Категории: ДомЗдоровьеЗоологияИнформатикаИскусствоИскусствоКомпьютерыКулинарияМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОбразованиеПедагогикаПитомцыПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРазноеРелигияСоциологияСпортСтатистикаТранспортФизикаФилософияФинансыХимияХоббиЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Білет 28. Кананічны выгляд квадратычнай формы.Азн.Кв.форма наз.кананічнай,калі яе матрыца дыяганальная.Кананічным выглядам кв.формы F(x) наз.адвольная эквівалентная ёй кананічная квадр.форма. Тэарэма1.Для адв.квадр.формы над полем P існуе кананічны выгляд. Азн.Кананічны выгляд квадр.формы над полем камплексных лікаў С наз.нармальным,калі ўсе ненулявыя каэф.роўны 1. Тэарэма2.Для адвольн.квадр.формы над С існуе нармальны выгляд. Нарм.выгляд кв.формы над С вызнач.адназначна з дакладнасцю да найменавання зменных. Доказ:Няхай F(x)= ∑ni,j=1 αij хi хj –(1) квадр. форма над С. Паводле т-мы1 існуе незвыроднае лін. пераутв. зменных, якое прыводзіць форму(1) да кананічнага выгляду. α1у21+ α2у22+…+ αпу2п (2), уі=εіzі, дзе ε2і= α-1і пры αі ≠0, уj= zj пры αj=0 (3). Відавочна, што пераутв. (3) незвыроднае, і пераутв. (3) прыводзіць квадр. форму(2) да выгляду у якім усе каэфіцыенты 1 або 0. Здабытак гэтых двух пераутв. прыводзіць (1)да нармальнага выгляду. Няцяжка здагадацца, што ранг(2) роуны колькасці ненулявых каэфіцыентау αі, рангі эквів. квадр. формау роуныя, таму колькасць ненулявых каэф. у кананічным выглядзе квадр. формы і у нармальным яе выглядзе роуная яе рангу. Адсюль вынікае сцверджанне пра адназначнасць. Вынік. (крытэр) Квадр. ф. над С эквів. калі і т. к. іх рангі роуныя. Азн.Канан.выгляд кв.ф.над полем R наз.нармальн.,калі ўсе ягоныя ненулявыя каэф.=±1. Тэарэма.Адвольн.кв.ф.над R мае нармальны выгляд. Тэарэма(закон інэрцыі рэчаісных кв.формаў):колькасць дадатных і колькасць адмоўных каэф.у нарм.выглядзе кв.ф.над R не залежыць ад незвыроднага лін.пераўтварэння зменных,якое прыводзіць гэтую кв.форму да нармальнага выгляду. Азн.Колькасць дадатных каэф.у нарм.выглядзе рэчаісн.кв.формы F(x) наз.дадатным індэксам інэрцыі гэтай кв.ф.,а колькасць адмоўных каэф.-адмоўным індэксам інэрцыі гэтай кв.формы. Вынік(Крытэр): кв.форма над R эквівал. калі і т. к..,калі іх рангі і дадатныя індэксы інэрцыі роўныя.
Нязменназнакавыя квадратычныя формы. Нармальны выгляд дадатнавызначанай квадратычнай формы. Крытэр Сільвестра дадатнай вызначанасці рэчаіснай квадратычнай формы F(x1,x2,…,xn) – рэчаісная кв.форма Азн.Кв.форма F(x1,x2,…,xn)наз. дадатнавызначанай, калі для адвольнай пасляд. Ō≠(γ1, γ2,..., γn)ÎRn F(γ1, γ2,..., γn)>0; адмоунавызначанай, калі " Ō≠(γ1, γ2,..., γn)ÎRn F(γ1, γ2,..., γn)<0. Прыклад.F(x1,x2,x3)= x12+x22+5x32 – дадатна вызнач. G(x1,x2,x3,x4)= x12+x22+5x32 – не дадатна вызнач. G(0,0,0,1)=0 Сцв1.калі кв.ф. F(x) дадатнавызн., а G(x)~F(x), тады G(x) дадатнавызн. Тэарэма.(крытэр Сільвестра) Рэчаісная кв.ф. дадатнавызнач. к. і т.к. усе вуглавыя міноры яе матрыцы дадатныя. Вынік. Рэчаісная кв.ф. адмоунавызн. к. і т.к. усе вуглавыя міноры яе матрыцы няцотнага парадку <0, а цотнага парадку >0.
Билинейные формы. Опр. Многочлен F(х1,х2,..,хп;у1,у2,…,уп) (1) от двух систем переменных х1,х2,..,хп (2) и у2,…,уп (3) наз. билинейной формой порядка n, если каждое его слагаемое имеет первую степень относительно перемеенных (2) и (3) в отдельности. Опр. М-ца А= а11 а12 … а1п наз. м-цей билинейной формы (4), а ранг этой м-цы – а21 а22 … а2п рангом формы (4). ап1 ап2 … апп
F(х,у)=∑ni,j=1 аij хi уj , аij?Р (4)- имеет билинейная форма F(х,у) над полем Р. Теорема. Билинейные формы порядка n с м-цами А и В эквивалентны, если и только если над основным полем существует такая невырожденая м-ца С порядка n, что В=СтАС. Опр.Билинейная форма наз. Симметрической, если её м-ца А – симметрическая, т. Е. Ат=А. Утвержд. Если билинейная форма F явл. Симметрической, то и всякая эквмвалентная ей билинейная форма также симметрическая. Док-во: Пусть А- м-ца билинейной формы F. Тогда Ат=А. М-ца любой эквивалентной билинейной формы G имеет вид СтАС. Далее, (СтАС) т= СтАт (С т)т=СтАС. Сл-но, форма G явл. симметрической.
32.A Эўклідавы і ўнітарныя прасторы. Азначэнне, прыклады. Тэарэма пра тое, што канцамерную рэчаісную (камплексную) прастору можна ператварыць у эўклідаву (унітарную). Даўжыня вектару. Няроўнасці Кашы-Бунякоўскага і трохвугольніка. Няхай V – лін.пр-ра над R(С). Вызначана аперацыя дэкартавага здабытку над полем R(С) (f: V×V ). F((а, b))=def= ab, a,bÎV Азн. Няхай V – лін.пр-ра над R і няхай вызн. функцыя V×V® R. Гэтая функцыя наз. скалярным здабыткам, калі выконваюцца наст. аксіемы: 1) "a,b,cÎV, "a,βÎ R (aa+ βb)с= aac+βbc 2) "a,bÎV, ab=ba => "a,b,cÎV, "a,βÎ R, a(ab+βc)= aab+βac 3) "Ō≠а, a*a>0
З азн. скалярнага здабытку вынікае, што "aÎV, Ō*а=а* Ō=0 Азн. Няхай V – лін.пр-ра над С і няхай вызн. функцыя V×V® С. Гэтая функцыя наз. скалярным здабыткам, калі выконваюцца наст. аксіемы: 1) "a,b,cÎV, "a,βÎС (aa+ βb)с= aac+βbc 2) "a,bÎV, ab=ba => 4)"a,b,cÎV, "a,βÎ С 3) "Ō≠а, a*aÎ R, a*a>0 a(ab+βc)=(ab+βc)а=abа+βcа=aab+βac Функцыя, для якой выконваюцца 1),4) наз. эрмітавабілінейнай функцыяй. А эрмітава білінейная функцыя з умовай 2) наз.сіметр. эрміт.біл.ф-цыяй. Азн.Лін.пр-ра над R, на якой вызн. скал. здаб. наз. эуклідавай пр-рай Азн.Лін.пр-ра над С, на якой вызн. скал. здаб. наз. унітарнай пр-рай Прыклады. 1)V3-пр-ра свабодных вектарау ab=|а| |b|соsφ, φ – вугал паміж a,b 2)Rn, а= (α1, α2….αn), b=(b1, b2,..., b n), α i , biÎ R, і=1,n n ab=Σ αi bi – скалярны здабытак на Rn, Rn – эуклідавая пр-ра i=1 Тэарэма. Адвольную канцамерную рэчаісную (камплексную) пр-ру можна ператварыць у эуклідаву (унітарную). Доказ. Няхай V – n-мерная лін.пр-ра над R(С). Выберам у гэтай пр-ры базіс v1,v2,…,vn (1) "a,bÎV з каард. α1, α2….αn b1, b2,..., b n Адпаведна вызнач. ab формулай n n ab=Σ αi bi (для пр-ры над R ), ab=Σ αi bi (для пр-ры над С ) i=1 i=1 гэтая ф-цыя і ёсць скалярны здабытак. Такім чынам V ёсць эуклідавая (унітарная) пр-ра. Азн.Даужыня вектара а эукл.(уніт.) пр-ры наз. лік √а*а = det=|а| Відавочна, што даужыня вектара а роуа 0 к. і т.к. |а|=0óа= Ō, |αа|=|α|*|а| Тэарэма.(няроунасць Кашы-Бунякоускага) "a,b эукл.(уніт.) пр-ры |ab|≤|а|*|b| (2), прычым роунасць выконваецца к.і т.к. вектары a і b – л.з. Тэарэма.(няр-ць трохвугольніка) "a,b эукл.(уніт.) пр-ры |a+b|≤|а|+|b| (3)
b а
a+b
Артаганальныя вектары Азн.:Вектары a i b Эуклідавай(унітарн.) пр-ры наз. артаганальнымі, калі іх скалярны здабытак роуны 0. a^b=>ab=0 Тэарэма Піфагора:Калі вектары а1,а2,…,ак эукл.(уніт.) пр-ры парамі артаганальныя, тады даужыня вектару | а1+ а2+..+ ак|2 = |a1|2+|a2|2+…+|aк|2. Доказ: | а1+ а2+..+ ак|2 = (а1+ а2+..+ ак)( а1+ а2+..+ ак)= ∑ni,j=1 аi aj = ∑ni=1 аi aі = ∑ni=1|аi|2 Азн.: Артаганальнай сіс-май вектарау наз. сіс-ма вектарау эукл.(уніт.) пр-ры, розныя вектары якой артаганальны. Тэарэма:Артаганальнае мн-ва вектарау, якое не мае нулявога вектара лін. незал. Тэарэма:Няхай а1,а2,…,ак (1)- канцоуная сіс-ма вектарау эукл.(уніт.) пр-ры. Тады існуе артаганальная сіс-ма b1,…,bк (2) такая, што 1≤е≤к, а1,а2,…,аe ~ b1,…,bе . Вынік:Сіс-ма вектарау (1) лін.незал. калі і т. к. сістэма (2) атрыманая з яе працэсам артаганалізацыі не мае Ō. Азн.:Артаганальная сіс-ма вектарау наз. ортаунармаванай калі даужыня яе вектарау =1. Вынік: Адвольная ненулявая эукл.(уніт.) пр-ра мае ортаунармаваны базіс. Адвольн. ортаунармаваная сіс-ма можа быць дапоунена да базісу. Заувага: Калі сіс-ма а1,а2,…,ас , аi ≠Ō, с≤к – артаганальная, тады у сіс-ме (2) вектары ai=bi, і=1,с.
|
|
Последнее изменение этой страницы: 2016-08-11 lectmania.ru. Все права принадлежат авторам данных материалов. В случае нарушения авторского права напишите нам сюда... |