Главная Случайная страница


Категории:

ДомЗдоровьеЗоологияИнформатикаИскусствоИскусствоКомпьютерыКулинарияМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОбразованиеПедагогикаПитомцыПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРазноеРелигияСоциологияСпортСтатистикаТранспортФизикаФилософияФинансыХимияХоббиЭкологияЭкономикаЭлектроника






Теоретическая механика это наука, в которой изучаются общие законы механического движения и механического взаимодействия материальных тел.

Теоретическая механика это наука, в которой изучаются общие законы механического движения и механического взаимодействия материальных тел.

Раздел 1.Статика- это раздел механики, в котором изучаются методы преобразования систем сил в эквивалентные системы и устанавливаются условия равновесия сил, приложенных к твердому телу.

Задача 1. Определение реакций опор балки под действием плоской произвольной системы сил

Определить реакции RA и RB опор балки, размеры и нагрузки которой показаны на рис. 1,а.

Рис.1

Решение. 1. Составление расчетной схемы. Объект равновесия – балка АС. Активные силы: F = 3 кH, пара сил с M = 4 кH∙м распределенная нагрузка с интенсивностью q = 1 кН/м, которуюзаменяем одной сосредоточенной силой Rq = q∙1=13 = 3 кH; приложенной к точке D на расстоянии 1,5 м от края консоли. Применяя принцип освобождаемости от связей изобразим в точках А и В реакции. На балку действует плоская произвольная система сил, в которой три неизвестных реакции и .

Ось х направим вдоль горизонтальной оси балки вправо, а ось у -вертикально вверх (рис.1,а).

2. Условия равновесия:

.

 

3. Составление уравнений равновесия:

 

, (1)

, (2)

. (3)

 

4. Определение искомых величин, проверка правильности решения и анализ полученных результатов.

Решая систему уравнений (1 – 3), определяем неизвестные реакции

из (1):

кН,

 

из (3): ,

 

из (2): кН.

 

Величина реакции RAх имеет отрицательный знак, значит направлена не так, как показано на рисунке, а в противоположную сторону.

Для проверки правильности решения составим уравнение суммы моментов относительно точки Е.

.

Подставив в это уравнение значения входящих в него величин, получим:

- 0,58 ∙ 1 – 4 + 5,02 ∙ 3 – 3 ∙ 3,5 = 0.

Уравнение удовлетворяется тождественно, что подтверждает правильность решения задачи.

Задача2. На балку с защемленным концом (рис., а) действует распределенная по линейному закону нагрузка интенсивностью q = 0,2 кН/м. Сила F = 10 кH действует под углом α = 45о к оси балки, кроме того, приложена пара сил с моментом М = 4 кH ∙м. Определить реакцию заделки.

 

а) б)

Решение.

1. Составление расчетной схемы (рис., б). Объектом равновесия является балка АВ. К ней приложены активные силы , пара сил с моментом ираспределенная по линейному закону нагрузка. Равнодействующая приложена в точке О,

Связью, наложенной на балку АВ,является жесткая заделка А. Применяя принцип освобождаемости от связей к балке АВ,заменим действие этой заделки на балку силами реакций и реактивным моментом . Рассмотрим теперь равновесие балки АВ как свободного твердого тела, на которое действуют, кроме активных сил, еще и реакции связи.

2. Условия равновесия:

.

 

3. Составление уравнений равновесия. Для плоской произвольной
системы сил условиям равновесия соответствуют три уравнения:

 

; (а)

; (б)

. (в)

 

Для балки с жёсткой заделкой в качестве моментальной точки лучше брать заделку, что позволит исключить лишние неизвестные.

4. Определение искомых величин, проверка правильности решения и анализ полученных результатов.
Из уравнения (а) находим:

.

Из уравнения (б) получаем:

.

Наконец, из уравнения (в) находим:

Проверка. Составим уравнение моментов относительно точки В, подставим найденные реакции:

 

.

Положительные значения реакций связей подтверждают правильность выбранных направлений этих сил.

 

Решение

1. Действие цилиндрических опор А и В заменим реакциями ZA, ХА и ZB, ХВ (рис. 5.2.5). Вес вала G приложим в центре. Вес груза изобразим вектором Q.

 

 

2. Для определения силы давления составляем уравнение моментов
относительно оси вала:

 

.

Уравнение содержит одну неизвестную F. Линии действия остальных сил пересекают ось у и их моменты относительно оси вала равны нулю.

Из полученного уравнения находим

 

 

По условию N = F/0,1 = 27,692 Н.

3. Определяем вертикальные реакции шарнирных опор вала. Для
этого составляем два уравнения моментов относительно горизонтальных осей, проходящих через шарниры А и В. Рассматриваем для удобства проекцию всех сил на плоскость zy (рис. 5.2.6). Таким образом вычисление моментов относительно осей сводим к плоской задаче вычисления моментов относительно точек А и В.

Знаки моментов сил определяем как в задачах плоской статики: момент силы, вращающей тело вокруг моментной точки против часовой стрелки считается положительным, по часовой стрелке — отрица­тельным. Моменты сил, перпендикулярных плоскости zy (и поэтому не изображенных на рис. 5.2.9), относительно любой ее точки равны нулю.

 

Рис. 5.2.6

Решая уравнения

 

находим ZA = –11,324 H, ZB = 75,574 H.

4. Проверяем правильность нахождения вертикальных реакций,
составляя уравнение равновесия в проекции на ось z (рис. 5.2.6):

 

 

5. Определяем горизонтальные реакции опор вала. Для этого со­ставляем два уравнения моментов относительно осей, совпадающих с
линиями действия вертикальных реакций шарниров. Рассматриваем
горизонтальную проекцию силовой схемы (рис. 5.2.7):

 

 

Решая уравнения, находим ХА = 25,100 Н, ХВ = –124,792 Н.

6. Проверяем правильность нахождения горизонтальных реакций,
составляя уравнение равновесия в проекции на ось х вдоль линии действия горизонтальных реакций:

 

Рис. 5.2.7

 

Результаты расчетов в Н заносим в таблицу:

 

N XA ZA XB ZB
27,692 25,100 -11,324 -124,792 75,574

 

 

 

Плоское движение твердого тела

Задача 5. Кривошип OA длиной 0,2 м вращается рав­номерно с угловой скоростью ωOA = 10 с–1 и при­водит в движение шатун АВ длиной 1 м. Пол­зун В движется по вертикали. Найти угловую скорость и угловое ускорение шатуна, а также скорость и ускорение ползуна в момент, когда кривошип и шатун взаимно перпендикулярны и образуют с вертикалью угол 45° (рис. 8.9).

Решение.

1. Определение скоростей. Вычис­лим скорость точки А как точки вра­щающегося кривошипа:

.

 

Она направлена перпендикулярно ОА (рис. 8.10).

 

Рис. 8.9 Рис. 8.10 Рис. 8.11

 

Скорость vB ползуна направлена по направляющей вертикально.

Для шатуна АВ, совершающего плоское движение, теперь известны направления скоростей двух его то­чек: А и В. Восставляя перпендику­ляры к векторам этих скоростей, на­ходим точку Р их пересечения — МЦС шатуна.

Используя известную формулу для скоростей точек при плоском движении, получаем ; .

Из треугольника АВР имеем |АР| = 1 м; |ВР| = м, и тогда

 

.

 

2. Определение ускорений. Вычислим сначала ускоре­ние точки А как точки кривошипа: .

Здесь вращательное ускорение , так как , поскольку .

Тогда полное ускорение точки А равно центростремительному

и направлено к оси вращения — точке О (рис. 8.11).

Для вычисления ускорения точки В воспользуемся тео­ремой о сложении ускорений, взяв точку А в качестве полюса:

. (*)

Центростремительное ускорение точки В в относи­тельном вращении вокруг точки А по модулю равно , и направлено от точки В к полю­су — точке А.

Модуль вращательного ускорения определяется по формуле и пока не может быть вычислен, поскольку неизвестна величина углового ускорения . Направление вектора также не может быть определе­но однозначно, так как неизвестно направление углового ускорения, т. е. неизвестно, ускоренным или замедлен­ным является поворот шатуна. Примем пока этот поворот ускоренным, тогда направление совпадет с направле­нием , а вектор направим перпендикулярно от­резку ВА по ходу углового ускорения.

Вектор ускорения точки В направлен по вертикальной прямолинейной направляющей. Будем пока считать дви­жение ползуна ускоренным и направим ускорение в ту же сторону, что и скорость (рис. 8.10, 8.11).

Теперь в равенстве (*) все ускорения имеют определен­ное направление, и мы можем записать это уравнение в проекциях на выбранные оси:

 

.

 

Из последнего уравнения получаем , тогда из первого уравнения

.

Отсюда следует, что

.

Отрицательные знаки у величин и показывают, что их истинные направления противоположны принятым.

ДИНАМИКА ТОЧКИ

Задача 6.В железнодорожных скальных выемках для защиты кюветов от попадания в них с откосов каменных осыпей устраивается «полка» DC. Учитывая возможность движения камня из наивысшей точки А откоса и полагая при этом его начальную скорость , определить наименьшую ширину полки b и скорость , с которой камень падает на нее. По участку АВ откоса, составляющему угол α с горизонтом и имеющему длину l, камень движется τ с. Коэффициент трения скольжения f камня на участке АВ считать постоянным, а сопротивлением воздуха пренебречь.

Дано: . Определить b и (рис. 10.3).

 

Рис. 10.3

Решение. Задачу разделим на два этапа. Первый – движение камня на участке АВ, второй – движение камня от точки В до С.

Первый этап. 1. Составление расчетной схемы. Ось проводим по направлению движения камня, ось - перпендикулярно к оси . Камень принимаем за материальную точку и показываем ее в текущем положении, изображаем действующие на камень (точку) силы: вес , нормальную реакцию и силу трения скольжения (рис. 10.4).

2.Выявление начальных условий.

При .

 

Рис. 10.4

 

3.Составление дифференциальных уравнений движения точки. Так как точка (камень) движется прямолинейно, то при направлении оси х вдоль траектории получим одно дифференциальное уравнение движения

 

;

 

сила трения

,

тогда

;

;

.

 

4.Интегрирование дифференциальных уравнений движения. Интегрируя дифференциальное уравнение дважды, получаем:

 

;

;

;

;

;

;

.

5.Определение постоянных интегрирования. Подставим начальные условия, т.е. в уравнения:

;

;

.

6.Нахождение неизвестных величин и исследование полученных результатов. После подстановки постоянных интегрирования С1 и С2 получаем уравнение скорости и уравнение движения:

;

.

Для момента времени τ, когда камень покидает участок АВ,

,

т.е.

;

.

 

Умножим первое уравнение на τ/2, после этого разделим его на второе. В результате получим:

 

; ;

.

Второй этап. Движение камня от точки В до точки С.

1.Составление расчетной схемы. Координатные оси покажем так, как это удобно для решения задачи, в нашем случае ось х параллельна горизонтали и проходит через точку В, ось у направляем вниз через точку В. Камень принимаем за материальную точку, показываем ее в текущем положении, изображаем действующую на камень силу тяжести (рис. 10.4).

2. Выявление начальных условий движения. При :

.

3.Составление дифференциальных уравнений движения. Так как движение точки происходит в плоскости ху, то число уравнений движения равно двум:

.

4.Интегрирование дифференциальных уравнений движения. Интегрируем дифференциальные уравнения дважды:

(a)

; (б)

(в)

. (г)

5. Определение постоянных интегрирования. Подставляем начальные условия: в уравнения (а – г):

,

откуда

.

6.Нахождение искомых величин и исследование полученных результатов. После подстановки постоянных интегрирования в уравнения (а –г) получаем следующие уравнения проекций скорости камня:

и уравнения его движения

.

Уравнение траектории камня найдем, исключив параметр t из уравнений движения:

;

– уравнение параболы.

В момент падения . Определим d из уравнения траектории:

; ;

 

.

 

Так как траекторией движения камня является ветвь параболы с положительными абсциссами ее точек, то d=2,11 м.

Минимальная ширина полки

.

Используя уравнение движения камня , найдем время Т движения камня от точки В до точки С

.

Скорость камня при падении найдем через проекции скорости на оси координат:

по формуле

.

 

Для момента падения t=T=0,53 c

 

.

Скорость камня при падении равна 12,8 м/с.

 

Выбор теоремы.

Применим общее уравнение динамики

 

.

 

Произведение силы, перемещения точки приложения силы и косинуса угла, который образуют сила и направление движения, представляет собой работу силы на данном перемещении.

Работа силы на заданном перемещении равна нулю, если точка приложения силы неподвижна или сила перпендикулярна направлению движения.

Составление уравнения.

 

, (1)

 

где - возможное перемещение тела 1, - угол поворота блока 2, -возможное перемещение центра масс тела 3 по направлению скорости, -высота, на которую поднимется центр масс тела 3 при перемещении на .

Уравнения связей. В общее уравнение динамики входят неизвестные перемещения. Выразим скорости центров масс и угловую скорость тел системы через скорость тела 1. Зависимости между возможными перемещениями такие же, как и между соответствующими скоростями.

Скорость любой точки обода блока малого радиуса равна скорости тела 1, а также произведению угловой скорости тела 2 и радиуса вращения .

 

,

отсюда

. (2)

 

Вращательная скорость любой точки обода блока большого радиуса с одной стороны, равна произведению угловой скорости блока и радиуса вращения R, а с другой - скорости тела 3.

 

.

 

Подставляя значение угловой скорости, получим

 

. (3)

 

Проинтегрируем при нулевых начальных условиях равенство (2) и (3) и получим соотношения возможных перемещений точек системы

 

.

 

Подставим полученные возможные перемещения в (1) и произведем замену

 

.

 

Поделив обе части равенства на запишем

 

 

Модули силы инерции: тела 1 ; тела 2 .

Момент пары сил инерции

 

.

 

Связь между ускорениями точек системы получим, продифференцировав по времени уравнения (2) и (3)

 

.

 

Тогда силы инерции точек системы запишутся

 

; .

 

Момент инерции блока

 

.

Тогда

.

 

Сила трения скольжения

.

 

В выражение (4) подставим значения сил инерции, силы трения и учитывая, что , запишем

 

.

 

4. Определение неизвестных.

 

.

Откуда

 

.

Окончательно

 

 

 

 

 

 

МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования   «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СЕРВИСА И ЭКОНОМИКИ»
ИНСТИТУТ СЕРВИСА АВТОТРАНСПОРТА, КОММУНАЛЬНОЙ И БЫТОВОЙ ТЕХНИКИ

 

Кафедра «Техническая механика»

 

К О Н Т Р О Л Ь Н А Я Р А Б О Т А

по ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ

 

Работу выполнил:

студент группы (специальности)

190100, 2 курса, Шигин Александр Николаевич

 

Работу проверил:

 

Доцент кафедры Шабаев Владимир Николаевич

 

Санкт-Петербург

2012 г.

 

Теоретическая механика это наука, в которой изучаются общие законы механического движения и механического взаимодействия материальных тел.

Раздел 1.Статика- это раздел механики, в котором изучаются методы преобразования систем сил в эквивалентные системы и устанавливаются условия равновесия сил, приложенных к твердому телу.

Последнее изменение этой страницы: 2016-08-11

lectmania.ru. Все права принадлежат авторам данных материалов. В случае нарушения авторского права напишите нам сюда...