Задача 7. Применение теоремы об изменении кинетической энергии к исследованию движения механической системы

Каток для раскатывания асфальта (рис. 1) состо­ит из кузова массой т₁ = 3∙103 кг и двух одинаковых барабанов. Масса барабана m₂=103 кг, радиус его r=0,5м, а радиус инерции ρ=0,4м. Коэффициент трения каче­ния барабанов f_к=9 см. Определить скорость кузова катка после того, как он проехал расстояние S=2 м, начальная скорость катка была равна 0,2 м/с. К ведущему барабану приложен постоянный момент M=4,6 кНм.

Рис. 1 Рис. 2

Решение. Так как в задаче идет речь о конечном перемещении системы, то следует применить теорему об изменении кинетической энергии в интегральной (конечной) форме:

.

Кинетическая энергия системы (поступательно движу­щийся кузов и совершающие плоское движение бараба­ны) имеет вид

,

где v — скорость кузова, v_С — скорость центра масс бара­бана, ω — его угловая скорость, J_zC = m₂ρ² = 160 кгм² — момент инерции барабана относительно его оси (проходя­щей через центр масс).

Кинематические связи определяются тем, что каждый барабан поворачивается вокруг своего мгновенного центра скоростей (точки Р), а именно: v_C = ωr; кроме того, v = v_C, т. е. ω = v/r. Тогда кинетическая энергия приводится к виду

,

где т_пр= 6280 кг — приведенная к кузову масса системы. Начальная кинетическая энергия системы

Дж.

Вычислим теперь величину работы действующих сил (рис. 2).

Внешние силы. Силы тяжести барабанов G₂ и кузова G₁ работы не совершают, поскольку они перпендикуляр­ны скоростям (и, соответственно, перемещениям) точек их приложения. Также не работают нормальные реакции R_n и R’_n и силы трения F_rp и , так как всегда равны нулю скорости их точек приложения — мгновенных центров скоростей, и, соответственно, постоянно равны нулю их мощности.

Работу будут совершать моменты сопротивления каче­нию:

и ,

а именно:

,

где

.

Здесь φ — угол поворота барабанов, для которого, ин­тегрируя уравнение кинематической связи ω = v/r с уче­том нулевых начальных условий для перемещений s и φ, легко получаем φ = s/r. Тогда

Внутренние силы. Запишем, учитывая, что кузов не вращается, суммарную работу внутренних сил (моментов) М и М’:

.

Тогда сумма работ всех сил запишется в виде

.

Множитель, стоящий в этой формуле перед перемеще­нием s, — это приведенная сила системы

Итак

Дж.

Собирая правую и левую части теоремы, получаем

или Т – 125,6 = 760, откуда

и

Ответ: v = 0,53 м/с.

Применение общего уравнения динамики к исследованию движения механической системы

Задача 8. Для заданной механической системы определить ускорение груза 1 и натяжение в ветви нити 1, к которой прикреплен груз. Массами нитей пренебречь. Система движется из состояния покоя. Считать, что , , , , см, , f= 0,1 (рис. 1).

Рис 1

Решение.

1. Составление расчетной схемы. На механическую систему действуют активные силы , , . Применяя принцип освобождаемости от связей к внешним связям, покажем , , N. Силу трения изобразим в сторону, противоположную предполагаемую направлению движения.

Рис. 2

Так как система пришла в движение из состояния покоя, то ускорения точек системы 1 направлены в сторону движения.

Приложим силы инерции. Тела 1 и 3 движутся поступательно, силы инерции этих тел выражаются векторами

и показываются на расчетной схеме противоположно ускорениям.

Силы инерции блока 2, вращающегося вокруг неподвижной оси Oz с угловым ускорением , приводятся к паре, момент которой равен

и изображается на схеме в сторону противоположную .

Выбор теоремы.

Применим общее уравнение динамики

.

Произведение силы, перемещения точки приложения силы и косинуса угла, который образуют сила и направление движения, представляет собой работу силы на данном перемещении.

Работа силы на заданном перемещении равна нулю, если точка приложения силы неподвижна или сила перпендикулярна направлению движения.

Составление уравнения.

, (1)

где - возможное перемещение тела 1, - угол поворота блока 2, -возможное перемещение центра масс тела 3 по направлению скорости, -высота, на которую поднимется центр масс тела 3 при перемещении на .

Уравнения связей. В общее уравнение динамики входят неизвестные перемещения. Выразим скорости центров масс и угловую скорость тел системы через скорость тела 1. Зависимости между возможными перемещениями такие же, как и между соответствующими скоростями.

Скорость любой точки обода блока малого радиуса равна скорости тела 1, а также произведению угловой скорости тела 2 и радиуса вращения .

,

отсюда

. (2)

Вращательная скорость любой точки обода блока большого радиуса с одной стороны, равна произведению угловой скорости блока и радиуса вращения R, а с другой - скорости тела 3.

.

Подставляя значение угловой скорости, получим

. (3)

Проинтегрируем при нулевых начальных условиях равенство (2) и (3) и получим соотношения возможных перемещений точек системы

.

Подставим полученные возможные перемещения в (1) и произведем замену

.

Поделив обе части равенства на запишем

Модули силы инерции: тела 1 ; тела 2 .

Момент пары сил инерции

.

Связь между ускорениями точек системы получим, продифференцировав по времени уравнения (2) и (3)

.

Тогда силы инерции точек системы запишутся

; .

Момент инерции блока

.

Тогда

.

Сила трения скольжения

.

В выражение (4) подставим значения сил инерции, силы трения и учитывая, что , запишем

.

4. Определение неизвестных.

.

Откуда

.

Окончательно

МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования   «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СЕРВИСА И ЭКОНОМИКИ»

ИНСТИТУТ СЕРВИСА АВТОТРАНСПОРТА, КОММУНАЛЬНОЙ И БЫТОВОЙ ТЕХНИКИ

Кафедра «Техническая механика»

К О Н Т Р О Л Ь Н А Я Р А Б О Т А

по ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ

Работу выполнил:

студент группы (специальности)

190100, 2 курса, Шигин Александр Николаевич

Работу проверил:

Доцент кафедры Шабаев Владимир Николаевич

Санкт-Петербург

2012 г.