Задача 1. Определение реакций опор балки под действием плоской произвольной системы сил

Определить реакции R_A и R_B опор балки, размеры и нагрузки которой показаны на рис. 1,а.

Рис.1

Решение. 1. Составление расчетной схемы. Объект равновесия – балка АС. Активные силы: F = 3 кH, пара сил с M = 4 кH∙м распределенная нагрузка с интенсивностью q = 1 кН/м, которуюзаменяем одной сосредоточенной силой R_q = q∙1=1∙3 = 3 кH; приложенной к точке D на расстоянии 1,5 м от края консоли. Применяя принцип освобождаемости от связей изобразим в точках А и В реакции. На балку действует плоская произвольная система сил, в которой три неизвестных реакции и .

Ось х направим вдоль горизонтальной оси балки вправо, а ось у -вертикально вверх (рис.1,а).

2. Условия равновесия:

.

3. Составление уравнений равновесия:

, (1)

, (2)

. (3)

4. Определение искомых величин, проверка правильности решения и анализ полученных результатов.

Решая систему уравнений (1 – 3), определяем неизвестные реакции

из (1):

кН,

из (3): ,

из (2): кН.

Величина реакции R_Aх имеет отрицательный знак, значит направлена не так, как показано на рисунке, а в противоположную сторону.

Для проверки правильности решения составим уравнение суммы моментов относительно точки Е.

.

Подставив в это уравнение значения входящих в него величин, получим:

- 0,58 ∙ 1 – 4 + 5,02 ∙ 3 – 3 ∙ 3,5 = 0.

Уравнение удовлетворяется тождественно, что подтверждает правильность решения задачи.

Задача2. На балку с защемленным концом (рис., а) действует распределенная по линейному закону нагрузка интенсивностью q = 0,2 кН/м. Сила F = 10 кH действует под углом α = 45^о к оси балки, кроме того, приложена пара сил с моментом М = 4 кH ∙м. Определить реакцию заделки.

а) б)

Решение.

1. Составление расчетной схемы (рис., б). Объектом равновесия является балка АВ. К ней приложены активные силы , пара сил с моментом ираспределенная по линейному закону нагрузка. Равнодействующая приложена в точке О,

Связью, наложенной на балку АВ,является жесткая заделка А. Применяя принцип освобождаемости от связей к балке АВ,заменим действие этой заделки на балку силами реакций и реактивным моментом . Рассмотрим теперь равновесие балки АВ как свободного твердого тела, на которое действуют, кроме активных сил, еще и реакции связи.

2. Условия равновесия:

.

3. Составление уравнений равновесия. Для плоской произвольной
системы сил условиям равновесия соответствуют три уравнения:

; (а)

; (б)

. (в)

Для балки с жёсткой заделкой в качестве моментальной точки лучше брать заделку, что позволит исключить лишние неизвестные.

4. Определение искомых величин, проверка правильности решения и анализ полученных результатов.
Из уравнения (а) находим:

.

Из уравнения (б) получаем:

.

Наконец, из уравнения (в) находим:

Проверка. Составим уравнение моментов относительно точки В, подставим найденные реакции:

.

Положительные значения реакций связей подтверждают правильность выбранных направлений этих сил.

Определение реакций опор вала при действии пространственной произвольной системы сил

Задача 3.Горизонтальный вал весом G = 15 Н может вращаться в цилиндрических шарнирах А и В (рис. 5.2.4). К шкиву 1 приложено нормальное давление N и касательная сила сопротивления F = 0,1N.

Рис. 5.2.4

На шкив 2 действуют силы натяжения ремней Т_г = 30 Н, Т₂ = 57 Н. Груз Q = 18 Н висит на нити, навитой на шкив 3. Определить силу давления N и реакции шарниров в условии равновесия вала. Учесть веса шкивов: Р_г = 35 Н, Р₂ = 10 Н, Р₃ = 15 Н. Все нагрузки действуют в вертикальных плоскостях. Известны радиусы шкивов, R₁= 26 см, R₂ = 10 см, R₃ = 11 см и расстояния между характер­ными точками вала: а = 22 см, b = 25 см, с = 26 см, d = 26 см. Общая длина вала L = a + b + c + d; α =30°.

Рис. 5.2.5

Решение

1. Действие цилиндрических опор А и В заменим реакциями Z_A, Х_А и Z_B, Х_В (рис. 5.2.5). Вес вала G приложим в центре. Вес груза изобразим вектором Q.

2. Для определения силы давления составляем уравнение моментов
относительно оси вала:

.

Уравнение содержит одну неизвестную F. Линии действия остальных сил пересекают ось у и их моменты относительно оси вала равны нулю.

Из полученного уравнения находим

По условию N = F/0,1 = 27,692 Н.

3. Определяем вертикальные реакции шарнирных опор вала. Для
этого составляем два уравнения моментов относительно горизонтальных осей, проходящих через шарниры А и В. Рассматриваем для удобства проекцию всех сил на плоскость zy (рис. 5.2.6). Таким образом вычисление моментов относительно осей сводим к плоской задаче вычисления моментов относительно точек А и В.

Знаки моментов сил определяем как в задачах плоской статики: момент силы, вращающей тело вокруг моментной точки против часовой стрелки считается положительным, по часовой стрелке — отрица­тельным. Моменты сил, перпендикулярных плоскости zy (и поэтому не изображенных на рис. 5.2.9), относительно любой ее точки равны нулю.

Рис. 5.2.6

Решая уравнения

находим Z_A = –11,324 H, Z_B = 75,574 H.

4. Проверяем правильность нахождения вертикальных реакций,
составляя уравнение равновесия в проекции на ось z (рис. 5.2.6):

5. Определяем горизонтальные реакции опор вала. Для этого со­ставляем два уравнения моментов относительно осей, совпадающих с
линиями действия вертикальных реакций шарниров. Рассматриваем
горизонтальную проекцию силовой схемы (рис. 5.2.7):

Решая уравнения, находим Х_А = 25,100 Н, Х_В = –124,792 Н.

6. Проверяем правильность нахождения горизонтальных реакций,
составляя уравнение равновесия в проекции на ось х вдоль линии действия горизонтальных реакций:

Рис. 5.2.7

Результаты расчетов в Н заносим в таблицу: