Главная Случайная страница


Категории:

ДомЗдоровьеЗоологияИнформатикаИскусствоИскусствоКомпьютерыКулинарияМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОбразованиеПедагогикаПитомцыПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРазноеРелигияСоциологияСпортСтатистикаТранспортФизикаФилософияФинансыХимияХоббиЭкологияЭкономикаЭлектроника






Білет 28. Кананічны выгляд квадратычнай формы.

Азн.Кв.форма наз.кананічнай,калі яе матрыца дыяганальная.Кананічным выглядам кв.формы F(x) наз.адвольная эквівалентная ёй кананічная квадр.форма.

Тэарэма1.Для адв.квадр.формы над полем P існуе кананічны выгляд.

Азн.Кананічны выгляд квадр.формы над полем камплексных лікаў С наз.нармальным,калі ўсе ненулявыя каэф.роўны 1.

Тэарэма2.Для адвольн.квадр.формы над С існуе нармальны выгляд. Нарм.выгляд кв.формы над С вызнач.адназначна з дакладнасцю да найменавання зменных.

Доказ:Няхай F(x)= ∑ni,j=1 αij хi хj –(1) квадр. форма над С. Паводле т-мы1 існуе незвыроднае лін. пераутв. зменных, якое прыводзіць форму(1) да кананічнага выгляду.

α1у21+ α2у22+…+ αпу2п (2), уііzі, дзе ε2і= α-1і пры αі ≠0, уj= zj пры αj=0 (3). Відавочна, што пераутв. (3) незвыроднае, і пераутв. (3) прыводзіць квадр. форму(2) да выгляду у якім усе каэфіцыенты 1 або 0. Здабытак гэтых двух пераутв. прыводзіць (1)да нармальнага выгляду. Няцяжка здагадацца, што ранг(2) роуны колькасці ненулявых каэфіцыентау αі, рангі эквів. квадр. формау роуныя, таму колькасць ненулявых каэф. у кананічным выглядзе квадр. формы і у нармальным яе выглядзе роуная яе рангу. Адсюль вынікае сцверджанне пра адназначнасць.

Вынік. (крытэр) Квадр. ф. над С эквів. калі і т. к. іх рангі роуныя.

Азн.Канан.выгляд кв.ф.над полем R наз.нармальн.,калі ўсе ягоныя ненулявыя каэф.=±1.

Тэарэма.Адвольн.кв.ф.над R мае нармальны выгляд.

Тэарэма(закон інэрцыі рэчаісных кв.формаў):колькасць дадатных і колькасць адмоўных каэф.у нарм.выглядзе кв.ф.над R не залежыць ад незвыроднага лін.пераўтварэння зменных,якое прыводзіць гэтую кв.форму да нармальнага выгляду.

Азн.Колькасць дадатных каэф.у нарм.выглядзе рэчаісн.кв.формы F(x) наз.дадатным індэксам інэрцыі гэтай кв.ф.,а колькасць адмоўных каэф.-адмоўным індэксам інэрцыі гэтай кв.формы.

Вынік(Крытэр): кв.форма над R эквівал. калі і т. к..,калі іх рангі і дадатныя індэксы інэрцыі роўныя.

 

 

Нязменназнакавыя квадратычныя формы. Нармальны выгляд дадатнавызначанай квадратычнай формы. Крытэр Сільвестра дадатнай вызначанасці рэчаіснай квадратычнай формы

F(x1,x2,…,xn) – рэчаісная кв.форма

Азн.Кв.форма F(x1,x2,…,xn)наз. дадатнавызначанай, калі для адвольнай пасляд. Ō≠(γ1, γ2,..., γn)ÎRn

F(γ1, γ2,..., γn)>0; адмоунавызначанай, калі " Ō≠(γ1, γ2,..., γn)ÎRn F(γ1, γ2,..., γn)<0.

Прыклад.F(x1,x2,x3)= x12+x22+5x32 – дадатна вызнач.

G(x1,x2,x3,x4)= x12+x22+5x32 – не дадатна вызнач.

G(0,0,0,1)=0

Сцв1.калі кв.ф. F(x) дадатнавызн., а G(x)~F(x), тады G(x) дадатнавызн.

Тэарэма.(крытэр Сільвестра)

Рэчаісная кв.ф. дадатнавызнач. к. і т.к. усе вуглавыя міноры яе матрыцы дадатныя.

Вынік. Рэчаісная кв.ф. адмоунавызн. к. і т.к. усе вуглавыя міноры яе матрыцы няцотнага парадку <0, а цотнага парадку >0.

 

 

Билинейные формы.

Опр. Многочлен F(х12,..,хп12,…,уп) (1) от двух систем переменных х12,..,хп (2) и у2,…,уп (3) наз. билинейной формой порядка n, если каждое его слагаемое имеет первую степень относительно перемеенных (2) и (3) в отдельности.

Опр. М-ца А= а11 а12 … а1п наз. м-цей билинейной формы (4), а ранг этой м-цы –

а21 а22 … а2п рангом формы (4).

ап1 ап2 … апп

 

F(х,у)=∑ni,j=1 аij хi уj , аij?Р (4)- имеет билинейная форма F(х,у) над полем Р.

Теорема. Билинейные формы порядка n с м-цами А и В эквивалентны, если и только если над основным полем существует такая невырожденая м-ца С порядка n, что В=СтАС.

Опр.Билинейная форма наз. Симметрической, если её м-ца А – симметрическая, т. Е. Ат=А.

Утвержд. Если билинейная форма F явл. Симметрической, то и всякая эквмвалентная ей билинейная форма также симметрическая.

Док-во: Пусть А- м-ца билинейной формы F. Тогда Ат=А. М-ца любой эквивалентной билинейной формы G имеет вид СтАС. Далее, (СтАС) т= СтАт т)ттАС. Сл-но, форма G явл. симметрической.

 

32.A Эўклідавы і ўнітарныя прасторы. Азначэнне, прыклады. Тэарэма пра тое, што канцамерную рэчаісную (камплексную) прастору можна ператварыць у эўклідаву (унітарную). Даўжыня вектару. Няроўнасці Кашы-Бунякоўскага і трохвугольніка.

Няхай V – лін.пр-ра над R(С).

Вызначана аперацыя дэкартавага здабытку над полем R(С) (f: V×V ).

F((а, b))=def= ab, a,bÎV

Азн. Няхай V – лін.пр-ра над R і няхай вызн. функцыя V×V® R.

Гэтая функцыя наз. скалярным здабыткам, калі выконваюцца наст. аксіемы:

1) "a,b,cÎV, "a,βÎ R

(aa+ βb)с= aac+βbc

2) "a,bÎV, ab=ba => "a,b,cÎV, "a,βÎ R, a(ab+βc)= aab+βac

3) "Ō≠а, a*a>0

 

З азн. скалярнага здабытку вынікае, што "aÎV, Ō*а=а* Ō=0

Азн. Няхай V – лін.пр-ра над С і няхай вызн. функцыя V×V® С. Гэтая функцыя наз. скалярным здабыткам, калі выконваюцца наст. аксіемы:

1) "a,b,cÎV, "a,βÎС

(aa+ βb)с= aac+βbc

2) "a,bÎV, ab=ba => 4)"a,b,cÎV, "a,βÎ С

3) "Ō≠а, a*aÎ R, a*a>0 a(ab+βc)=(ab+βc)а=abа+βcа=aab+βac

Функцыя, для якой выконваюцца 1),4) наз. эрмітавабілінейнай функцыяй. А эрмітава білінейная функцыя з умовай 2) наз.сіметр. эрміт.біл.ф-цыяй.

Азн.Лін.пр-ра над R, на якой вызн. скал. здаб. наз. эуклідавай пр-рай

Азн.Лін.пр-ра над С, на якой вызн. скал. здаб. наз. унітарнай пр-рай

Прыклады.

1)V3-пр-ра свабодных вектарау

ab=|а| |b|соsφ, φ – вугал паміж a,b

2)Rn, а= (α1, α2….αn), b=(b1, b2,..., b n), α i , biÎ R, і=1,n

n

ab=Σ αi bi – скалярны здабытак на Rn, Rn – эуклідавая пр-ра

i=1

Тэарэма. Адвольную канцамерную рэчаісную (камплексную) пр-ру можна ператварыць у эуклідаву (унітарную).

Доказ. Няхай V – n-мерная лін.пр-ра над R(С). Выберам у гэтай пр-ры базіс v1,v2,…,vn (1)

"a,bÎV з каард. α1, α2….αn

b1, b2,..., b n

Адпаведна вызнач. ab формулай

n n

ab=Σ αi bi (для пр-ры над R ), ab=Σ αi bi (для пр-ры над С )

i=1 i=1

гэтая ф-цыя і ёсць скалярны здабытак. Такім чынам V ёсць эуклідавая (унітарная) пр-ра.

Азн.Даужыня вектара а эукл.(уніт.) пр-ры наз. лік √а*а = det=|а|

Відавочна, што даужыня вектара а роуа 0 к. і т.к. |а|=0óа= Ō, |αа|=|α|*|а|

Тэарэма.(няроунасць Кашы-Бунякоускага)

"a,b эукл.(уніт.) пр-ры

|ab|≤|а|*|b| (2), прычым роунасць выконваецца к.і т.к. вектары a і b – л.з.

Тэарэма.(няр-ць трохвугольніка)

"a,b эукл.(уніт.) пр-ры

|a+b|≤|а|+|b| (3)

 

b

а

 

a+b

 

Артаганальныя вектары

Азн.:Вектары a i b Эуклідавай(унітарн.) пр-ры наз. артаганальнымі, калі іх скалярны здабытак роуны 0.

a^b=>ab=0

Тэарэма Піфагора:Калі вектары а12,…,ак эукл.(уніт.) пр-ры парамі артаганальныя, тады даужыня вектару | а1+ а2+..+ ак|2 = |a1|2+|a2|2+…+|aк|2.

Доказ: | а1+ а2+..+ ак|2 = (а1+ а2+..+ ак)( а1+ а2+..+ ак)= ∑ni,j=1 аi aj = ∑ni=1 аi aі = ∑ni=1i|2

Азн.: Артаганальнай сіс-май вектарау наз. сіс-ма вектарау эукл.(уніт.) пр-ры, розныя вектары якой артаганальны.

Тэарэма:Артаганальнае мн-ва вектарау, якое не мае нулявога вектара лін. незал.

Тэарэма:Няхай а12,…,ак (1)- канцоуная сіс-ма вектарау эукл.(уніт.) пр-ры. Тады існуе артаганальная сіс-ма b1,…,bк (2) такая, што 1≤е≤к, а12,…,аe ~ b1,…,bе .

Вынік:Сіс-ма вектарау (1) лін.незал. калі і т. к. сістэма (2) атрыманая з яе працэсам артаганалізацыі не мае Ō.

Азн.:Артаганальная сіс-ма вектарау наз. ортаунармаванай калі даужыня яе вектарау =1.

Вынік: Адвольная ненулявая эукл.(уніт.) пр-ра мае ортаунармаваны базіс. Адвольн. ортаунармаваная сіс-ма можа быць дапоунена да базісу.

Заувага: Калі сіс-ма а12,…,ас , аi ≠Ō, с≤к – артаганальная, тады у сіс-ме (2) вектары ai=bi, і=1,с.

 

Последнее изменение этой страницы: 2016-08-11

lectmania.ru. Все права принадлежат авторам данных материалов. В случае нарушения авторского права напишите нам сюда...