Î(a,b): f(x0)=C. Другими словами нет точек которые не являются значением отрезка. Доказательство: A<B, "CÎ(A,B) g(x)=f(x)-C. Эта функция непрерывна на отрезке [a,b] g(a)=f(a)-c=A-C<0 по теореме Коши №1Þ[1] $ x0Î(a,b):g(x0), то естьf(x0)-C=0Þ f(x0)=c g(b)=f(b)-c=B-C>0 Замечание: Условие непрерывности нельзя отбросить [c,d]Ì[A,B] [c,d)ÏE(f)
Теорема: (о существование и непрерывности обратной функции) «Без доказательства» Пусть на множестве D задана непрерывная возрастающая или убывающая функция y=f(x). Тогда на множестве её значений Е определена обратная ей функция x=g(y), которая непрерывна и возрастает или убывает на множестве Е.
Производная функции. ∆Х Пусть y=f(x) определена в O(x0) ∆x=x-x0 – называется приращением аргумента в т х0 Х Х° Х Разность значений функций. ∆y=∆f(x0)=f(x)-f(x0)=f(x0+∆x)-f(x0) – называется приращением функции в точки х0. Через эти обозначения можно определить непрерывность функций: f(x) – неопределенна в точки х0, если она определена в O(x0) и lim ∆y=0 ∆ x®0 lim[f(x)-f(x0)]=lim[f(x)-f(x0)]º0 lim[f(x)]=f(x0)] x-x°®0 x®x° x®x° Определение непрерывной функции в точки приращения: f(x) – неопределенна в точки х0, если она определена в O(x0) и lim ∆y=0 ∆ x®0
Определение: (производной функции) Пусть y=f(x) определена в О(х0) и $ lim[∆y/∆x]<¥, тогда этот предел называется производной функции f(x) в ∆х®0 точке х0. Обозначения: f’(x0), y’(x0), dy/dx, df(x0)/dx=df(x)/d(x) То есть f’(x0) по определению = lim[f(x)-f(x0)]/(x-x0)ºlim∆y/∆xºdy/dx ∆x®0 ∆x®0 Физический смысл производной. Рассмотрим прямолинейное движение материальной точки:
S
x x0 x t0 t s(t)ºx(t); ∆s=∆x(t)=x(t)-x(t0) ∆s/∆t=[x(t)-x(t0)]/[t-t0]=vcp. Если ∆t®0 тогда vcp®vмнг lim ∆s/∆t=lim[x(t)-x(t0)]/[t-t0]=vмнг ∆t®0 t®t°
|
|||||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-07-27 lectmania.ru. Все права принадлежат авторам данных материалов. В случае нарушения авторского права напишите нам сюда... |