Категории: ДомЗдоровьеЗоологияИнформатикаИскусствоИскусствоКомпьютерыКулинарияМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОбразованиеПедагогикаПитомцыПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРазноеРелигияСоциологияСпортСтатистикаТранспортФизикаФилософияФинансыХимияХоббиЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Приближенные вычисления и оценка погрешности вычисления.Можно приближенно вычислять значение функции в точках близких к заданной точки. 3Ö8,001=1 х0=8 х=8,000 f(x)=3Öx f(x0)=f(8)=2 Проведём линеаризацию выбранного корня. f’(x)|х=8=(3Öx)’|x=8=1/3x-2/3|x=8=1/12 3Öx»2+1/12(x-8), x»8 3Öx»2+0,001/12 Yкас=2+1/12(x-8) 3Öx=2+1/12(x-8)+o(x-8) при х®8 Погрешности вычисления. f(x)-f(x0)=df(x0)+o(x-x0) при х®х0 ∆f(x0)»df(x0), x»x0 ∆1=|∆f(x0)|»|df(x0) f(x)=10x в точке х0=4, если |∆х|=0,001 х=4±0,001 104±|∆|=104±|23| f’(x)=10xln10; f’(4)=104ln10=23000; ln10»2,2 |∆|»23000·0,001=23 Изучение поведения функции при помощи первой производной. Слева от М0 tg a>0; Справа от М0 tg a<0 tga f’(x)>0 слева от М0 tga f’(x)<0 справа от М0
Теорема: Пусть y=f(x) дифференцируема " xÎ(a,b) и f’(x)>0 (f’(x)<0), тогда f(x) возрастает (убывает) на (а,b)
a( |x1 |x2 )b
"x1,x2Î(a,b) x1<x2 Надо доказать: f(x1)<f(x2) Применим теорему Лангранджа на отрезке (х1,x2)Теорема. f(x2)-f(x1)=f’(c)(x2-x1) где cÎ(x1,x2) f(x2)-f(x1)>0 Þ f(x2)>f(x1) Экстремумы функции. Можно указать О(х1) в которой все значения функции f(x)<f(x1) b и О°d1(х1) анологично для точки х2 f(x)>f(x1) b и О°d2(х1). Значенгие функции в точке М1, М3 и М5 – max; M2 и М4 – min – такие точки назавыются точкками экстремума или точками локального max и min. Определение: (точки экстремума) Пусть функия f(x) определена в некоторой О(х0) и f(x)>f(x0) в О°(х0) или f(x)<f(x0) в этом случае точка х0 – называется точкой локального max (min). Замечание: f(x)£f(x1) в Оd1(х1) f(x)³f(x2) в Оd2(х2) говорят, что точки х1 и х2 точки не строгого локального экстремума.
Теорема: (Ферма) (о необходимости условия экстремума дифференцируемой функции) Пусть y=f(x) дифференцируема в точки х0 и точка х0 – точка экстремума, тогда f(x0)=0 Доказательсто: Заметим, что х0 точка экстремума, то в её окрестности f(x) – f(x0) сохраняет знак. Запишем условие ∆f(x0)=f(x)-f(x0)(x-x0)+o(x-x0) f(x)-f(x0)=(x-x0)[f(x0)+a(x-x0)] то при х – достаточно близких к х0 знак выражения стоящего в квадратных скобках совпадает со знаком f’(x0)¹0 (x-x0) – меняет знак при переходе черех точку х0 Þ f’(x0)=0
Лекция №13 Тема: «Экстремумы».
Замечание: Обратное утверждение неверно. Из-за того, что произведение в данной точки равно нулю, не следует, что это экстремум. y=(x-1)3 y’=3(x-1)2 y’(1)=0 x0=1 xÎO°-d(1)Þf(x)<0 xÎO°+d(1)Þf(x)<0 x=1 – не точка экстремума.
Теорема (Ролля): Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема на (a,b). Кроме того на концах интервала она принемает равные значения f(a)=f(b), тогда $ сÎ(a,b): f(c)=0 Доказательство: Така как функция непрерывна на отрезке [a,b], то по второй теореме Вейштрасса есть наибольшее и наименьшее значение (m,M), если m=M, то f(x)ºconst ("xÎ[a,b]) (const)’=0. Пусть m<M, тогда либо m, либо М отлична от значений на концах отрезка. Пусть например M¹f(a):$ c(a,b):f(c)=M, то есть точка с точка экстремума максимума следовательно по теореме Ферма f’(c)=0 Замечание: условие дифференцируемсти нельзя отбросить. непрерывна на отрезке [a,b] Геометрический смысл. f’(x)=0, то касательная || оси х. Теорема не утверждает, что это единственная точка. Теорема Лангранджа: Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема на отрезке (а,b), то $ сÎ(a,b): f(b)-f(a)=f(c)(b-a) Доказательство: F(x)=f(x)+lx где l - пока неизвестное число. F(x) – непрерывна на отрезке [a,b] как сумма непрерывной функции f(x) – дифференцируема на отрезке [a,b] как сумма дифференцируемой функции. Выберем число l, так чтобы на отрезке [a,b] F(x) принимало равное значение. F(a)=f(a)+la F(b)=f(b)+lb F(a)=F(b) Þ f(a)-f(b)=l(a-b) Þ l=[f(b)-f(a)]/[b-a] F(x) – удовлетворяет условию теоремы Роллера на отрезке [a,b] Þ $ cÎ(a,b):F’(c)=0, то есть F’(x)=f’(x)+l 0=f’(c)+l Þ f’(c)=-l=[f(b)-f(a)]/[b-a] То есть на кривой которая наклонена к оси х под таким же углом как и секущая [f(b)-f(a)]/[b-a]=tga=f(x) $ cÎ(a,b) Замечание: Часто точку с можно представить в нужном виде: с=х0+q∆х 0<(c-x0)/(x-x0)= q<1 c-x0=q(x-x0) c=x0+q(x-x0)1 f(x)-f(x0)=f’(x0+q∆x)(x-x0) 0<q<1 ∆f(x0)=f’(x0+q∆x)∆x Теорема: (о необходимых и достаточных условиях экстремума по первой производной) Пусть y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема в О°(х0). Если f’(x) меняет знак при переходе через точку х0, то точка х0 – точка экстремума. Если меняет знак: с + на – то это точка максимума с – на + то это точка минимума Доказательство: " х1 Î О°-(х0) на [x1,x0]; $ c1Î(x1,x0) f(x0)-f(x1)=f’(c1)(x0-x1) Þ f(x0)>f(x1) "x1ÎO°-(x0) " х2 Î О°+(х0) на [x0,x2]; $ c2Î(x0,x2) f(x2)-f(x0)=f’(c2)(x2-x0) Þ f(x2)<f(x0) "x2ÎO°+(x0) f(x0)>f(x) "xÎO°(x0) Þ точка х точка максимума. Если в точке х0 существует производная то она обязательно равна 0 в силе теоремы Ферма. Но могут быть точки в которых f(x) существует, а f’(x) не существует. Принцип решения подобных задач: Условие: найти наибольшее и наименьшее значение функции не отрезке [a,b]. Ход решения: 1) Находим точки в которых производная либо равна 0 либо не существует f’(x)=0 или f’(x) 2) Вычисляем знак функции на концах отрезка и в этих точках f(a), f(b), f(x1)….f(xn) 3) Выбираем наибольшее и наименьшее m£f(x)<M Определение: точки в которых функция определена, а производная либо равняется нулю, либо не существует называют критическими точками. |
|
Последнее изменение этой страницы: 2016-07-27 lectmania.ru. Все права принадлежат авторам данных материалов. В случае нарушения авторского права напишите нам сюда... |