Базіс лінейнай прасторы. Памернасць.Каардынаты вектарау

Азн.1Сістэма вектароў В-лін.праст. V над Р,наз.базісамлін.прасторы V,калі В –лін.незалежн.і V лін.выражаецца праз В.

Азн.2Лін. прастора , у якой існуе канцоўны базіс назыв.канцамернай(пр-ра якая складаецца толькі з Ō таксама наз. канцамернай),у адвар.выпадку – бесканцамернай.

Тэар.1Калі лін.праст.мае канцамерны базіс з n-вектараў,тады кожны базіс гэтай прасторы і мае n-вектараў.

Доказ:Няхайа₁,а_2, …, а_n (1)–базіс лін. пр-ры V над Р. З т-мы Штэйніца вынікае што адвольн. лін. сіс-ма з V мае менш ці роуна за n вектараў. Таму кожны базіс V канцоуны. З таго што адвольн. 2 базісы эквівалентныя паводле выніку 2 т-мы Штэйніца атрымаем што яны маюць адвольн. колькасць вектарау.

Азн.3 Калі лін. прастора, у якой існуе канцоуны базіс з n вектараў ,наз. n-мернай, а n наз. памернасцю гэтай пр-ры.Пр-ра якая складаецца толькі з Ō наз. Ō-мернай. Памернасць абазначаюць n=dim V.

Прыклады:

1) V₃, некампланарныя вектары з’яўляюцца базісам. dim V₃=3;

2) V₃, некалінеарныя вектары з’яўляюцца базісам. dim V₂=2;

3) V₁, свабодных вектараў, паралельных фіксаванай прамой, з’яўляецца базісам. dim V₁=1;
4) Р[x], x,x²,…,xⁿ-з’яўл. Базісам.

Тэар.2У n-мернай лін.праст.:

1) адвол.лінейна-незал.сістэма n-вектараў з’яўляецца базісам.

2) адвол.лінейна-незал.сістэма, у якой < за n-вектараў, можа быць дапоўнена да базісу.

3) Адвол.сіст. , у якой < за n-вектараў – лін.незалежна.

Доказ:

1)Няхай V₁,V₂,…,V_n (1)–некаторы базіс праст. V.

U₁,U₂,…,U_n (2) –адвольная сіст. n-вектараў.

Тады, паводле лемы (2)~(1),значыць (2) – базіс.

2)Няхай V₁,V₂,…,V_k ; k<n(3) – лін.незал.сістэма. Тады, паводле лемы мы можам дапоўніць сіст. U₁,U₂,…,U_n-k; (4); некаторымі вектарамі з (1) да (4)~(1); (4) - лінейна незалежна.

Калі б яна была лін.залежнай, то некаторы вектар сістэмы выражаецца праз астатні,калі яго удаліць з (4) , тады атрымалі бы (n-k-1)~(4)~(1).А гэта супярэчыць Леме.(4)–лінейна незалежна.(4) базіс V.

Тэар.3Адвольная не 0 трывіальная сіст. мае базіс.

Тэар.4Адвольныя 2 базісы лін.прасторы маюць аднолькавую магутнасць.

Каардынаты вектару.

Няхай V-n-мерная л.п. над P; v₁,v₂,…v_n-базiс V (1) ." аÎV a=a₁v₁+a₂v₂+…+a_nv_n; a_іÎP,i= (каэф. a₁,a₂,…, a_n-каардынаты а у базiсе (1)).

Тэарэма1: каардынаты вектара у фiксаваным базiсе вызначаны адназначна.

Доказ: a=a₁v₁+a₂v₂+…+a_nv_n =b₁v₁+b₂v₂+…+b_nv_n , a_і ,b_iÎP,i=

(a₁-b₁) v₁+(a₂-b₂) v₁+…+(a_n-b_n)v_n = Ō=>л.н.=> a_і-b_і =0 ,i= ,a_і=b_і .

a₁

… -каардынатны слупокау базісе(1)

a_n

Заувага Мы можам вызначыць аперацыі складання і множання на элемент поля Р для матрыцаў элементы якіх належаць лінейнай прасторы V над Р, а таксама множання матрыцаў, элементы якіх належаць лінейнай прасторы V над Р, а таксама множанне матрыцы элементы якой належаць V на матрыцу элементы якой належаць Р, аналагічна таму, як гэтыя аперацыі азначаліся для матрыц R. Усе уласцівасці аперацыі, якія даказываліся у 1 семестры засталіся праўдзівымі.

Увядзем матрыцу-радок B=(v₁v₂…v_n) – (2).Тады відавочна што вектар аз каард. (a₁,a₂,…, a_n ) у базісе(1) можна запісаць у выглядзе матрычнай роунасці

a=a₁v₁+a₂v₂+…+a_nv_n= (v₁v₂…v_n) a₁ = BХ

…

a_n

Тэарэма2.Няхай a і b- вектары лін. пр. V над P, X, Y- кард. слупкі a, b у базісе(1). Тады каард. Слупок вектару a+b у базісе(1) роуны X+Y, каард. слупок aa, aÎP у базісе(1) роуны aX.

Доказ: a=BX, b=BY, дзе B- матрыца(2)

a+b=BX+BY=B(X+Y)

aa=a(BX)=B(aX), X+Y- каард. слупок a+b , aX- каард. слупок aa у базісе(1).

Вынiк 1:Каард. слупок лін.камб. вект.роуны лін.камб. каард. слупкоу гэтых вектароу з тымi самымi каэфицыентамi.

Вынiк 2:Сiстэма вектароу л.з. калі і толькі калі л.з.сіс-ма іх каард. слупкоу у некаторым базiсе.

ТэарэмаУ лін.праст.:

4) Адвольн.сіс-ма , у якой больш за n вектараў – лін.незалежна.

5) адвол.лінейна-незал.сістэма, у якой менш за n вектараў, можа быць дапоўнена да базісу

6) адвольн.лінейна-незал.сіс-ма з n вектараў з’яўляецца базісам

Доказ:

1)Вынік 1 з т-мы Штэйніца

2)Няхай (1)–некаторы базіс праст. V.

b₁ ,b₂ …, b_n –лін. нез. сіс-ма вектараў з V. Гэтая сіс-ма лін. выражаецца праз (1) і паводле т-мы Штэйніца яна эквівалентн.(1) і зн. з’яул. Базісам.

3)c₁ , c₂ …, c_m , m<n – лін. нез. Паводле т-мы Штэйніца яе можна дапоуніць да сіс-мы

c₁ , c₂ …, c_m ,a_{i1 ,} a_{i2 ,} ... a_in-m (2) ~(1), зн. V лін. выражаецца праз(2). (2)- лін.нез. бо у адваротным выпадку некаторы вектар гэтай сіс-мы лін. выражауся б праз астатнія. І выдаліушы гэты вектар мы б атрымалі сіс-му з m-1 вектарау ~(2), праз якую выраж. базіс(1) . Супярэчнасць т-ме Штэйніца.

5. Ранг сістэмы вектараў. Максімальная лінейна незалежная падсістэма сістэмы вектараў(базіс). Існаванне, інварыянтнасць колькасці вектарау у базісе. Памернасць падпрасторы.

Ранг сістэмы вектараў. Максімальная лінейна незалежная падсістэма сістэмы

вектараў(базіс).

Няхай V- n-мерная лин.пр-ра над Р. Адволбныя сис-мы л.н.з. вектарау з V мае не больш за n вектарау

Азн.1:Няхай М не пустое падмноства лiн. прасторы V. Максімальная колькасць вектарау у л.н.з. сіс-ме вектарау з М наз. рангам М і абазначаецца rankМ.

Сцв.1:Ранг М роуны памернасці лік.абалонкі М rankМ=L(М)

Доказ.Няхай v₁,v₂,…,v_n - (1) л.н.з. сіс-ма вектарау з М максімальнай даужыні a ÎМ.

Тады сіс-ма v₁,v₂,…,v_k ,a-л.з.; а-лін.выражаецца праз (1)

L(М) лін.выраж.праз М=>(транз.)L(М) лін.выражаецца праз (1) =>U-базіс L(М), dimL(М)=k=rankМ.

М~N=> L(М) = L(N) => М,NÌ V

Сцв.2:Рангі эквівалентных мн-вау вектарау роуныя

Азн.2. Элементарнымі пераутварэннямі сіс-мы вектарау наз. наступныя пераутв.:

1)множанне адвольнага вектара сіс-мы на ненулявы элемент асноунага поля Р;

2)дадаванне да адвольнага вектара сіс-мы іншага вектара, памножанага на адвольны элемент αÎР.

Відавочна, што элемент. пераутв. пераводзяць сіс-му вектарау у эквівал. сіс-му.

Сцв.3:Ранг мн-ва сіс-мы не змяняецца пры элемент. пераутв.

Памернасць падпрасторы.

Теорема.Адвольная падпрастора U n- мернай л. прасторы V канцамерная і памернасць U меншая ці роуная за памернасць V. Калі памернасць U роуная памернасці V тады U=V.

Доказ.Калі U= (Ō)-сцв.відавочна.

Няхай U≠(Ō). УU ёсць л.н.з. сіс-мы, напрыклад, а, а≠Ō і кожная л.н.з. сіс-ма вектарау з U мае менш ці роуна за n вектарау.

Няхай v₁,v₂,…,v_k-(2) л.н.з. сіс-ма вектарау з U макс. даужыні.

Пакажам, што (2)-базіс U Ұа Î U

u₁,u₂,…,u_k,а- (3) сіс-ма (3) мае даужыню k+1, таму яна будзе л.з. і зн. існуе нетрыв. лін.камб.

α₁ u ₁+ α₂ u ₂+…+α _k u _k+bа= Ō, b≠0, бо у адваротным выпадку (2) была б л.з.

а=-b^-1α₁u₁-b^-1α₂u₂-...-b^-1α _ku _k

(2)- базіс U

(1)-канцамерная лін.пр.

U= dim U< k

Калі k= n, тады (1)-базіс V і зн. V= L (u₁,u₂,…,u_n)= U

ТэарэмаУ лін.праст.:

7) Адвольн.сіс-ма , у якой больш за n вектараў – лін.незалежна.

8) адвол.лінейна-незал.сістэма, у якой менш за n вектараў, можа быць дапоўнена да базісу

9) адвольн.лінейна-незал.сіс-ма з n вектараў з’яўляецца базісам

Тэар.1Калі лін.праст.мае канцамерны базіс з n-вектараў,тады кожны базіс гэтай прасторы і мае n-вектараў.

6.Ранг матрыцы.Тэарэма пра ранг матрыц. Вынікі з т-мы пра ранг м-цы

Няхай А=(a_ij)ÎP_mxn.Слупкі м-цы А будзем разглядаць як элементы прасторы P^m.

Азн.Рангам м-цы наз. ранг сіс-мы яе слупкоу( максімальная колькасць лін.нез. слупкоу).

Азн.Няхай А=(a_ij)ÎP_mxn і няхай у А выдзелены радкі з нумарамі і₁ , і₂ ,…, і_k і слупкі з нумарамі

j₁ , j₂ ,…, j_k (k≤m,n). У выніку атрымаецца м-ца парадку kскладзеная з элементау якія стаяцьнаперасячэнні вылучаных радкоу і слупкоу. Det гэтай м-цы наз. мінорам к-тага парадку або ступені м-цы А.

Азн.Мінор М парадку r м-цы А наз. базісным мінорам калі

1) М≠0

2) усе міноры большых парадкау(калі яны ёсць) роуныя 0.

Лема:Калі слупкі(радкі),квадратнай м-цы лін.зал.,тады яе det=0.

Доказ: АÎP_nxn , n=1 – сцвердж. відавочна.Пры n>1 паводле сцвердж. пра рангі эквів. мн-вау некаторы слупок(радок) м-цы А лін. выражаецца праз астатнія. Адсюль detА=0 .

Тэарэма (пра ранг матрыцы).Ранг м-цы роуны парадку яе базіснага мінору.

Доказ: А = 0_mxn- сцв. відавочна.

Таму будзем лічыць што А≠0_mxn.. М- базісны мінор м-цы А парадку r (r>0). Будзем лічыць што m размешчаны у левым верхнім вугле г. зн. у радках з нумарамі 1,2,…,r. Абазначым слупкі м-цы А праз v₁, v₂ ,…, v_n. Пакажам што першыя r слупкоу v₁, v₂ ,…, v_r –лін.нез.(2)_. А астатнія v_r+1, v_r+2 ,…, v_n лін. выраж. праз слупкі (2). Адсюль будзе вынікаць што (2) ёсць базіс лінейнай абалонкі(v₁, v₂ ,…, v_n ) → r=dim L(v₁, v₂ ,…, v_n. )=rank A. Паводле лемы слупкі М лін.нез. Адсюль вынікае што (2)- лін.нез. Няхай А=(a_ij) a₁₁ a₁₂ …a_1r a_1s =B, i=1,m , s=r+1,n , detB=0, " i,s.

a₂₁ a₂₂ …a_2r a_2s

_{…………………………}

a_r1 a_{r2 ……} a_rr a_rs

a_i1 a_i2……..a_ir a_is

(калі i≤r –у В ёсць аднолькавыя радкі ,калі i>r – detB –мінор парадку r+1 м-цы А). Зауважым што алгебраічныя дапауненні А₁ , А₂ ,…, А_r ,А_r+1 =М элементау кожнага радка м-цы В не залежыць ад і.

Раскладзем detB=a_i1 А₁ +a_i2 А₂+…+a_ir А_r +a_is М =0, M≠0. a_is= - А₁a_i1 М^-1 - a_i2 А₂ М^-1 -…-a_ir А_r М^-1, i=1,m.

Вынік1:Ранг м-цы не змяняецца пры яе транспанаванні,гэта зн. ранг м-цы роўны рангу с-мы яе радкоў.

Вынік2:detА=0 ↔ яе радкі(слупкі) лін. зал.

Вынік3:Няхай у n-мернай лін. пр-ры V зафіксаваны базіс, v₁, v₂ ,…, v_k -(3)адвольная сіс-ма вектарау з V . А_і = a_1і і=1,k каард. слупкоу (3) у гэтым базісе А= (a_ji )= (А₁ , А₂ ,…, А_k ) ÎP_nxk .

a_2і

…

a_nі

Тады 1) rank(3)= rankА

2)(3)- лін.нез. ↔ rankА=k

3) (3)- базіс V↔ k= n, detA ¹0

4) v _і1, v_і2 ,…, v_іr – лін.нез. падсіс-ма сіс-мы(3) максім. даужыні ↔ слупкі м-цы А з нумарамі

i₁ ,…, i_r змяшчаюць базісны мінор м-цы А.

7.Тэарэма пра ранг матрыцы. Вынікі з тэарэмы пра ранг м-цы.Ранг здабытку матрыцаўТэарэма (пра ранг матрыцы).Ранг м-цы роуны парадку яе базіснага мінору.

Доказ: А = 0_mxn- сцв. відавочна.

Таму будзем лічыць што А≠0_mxn.. М- базісны мінор м-цы А парадку r (r>0). Будзем лічыць што m размешчаны у левым верхнім вугле г. зн. у радках з нумарамі 1,2,…,r. Абазначым слупкі м-цы А праз v₁, v₂ ,…, v_n. Пакажам што першыя r слупкоу v₁, v₂ ,…, v_r –лін.нез.(2)_. А астатнія v_r+1, v_r+2 ,…, v_n лін. выраж. праз слупкі (2). Адсюль будзе вынікаць што (2) ёсць базіс лінейнай абалонкі(v₁, v₂ ,…, v_n ) → r=dim L(v₁, v₂ ,…, v_n. )=rank A. Паводле лемы слупкі М лін.нез. Адсюль вынікае што (2)- лін.нез. Няхай А=(a_ij) a₁₁ a₁₂ …a_1r a_1s =B, i=1,m , s=r+1,n , detB=0, " i,s.

a₂₁ a₂₂ …a_2r a_2s

_{…………………………}

a_r1 a_{r2 ……} a_rr a_rs

a_i1 a_i2……..a_ir a_is

(калі i≤r –у В ёсць аднолькавыя радкі ,калі i>r – detB –мінор парадку r+1 м-цы А). Зауважым што алгебраічныя дапауненні А₁ , А₂ ,…, А_r ,А_r+1 =М элементау кожнага радка м-цы В не залежыць ад і.

Раскладзем detB=a_i1 А₁ +a_i2 А₂+…+a_ir А_r +a_is М =0, M≠0. a_is= - А₁a_i1 М^-1 - a_i2 А₂ М^-1 -…-a_ir А_r М^-1, i=1,m.

Вынік1:Ранг м-цы не змяняецца пры яе транспанаванні,гэта зн. ранг м-цы роўны рангу с-мы яе радкоў.

Вынік2:detА=0 ↔ яе радкі(слупкі) лін. зал.

Вынік3:Няхай у n-мернай лін. пр-ры V зафіксаваны базіс, v₁, v₂ ,…, v_k -(3)адвольная сіс-ма вектарау з V . А_і = a_1і і=1,k каард. слупкоу (3) у гэтым базісе А= (a_ji )= (А₁ , А₂ ,…, А_k ) ÎP_nxk .

a_2і

…

a_nі

Тады 1) rank(3)= rankА

2)(3)- лін.нез. ↔ rankА=k

3)(3)- базіс V↔ k= n, detA ¹0

4)v _і1, v_і2 ,…, v_іr – лін.нез. падсіс-ма сіс-мы(3) максім. даужыні ↔ слупкі м-цы А з нумарамі

i₁ ,…, i_r змяшчаюць базісны мінор м-цы А.

Сцвердж.Ранг здабытку 2 м-цаў не вышэйшы за ранг кожн. сумножніку. Калі адна з м-цаў квадратная незвыродная,тады ранг м-цы роўны рангу другога сумножніка.

Доказ: Калі U,W ÌV і U лін. выражаецца праз W, тады ранг U меншы ці роуны за ранг W(rankU £ rankW ). Сапрауды U лін. выраж. праз W і L(U) Ì L(W) → dim L(U) £ L(U) £ dim L(W)=rankW .

З азн. Здабытку матрыц вынікае што радкі м-цы АВ лін. выраж. праз радкі В а слупкі лін. выраж. праз слупкі А → rankAB £rankВ, rankAB £rankA. Калі │А│≠0 тады $А^-1 В= А^-1 (АВ) → rankB £ rankAB → rankB=rankAB. Калі │В│≠0 аналаг. rankAB= rankA.