Розподілу. Гистограмма. Моменти розподілів випадкових похибок.

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

до проведення практичних занять по дисципліні

„Метрологія і стандартизація”

Для студентів напряму 6.060101-“Будівництво”

Освітньо-кваліфікаційний рівень – «Бакалавр»

Спеціальні види діяльності - “Промислове та цівільне будівництво”

Денна та заочна форми навчання

Одеса – 2012

УДК 691:389.6

ЗАТВЕРДЖЕНО

Вченою Радою

будівельно-технологічного

інституту

Протокол № 5 від 26.01.2012р.

Методичні вказівки розглянуті та рекомендовані до видання на засіданні науково-методичної комісії будівельно-технологічного інституту, протокол № 4 від 20.01.2012р.

Методичні вказівки розглянуті та рекомендовані до видання на засіданні кафедри «Процесів і апаратів в технології будівельних матеріалів», протокол № 4 від 27.12.2011р.

Укладачі: к.т.н., доцент Гара О.А.

к.т.н., асистент Мартинов Є.В.

асистент Москальова Х.М.

Рецензенти: Скачков В.В. - Головний науковий співробітник

Наукового центру БЗСВ військової

академії м.Одеси, д.т.н.

Заволока М.В. – приват-професор кафедри виробництва

будівельних виробів і конструкцій ОДАБА; к.т.н.

Програмою дисципліни „Метрологія і стандартизація” передбачено вивчення базових положень державної системи стандартизації, методів забезпечення якості продукції; науково-методичних основ стандартизації; методів вимірювання і засобів контролю сучасних виробів для будівництва; системи управління якістю продукції.

Проведення практичних занять з дисципліни спрямовано на закріплення теоретичного матеріалу з вказаних питань, а також вивчення одиниць виміру фізичних величин, технічних засобів вимірювань в галузі будівництва, сучасних методів обробки та оцінки результатів вимірювань і методів контролю при виробництві будівельно-монтажних робіт.

Відповідальний за випуск д.т.н., проф. Шинкевич О.С.

Зміст

ВСТУП………………………………………………………………….………..… 4

1. ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ №1: «Одиниці фізичних величин. Система СІ»…. 6

1.1. Розв'язання задач по темі……………………………………………...….. 6

1.2. Контрольні завдання для практичного заняття ….………………………7

2. ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ №2 «Розрахунок похибок і округлення

результатів вимірів. Оцінка величини систематичної похибки

(введення поправок)»…………………………………………………………… 8

2.1. Розв'язання завдань по темі………………………………………………. 8

2.2. Контрольні завдання для практичного заняття …..……………………. 10

3. ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ №3 «Формування диференціального закону

розподілу. Гистограмма. Моменти розподілів випадкових похибок.

Точечні оцінки результатів вимірювань»…………………………………….. 12

3.1. Розв'язання завдань по темі……………………………………………….12

3.2. Контрольні завдання для практичного заняття …..……………………..14

4. ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ №4 «Інтервальні оцінки результатів

вимірювань. Довірчі границі похибки. Виключення грубих похибок»……16

4.1. Розв'язання завдань по темі………………………………………………16

4.2. Контрольні завдання для практичного заняття …..…………………….19

5. ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ №5 «Методи та методики вимірювань.

Розрахунок надійності приладів»…………………………………...……..…..21

5.1. Розв'язання завдань по темі………………………………………….…...21

5.2. Контрольні завдання для практичного заняття …..………………….…22

6. ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ №6 «Класи точності засобів вимірювань»……....25

6.1. Розв'язання завдань по темі………………………………………….…...25

6.2. Контрольні завдання для практичного заняття …..………………….…27

7. ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ №7 «Обробка результатів вимірювань»………...30

7.1. Примір обробки результатів міцності бетону по відскоку…………….30

ДОДАТКИ……………………………………………………………………….....35

Список літератури…………………………………………………………….…...40

Вступ

Оцінка ролі метрології як науки про вимірювання, методи та засоби забезпечення їх єдності та способи досягнення необхідної точності в науково- технічному прогресі сучасного суспільства розкриває широку панораму її можливостей і проблем.

Вимірювання є одним з основних способів пізнання природи, її явищ і законів. Кожному новому відкриттю в області природніх і технічних наук передує велике число різних вимірів. Можливості вченого досліджувати, аналізувати, контролювати й використовувати явища природи повністю залежать від наявних у його розпорядженні засобів і методів вимірів.

Вимірювання служать як отриманню наукових знань, так і отриманню інформації в загальному значенні. Якщо в дослідницькому процесі шляхом вимірів можуть виявлятися зовсім нові фізичні та математичні залежності, то, наприклад, вимірювання характеристик продукції та технологічних процесів подають вимірювальну інформацію, необхідну для керування цими процесами, якістю продукції, забезпечення надійності процесів і організації виробництва.

Прогрес у розвитку засобів вимірювальної техніки в останні роки був забезпечений у результаті бурхливого розвитку теорії вимірів і розробки на її основі нових методів вимірювання, широкого застосування в конструкціях засобів вимірювання останніх досягнень мікроелектроніки, автоматики, обчислювальної техніки, а також успішного розв'язку ряду технологічних завдань.

Курс на економічне зростання України передбачає спрямоване сприяння розвитку промисловості та підприємництва, підвищення якості та конкурентоспроможності вітчизняної продукції.

Здійснено перші серйозні кроки в реалізації Програми інтеграції України до Європейського Союзу, реалізований план дій щодо вступу у Світову організацію торгівлі (СОТ). Це вимагає підвищення рівня участі України в міждержавній стандартизації, суттєвим удосконаленням нашої метрологічної діяльності з опрацюванням економічно обоснованої концепції і програми подальшої її гармонізації з європейськими та міжнародними метрологічними нормами та правилами.

Одним з більш активних шляхів підвищення якості будівельної продукції є її сертифікація державними акредитованими органами по діючим нормам та правилам. Для застереження навколишнього середовища від шкідливого впливу, якій може нанести діяльність людини, необхідно більше уваги приділяти екологічній сертифікації будівельної продукції та виконанню робіт. Контроль якості будівельного виробництва базується на виконанні вимог державних стандартів.

Найбільш загальні способи й підходи забезпечення сприятливої для споживача якості продукції знайшли відображення в стандартах серії ISO-9000, які були визнані в Україні і введені як державні стандарти – серії ДСТУ ISO 9000, ISO 10000 та інш.

При підготовці сучасного спеціаліста за професійним напрямом „Будівництво” важливе місце займає комплекс питань з якості будівельних матеріалів та конструкцій. Їх вирішення залежить від рівня підготовки спеціалістів з основ стандартизації, метрології та взаємозамінності будівельної продукції.

Пробудження творчого інженерного мислення у студентів та грамотність майбутнього спеціаліста-будівельника в питаннях стандартизації та метрології якості будівельного виробництва повинно бути в основі методики учбового процесу, важливою стороною якого є практичні заняття та самостійна робота з літературними джерелами, довідковими матеріалами та стандартами.

Підготовлений методичний матеріал відповідає вимогам Міністерства освіти і науки молоді та спорту України щодо методичних вказівок для вищих навчальних закладів.

Методичні вказівки до виконання практичних занять з дисципліни «Метрологія і стандартизація» підготовлені відповідно освітньо-професійної програми підготовки бакалаврів за напрямом 6.060101 «Будівництво», навчальної програми нормативної дисципліни «Метрологія і стандартизація» для студентів денної та заочної форм навчання, що навчаються за спеціальними видами діяльності - “Промислове та цівільне будівництво”, «Технологія будівельних конструкцій, виробів і матеріалів”, «Міське будівництво і господарство», “Гідротехнічне будівництво”, “Автомобільні дороги та аеродроми”.

1. ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ №1: «Одиниці фізичних величин. Система СІ»

1.1. Розв'язання задач по темі

Завдання 1. Автомобіль рухається по місту зі швидкістю 60 км/г. Після вимикання двигуна та гальмування автомобіль зупиняється через 2 с.

Визначити силу гальмування, якщо маса автомобіля 1,2 т.

Розв'язок: Сила визначається по формулі , де F – сила, m – маса, t – час, v – швидкість. Переводимо всі величини в одиниці СІ:

m = 1,2 т = 1200 кг; v=60 км/год = 16,66 м/с. Знаходимо значення сили гальмування

Н ≈ 10 кН.

Завдання 2. Кутова швидкість, що допускається, у зубчастих передачах в колишніх одиницях дорівнює 1650 об/хв. Виразити кутову швидкість в одиницях системи СІ.

Розв'язок: ω = (1650 • 2π ) / 60 = 55π рад/с = 173 рад/с.

Завдання 3. Сила тиску на ролик при накатуванні різьби становить 305 кгс. Виразити силу в одиницях системи СІ.

Розв'язок: F=305 • 9,80665=2991 Н ≈ 3кН.

Завдання 4. Виразити кінетичну енергію маховика, складову 12,5 кгс·м в одиницях системи СІ.

Розв'язок: ДО=12,5 • 9,80665=122,6 Дж.

Завдання 5. Робота, виконана мотором потужністю 5 кВт за 7 год, становить 35 кВт · ч. Виразити роботу в одиницях системи СІ.

Розв'язок: А=35·10³ •3,6·10³=126·10⁶ Дж= 126 МДж.

Завдання 6. Розшифруйте міжнародні і російські позначення відносних і логарифмічних одиниць: відсоток (%), проміле (‰), мільйонна частка (ppm, млн^-1).

Розв'язок: Це позначення відносних одиниць, що характеризують, наприклад, КПД, відносне подовження і т.п., при цьому прийняте вираження у відсотках (%), коли відношення рівне 10^-2; у проміле (%), коли відношення рівне 10^-3; у мільйонних частках (ppm) при відношенні, рівному 10^-6.

1.2. Контрольні завдання для практичного заняття.

Завдання 1. При випробуванні зразка бетону на міцність при стиску показання шкали пресу склала 10500 кгс. Выразите міцність бетону в одиницях системи СІ, якщо розмири зразка бетону: 100х100х100мм; 150х150х150мм; 70х70х70мм

Завдання 2. Дюймові дошки довжиною 3 м і шириною 20 см відпускаються зі складу за ціною 500 руб. за кубометр. Скільки коштують 10 дощок?

Завдання 3. Швидкість автомобіля на прямолінійній ділянці траси склала 175 км/г. Перевести в одиниці виміру системи СІ.

Завдання 4. На світовому ринку нафта продається за ціною 80 американських доларів за барель. Оцінити щоквартальний розмір виручки від експорту 150 тис. т нафти.

Завдання 5. У багатьох країнах Європи температура виміряється по шкалі Фаренгейта. Якщо в Парижу 68°F, а в Одесі 25°С, то де тепліше?

Завдання 6. Визначити в одиницях СІ середню густину (ρ) зразку пінобетону, якщо його вага склала 140г, а геометричні розміри зразку – 40х40х160мм..

Завдання 7. Кутова швидкість електродвигуна становить 1400 обертів у хвилину. Перевести в одиниці виміру системи СІ.

Завдання 8. Назвіть наведені значення фізичних величин, використовуючи кратні й частинні приставки: 5,3·10¹³ Ом, 10,4·10¹³ Гц, 2,56·10⁷ Па.

Завдання 9. По розмірності і позначенням одиниць визначите, які це фізичні величини і одиниці: 1) L²MT^-2, м²·кг·с^-2; 2) LT^-1, м·с^-1; 3) LT^-2, м·с^-2.

Завдання 10. Напишіть формули розмірності, висловіть через основні і додаткові одиниці СІ та приведіть найменування одиниць наступних електричних величин: 1) частоти; 2) енергії, роботи, кількості теплоти;

3) кількості електрики.

Завдання 11. Для утвору одиниці енергії використовується рівняння , де Е – кінетична енергія, m – маса матеріальної крапки, v – швидкість руху крапки. Потрібно утворити когерентну одиницю СІ.

Завдання 12. Знайдено вираження для визначення швидкості в момент часу t: , де v₀ – швидкість у початковий момент часу; а - прискорення. Визначити, чи вірна формула.

2. ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ №2 «Розрахунок похибок і округлення

результатів вимірів. Оцінка величини систематичної похибки (введення

поправок)»

2.1. Розв'язання завдань по темі

Завдання 1. При перевірці кінцевої міри довжини номінального розміру 100 мм отримане значення 100,0006 мм. Визначити абсолютну і відносні похибки міри.

Розв'язок: Абсолютна похибка міри:

Відносна похибка міри:

Відповідь: ;

Завдання 2. Температура в масляному термостаті вимірюється зразковим паличним скляним термометром, і що перевіряють парогазовим термометром. Перший показав 111°С, другий 110°С. Визначите істинне (дійсне) значення температури, похибку приладу, що перевіряють, виправлення до його показань і оціните відносну похибку термометра.

Розв'язок: Дійсне значення – це показання зразкового приладу, тобто Q = 111°С. Похибка прилада, що перевіряють: Δx = 110°С – 111°С = -1°С.

Виправлення – це похибка виміру, узята зі зворотним знаком: х = +1°С.

Відносна похибка термометра:

Відповідь: Q = 111°С ; Δx = - 1°С ; х = +1°С ; .

Завдання 3. Показання вольтметра з діапазоном вимірів від 0 В до 150 В рівні 51,5 В. Показання зразкового вольтметра, що включений паралельно з першим – 50,0 В. Визначити відносну і наведену похибки робочого вольтметра.

Розв'язок: Відносна похибка робочого вольтметра:

Наведена похибка робочого вольтметра (x_n – значення, що нормує (верхня межа вимірів):

Відповідь: , .

Завдання 4. Користуючись правилами округлення, запишіть результати вимірів 148935 м; 575,4555 м; 575,450 м; 575,55 м; 325,6798 м, якщо перша із замінних цифр є п'ятою за рахунком (зліва направо).

Розв'язок: 148900 м; 575,5 м; 575,4 м; 575,6 м; 325,7 м.

Завдання 5. У таблиці 2.1. наведені результати спостережень і невиправлені відхилення результатів спостережень, які були отримані при порівнянні індуктивності котушки з індуктивністю двох зразкових котушок, рівної 50 Гн. Причому перші чотири спостереження були проведені з першою зразковою котушкою, а шість наступних із другою зразковою котушкою.

Таблиця 2.1.

Результати спостережень х_i

і невиправлені відхилення результатів спостережень _i

1 зразкова котушка	2 зразкова котушка
хі, мГн	i, мГн	хі, мГн	i, мГн
50,82	0,00	50,78	-0,04
50,83	+0,01	50,78	-0,04
50,87	+0,01	50,75	-0,05
50,89	+0,07	50,85	+0,01
		50,82	0,00
		50,81	-0,01

Визначити чи присутні систематичні похибки в результатах спостережень.

Розв'язок: Побудуємо графік послідовності невиправлених відхилень результатів спостережень (малюнок 2.1.).

При заміні зразкової котушки відхилення результатів різко міняються. Стрибок становить 0,11 мГн, що набагато більше максимального з інших стрибків (0,06 мГн при переході від 7 до 8-му виміру). Отже, якась зі зразкових котушок індуктивності вносила похибку у результати спостережень, але не ясно, яка. Графік лише звертає увагу на необхідність правильної атестації зразкових котушок, але не дає ніяких відомостей про значення систематичних похибок.

Відповідь: Систематичні похибки присутні в результатах спостережень.

2.2 Контрольні завдання для практичних занять

Завдання 1. Визначите дійсне значення струму I_Д в електричнім колі, якщо стрілка міліамперметра відхилилася на а₀ = 37 розподілів, його ціна розподілу С_Io = 2 мА/діл., а виправлення для цієї точки Δ = -0,3 мА.

Завдання 2. Вимірюється потужність трифазного струму двома ваттметрами. Яка найбільша похибка виміру, якщо стрілка першого ваттметра показує 120 розподілів і похибка цього приладу не більш 0,5%, а стрілка другого ваттметра показує 40 розподілів і похибку приладу 1%.

Завдання 3. Визначити відносну і наведену попохибки вольтметра, якщо його діапазон вимірів від -12 В до +12 В, значення шкали відмітки, що перевіряють, дорівнює 8 В. Дійсне значення вимірюваної величини 7,97 В.

Завдання 4. Визначите сумарний опір двох послідовно з'єднаних зразкових котушок опору при R₁ = (10 ± 0,05); R₂ = (1 ± 0,02) Ом.

Завдання 5. Визначите абсолютну похибку виміру постійного струму амперметром, якщо він у ланцюзі зі зразковим опором 5 Ом показав струм 5 А, а при заміні приладу зразковим амперметром для одержання тих же показань довелося зменшити напругу на 1 В.

Завдання 6. Визначити похибку при вимірюванні струму амперметром класу точності 1,5, якщо номінальний струм амперметра 30А, а показання амперметра 15А.

Завдання 7. Показання вольтметра з діапазоном вимірів від 0 В до 200 В рівні 140 В. Зразковий вольтметр, включений паралельно, показує 143 В. Визначите відносну і наведену похибки робочого вольтметра.

Завдання 8. Знайдене значення струму І₁ = 26А, а його дійсне значення I = 25А. Визначити абсолютну і відносну похибки виміру.

Завдання 9. При перевірці кінцевого заходу довжини розміру 20 мм отримане значення 20,0005 мм. Визначити абсолютну і відносну похибки.

Завдання 10. Знайти відносну похибку вольтметра класу точності 1,0 з діапазоном вимірів від 0 до 120 В, у точці шкали 40 В.

Завдання 11. Показання вольтметра з діапазоном вимірів від 0 до 200 В рівно 161,5 В. Показання зразкового вольтметра, підключеного паралельно рівно 160 В. Визначите відносну і наведену похибки робочого вольтметра.

Завдання 12. Вимір напруги в ланцюзі проводять зразковим, і що перевіряється вольтметрами. Перший показав напругу 46 В, другий 47 В. Визначите похибку приладу, що перевіряється, і поправку до його показань.

Завдання 13. Яка відносна похибка виміру напруги змінного струму електромагнітним вольтметром при положенні перемикача роду роботи на постійному струмі, якщо прилад показує 128 В при напрузі 127 В.

Завдання 14. Вольтметр має абсолютну похибку Δ = ±0,1 В, через вплив температури є додаткова похибка D = 0,06 В. Визначите сумарну похибку.

Завдання 15. Результат виміру струму Ix = 49,9 А, а його дійсне значення I = 50,0 А. Визначити відносну похибку виміру і поправку, яку слід увести в результат виміру.

Завдання 16. Напишіть округлені до цілих наступні результати вимірів: 1234,50 мм; 8765,50 кг; 43210,500 с.

Завдання 17. Користуючись правилами округлень, запишіть результат вимірів 13,7645 м, 324,5 м, 2753,1 м, зберігши три значущі цифри.

Завдання 18. Результат виміру опору 17,1 Ом, похибка результату ±0,005 Ом. Запишіть результат виміру опору, користуючись правилами округлень.

Завдання 19. У побуті нерідко можна зустріти металеві лінійки до 300 мм із ціною розподілу 1 мм. З якою похибкою можна здійснювати вимірювання такої лінійкою?

3. ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ №3 «Формування диференціального закону

Розв'язання завдань по темі

Завдання 1. Випадкова величина х підлегла закону розподілу, щільність якого задана графічно на малюнку. Записати вираження для щільності розподілу f(х), знайти математичне очікування т_х, дисперсію D_х, середньоквадратичне відхилення σ випадкової величини х.

Розв'язок: Вираження щільності розподілу має вигляд:

Користуючись властивістю щільності розподілу

, знаходимо а = 2.

Математичне очікування величини х:

.

Дисперсію знайдемо через другий центральний момент:

Звідси

Відповідь: , , .

Завдання 2. Знайти ймовірність того, що випадкова величина х із центром розподілу т_х = 2,0 і σ = 1,5 перебуває в межах -1 ≤ х ≤ 5.

Розв'язок: Знайдемо значення нормованої випадкової величини :

Звідки

Скориставшись таблицею Лапласа (Додаток 1), знаходимо Ф(2)= 0,477, тоді = 0,954 = 95,4 %.

Відповідь: Р = 95,4 %

Мал.3.1.Закон розподілу випадкової величини х.

Відповідь: ; m_x = 0; D_x = 2; σ_x = .

Завдання 4. За результатами п'яти спостережень була знайдена довжина стрижня. Підсумок вимірів становить L = (15,785 ± 0,005) мм, S_x = 0,005 мм, причому існує досить обґрунтовані припущення про те, що розподіл результатів спостережень був нормальним. Потрібно оцінити ймовірність того, що дійсне значення довжини стрижня відрізняється від середнього арифметичного з п'яти спостережень не більше ніж на 0,01 мм.

Розв'язок: З умови завдання випливає, що є всі підстави для застосування розподілу Стьюдента.

Обчислюємо значення дробу Стьюдента: ,

і число ступенів волі: k = n - 1 = 5 - 1 = 4.

За даними розподілу Стьюдента знаходимо значення довірчої ймовірності для t_р = 2 і k = 4:

Для t_q= 3 ця імовірність становить

т.е. трохи менше 99,73 %, як і при нормальному розподілі.

Підсумок вимірів зручно записати у вигляді

; мм; Р = 88,38%.

Для t_р = 1 довірча ймовірність становить приблизно 62%, тому підсумок вимірів можна представити також у вигляді

мм; Р=62 % або

мм; Р=96 %.

Відповідь: Р = 88,38 %.

Завдання 5. В умовах попереднього завдання знайти довірчу границю похибки результату вимірів для довірчої імовірності Р=99,0 %.

Розв'язок: По даним значень коефіцієнта Стьюдента при k = 4 знаходимо t_р = 4,604, і, отже, довірча границя становить:

мм.

Підсумок вимірів мм; Р=99,0 % .

Відповідь: мм.

3.2. Контрольні завдання для практичних занять

Завдання 1. У результаті п'яти вимірювань фізичної величини х одним приладом, що не мають систематичної похибки, отримані наступні результати: 92; 94; 103; 105; 106. Визначите:

1) вибіркове середнє М*_х вимірюваної величини;

2) вибіркову D*_х і виправлене S² дисперсії похибки приладу.

Завдання 2. Випадкова величина х - похибка вимірювального приладу розподілена за нормальним законом з дисперсією 16 мВ². Систематична похибка приладу відсутня. Обчислите йімовірність того, що в п'яти незалежних вимірах похибка х:

1) перевершить по модулю 6 мВ не більш трьох раз;

2) хоча б один раз виявиться в інтервалі 0,5 мВ – 3,5 мВ.

Завдання 3. Обробка спостережень, отриманих при калібруванні зразкової багатогранної призми, дала наступні результати для відхилення одного з кутів (а) призми від номінального значення: x = 1,98''; S_x = 0,05''; Θ= 0,03"; п = 20. Представте запис результату виміру.

Завдання 4. Проведено три групи вимірів опору однієї і тієї ж зразкової котушки та отримані наступні результати, Ом: x₁ = 100,145 ± 0,005; x₂ =100,115 ± 0,20; x₃ =100,165 ± 0,010. Шляхом подальшої обробки результатів знайдіть похибку середнього зваженого.

Завдання 5. Показання лічильника Гейгера, що реєструє кількість елементарних часток, що пролетіли крізь нього за 1 секунду, підкоряються розподілу . Знайдіть математичне очікування показань лічильника.

Завдання 6. Зробивши 10 вимірів довжини l_i металевого стрижня, одержали наступні результати, див: 30,45; 30,52; 30,43; 30,49; 30,48; 30,50; 30,46; 30,51; 30,47; 30,49. Проведіть обробку результатів вимірів і приведіть значення довжини стрижня, найбільш наближене до істинного.

Завдання 7. Знайдіть математичне очікування і дисперсію для випадкової величини, розподіленої за біноміальним законом, якщо n = 100, р=0,8.

Завдання 8. Помилка вимірника дальності підлегла нормальному закону із систематичною помилкою μ= 20 м і σ = 60 м. Знайти ймовірність того, що обмірюване значення дальності буде відхилятися від дійсного не більш, ніж на 30 м.

Завдання 9. Монета підкидається n = 1000 раз. Нехай X – число гербів, що випали, – випадкова величина. Визначити інтервал можливих значень X, симетричний щодо математичного очікування, усередині якого X перебуває з імовірністю Р = 0,997.

Завдання 10. Випадкова величина 4 розподілена рівномірно на відрізку [-3;7]. Знайдіть математичне очікування і дисперсію.

Завдання 11. Знайти математичне очікування М[е^х] і дисперсію D[е^х], якщо X має нормальний розподіл з параметрами (а, σ²).

Завдання 12. На складання попадають деталі із трьох автоматів. Відомо, що перший автомат дає шлюбу 0,3%, другий – 0,2% і третій – 0,4%. Знайти ймовірність влучення на складання бракованої деталі, якщо з першого автомата зробило 1000 деталей, із другого – 2000, із третього – 2500.

4. ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ №4 «Інтервальні оцінки результатів

Розв'язання завдань по темі

Завдання 1. Відлік по шкалі приладу з рівномірною шкалою і з межами вимірів від 0 В до 50 В рівний 25 В. Оцінити межі абсолютної похибки, що допускається, цього відліку для приладів наступних класів точності:

а) 0,02/0,01; б) 0,5; в)

Розв'язок:

a)

Тому що х = 25; х_k = 50 В; з = 0,02; а = 0,01 одержуємо:

б) ;

в) .

Відповідь: а) Δ = 0,008В; б) Δ = 0,25 В; в) Δ = 0,13 В.

Завдання 2. За наведеною похибкою визначити клас точності міліамперметра, який необхідний для виміру струму від 0,1 мА до 0,5 мА (відносна похибка виміру не повинна перевищувати 1%).

Розв'язок: мА (обмірюване значення струму - х, беремо на початку шкали, тому що на початку шкали відносна похибка виміру більше).

Відповідь: клас точності міліамперметра 0,2.

Завдання 3. Манометр типу МТ-1 з діапазоном виміру від 0 кгс/см² до 160 кгс/см², клас точності 1,5, використовується для контролю постійного тиску 120 кгс/см². Визначити абсолютну і відносну похибки манометра.

Розв'язок: 1 кгс=9,8 Н; 160 кгс/см² = Н/м²=157·105 Н/м²;

120 кгс/см² = Н/м²=118·105 Н/м².

Н/м²;

Відповідь: 2,4·10⁵ Н/м²; 2 %.

Завдання 4. У ланцюг зі струмом 15 А включено три амперметри з наступними параметрами: класу точності 1,0 зі шкалою на 50 А; класу точності 1,5 на 30 А і класу точності 2,5 на 20 А. Визначити, який з амперметрів забезпечить більшу точності виміру струму в ланцюзі.

Відповідь: другий.

Завдання 5. При перевірці амперметра з межею вимірів 5 А в точках шкали: 1; 2; 3; 4; і 5 А отримані наступні показання зразкового приладу: 0,95; 2,06; 3,05; 4,07; і 4,95 А. Визначити абсолютні, відносні і наведені похибки в кожній точці шкали та клас точності амперметра.

Відповідь: клас точності амперметра 1,4.

Завдання 6. Мікроамперметр на 100 мкА має шкалу в 200 розподілів. Визначите можливу похибку у розподілах шкали, якщо на шкалі приладу є позначення класу точності 1,0.

Відповідь: 2 розподілу.

Завдання 7. При контролі метрологічних параметрів деформаційних (пружинних) манометрів зі шкалою на 300 ділень зміщення стрілки від постукування по корпусу приладу повинне оцінюватися з похибкою, що не перевищує 0,1 діленя шкали. Зіставте цю похибку відліку із припустимою похибкою для манометра класу 0,15.

Відповідь: абсолютна похибка зміщення менше абсолютної припустимої похибки манометра в 4, 5 рази.

Завдання 8. Для виміру напруги від 50 В до 130 В з відносною похибкою, що не перевищує 5 %, був замовлений вольтметр із верхньою межею виміру 150 В и класом точності 1,0. Чи задовольняє він поставленим умовам?

Відповідь: замовлений вольтметр задовольняє поставленим умовам.

Завдання 9. Визначите по наведеній похибки клас точності вимірювального приладу за умови, що відносна похибка виміру в середині шкали не повинна перевищувати 1 %.

Відповідь: 0,5 %.

Завдання 10. Клас точності ваг 0,2, визначите допустиму відносну похибку цих ваг на початку (1 ділення) і в середині шкали, якщо ваги розраховані на 100 ділень.

Відповідь: 20 %; 0,4 %.

6.2. Контрольні завдання для практичних занять

Завдання 1. Похибка виміру однієї і тієї ж величини, виражена в частках цієї величини: 1·10^-3 – для одного приладу; 2·10^-3 – для другого. Який з цих приладів точніше?

Завдання 2. Визначите відносну похибку для приладу класу 0,5, що має шкалу 100 ділень. Наскільки ця похибка більше похибки на останньому - сотому розподілі шкали приладу?

Завдання 3. При контролі метрологічних параметрів деформаційних (пружинних) манометрів зі шкалою на 300 ділень зміщення стрілки від постукування по корпусу приладу повинне оцінюватися з похибкою, що не перевищує 0,1 діленя шкали. Зіставте цю похибку відліку із припустимою похибкою для манометра класу 0,15.

Завдання 4. Вказівник відлікового пристрою частотоміра класу точності 0,2 з номінальною частотою 50 Гц, шкала якого наведена на малюнку 6.1., показує 54 Гц. Чому дорівнює вимірювана частота?

Рис.6.1. Вказівник відлікового пристрою частотоміра

Завдання 5. Вольтметр типу Д566/107, класу точності 0,2, має діапазон вимірів від 0 В до 50 В. Визначити абсолютну і відносну похибки що допускаються, якщо стрілка вольтметра зупинилася на розподілі шкали проти цифри 20 В.

Завдання 6. З теоретичної метрології відомо, що якщо за результат виміру взятм середнє арифметичне з п вимірів, точність підвищується в раз. Скільки вимірів електричного опору резистора треба зробити омметром класу 1,0, щоб визначити її з похибкою 0,1%?

Завдання 7. Вказівник відлікового пристрою вольтметра класу точності 0,5, шкала якого наведена на малюнку 6.2., показує 120 В. Представити результат однократного виміру (шкала рівномірна).

Мал.6.2. Вказівник відлікового пристрою вольтметра

Завдання 8. Клас точності ваг 0,2, визначите допустиму похибку цих ваг на початку (1 ділення) і в середині шкали, якщо ваги розраховані на 100 ділень.

Завдання 9. Вказівник відлікового пристрою омметра класу точності 2,5 із суттєво нерівномірною шкалою довжиною 100 мм показує 100 Ом. Чому дорівнює вимірюваний опір?

Завдання 10. При вимірі напруги вольтметром класу точності 0,5/0,1 з верхнім діапазоном вимірів 250 В його показання були 125 В. Визначите відносну похибку вольтметра.

Завдання 11. Амперметр класу точності 1,5, має діапазон вимірів від 0 В до 250 А. Визначити абсолютну і відносну похибки, що допускаються, якщо стрілка амперметра зупинилася на розподілі шкали проти цифри 75 А.

Завдання 12. Вказівник відлікового пристрою ампервольтметра класу точності 0,02/0,01 зі шкалою, наведеної на малюнку 6.3., показує — 25 А. Чому дорівнює вимірювана сила струму?

Мал.6.2. Вказівник відлікового пристрою амперметра

Завдання 13. При визначенні класу точності ваттметра, розрахованого на 750 Вт, одержали наступні дані: 47 Вт - при потужності 50 Вт, 115 Вт - при 100 Вт; 204 Вт - при 200 Вт; 413 Вт - при 400 Вт; 728 Вт - при 750 Вт. Який клас точності приладу?

Завдання 14. Вказівник відлікового пристрою цифрового ампервольтметра класу точності 0,02/0,01 показує 25 А. Чому рівна вимірювана сила струму?

Завдання 15. Якого класу точності потрібно побрати вимірювальний прилад, щоб у середині шкали його похибка виміру не перевищувала 1%?

7. ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ №7 «Обробка результатів вимірювань»

6 6

∑ х_i = 50,8; ∑ (х_i – х_сер)² = 0,5406

1 1

Розраховують середнє квадратичне відхилення по формулі:

∑ (х_i – х_сер)² 0,5406

s = ± √ ---------------------- = ±√ ----------- = ± 0,33

N – 1 5

Якщо прийняти імовірність β = 0,05 (таблиця 7.2.), то при розрахунку х_сер вимірювання х₇ = 9,5 слід ні враховувати, так як:

│‌‌‌х₇ - х_сер ‌│ 9,5 – 8,47

--------------- = --------------- = 3,1 > t_β = 2,777