Точечні оцінки результатів вимірювань»

Розв'язання завдань по темі

Завдання 1. Випадкова величина х підлегла закону розподілу, щільність якого задана графічно на малюнку. Записати вираження для щільності розподілу f(х), знайти математичне очікування т_х, дисперсію D_х, середньоквадратичне відхилення σ випадкової величини х.

Розв'язок: Вираження щільності розподілу має вигляд:

Користуючись властивістю щільності розподілу

, знаходимо а = 2.

Математичне очікування величини х:

.

Дисперсію знайдемо через другий центральний момент:

Звідси

Відповідь: , , .

Завдання 2. Знайти ймовірність того, що випадкова величина х із центром розподілу т_х = 2,0 і σ = 1,5 перебуває в межах -1 ≤ х ≤ 5.

Розв'язок: Знайдемо значення нормованої випадкової величини :

Звідки

Скориставшись таблицею Лапласа (Додаток 1), знаходимо Ф(2)= 0,477, тоді = 0,954 = 95,4 %.

Відповідь: Р = 95,4 %

Мал.3.1.Закон розподілу випадкової величини х.

Відповідь: ; m_x = 0; D_x = 2; σ_x = .

Завдання 4. За результатами п'яти спостережень була знайдена довжина стрижня. Підсумок вимірів становить L = (15,785 ± 0,005) мм, S_x = 0,005 мм, причому існує досить обґрунтовані припущення про те, що розподіл результатів спостережень був нормальним. Потрібно оцінити ймовірність того, що дійсне значення довжини стрижня відрізняється від середнього арифметичного з п'яти спостережень не більше ніж на 0,01 мм.

Розв'язок: З умови завдання випливає, що є всі підстави для застосування розподілу Стьюдента.

Обчислюємо значення дробу Стьюдента: ,

і число ступенів волі: k = n - 1 = 5 - 1 = 4.

За даними розподілу Стьюдента знаходимо значення довірчої ймовірності для t_р = 2 і k = 4:

Для t_q= 3 ця імовірність становить

т.е. трохи менше 99,73 %, як і при нормальному розподілі.

Підсумок вимірів зручно записати у вигляді

; мм; Р = 88,38%.

Для t_р = 1 довірча ймовірність становить приблизно 62%, тому підсумок вимірів можна представити також у вигляді

мм; Р=62 % або

мм; Р=96 %.

Відповідь: Р = 88,38 %.

Завдання 5. В умовах попереднього завдання знайти довірчу границю похибки результату вимірів для довірчої імовірності Р=99,0 %.

Розв'язок: По даним значень коефіцієнта Стьюдента при k = 4 знаходимо t_р = 4,604, і, отже, довірча границя становить:

мм.

Підсумок вимірів мм; Р=99,0 % .

Відповідь: мм.

3.2. Контрольні завдання для практичних занять

Завдання 1. У результаті п'яти вимірювань фізичної величини х одним приладом, що не мають систематичної похибки, отримані наступні результати: 92; 94; 103; 105; 106. Визначите:

1) вибіркове середнє М*_х вимірюваної величини;

2) вибіркову D*_х і виправлене S² дисперсії похибки приладу.

Завдання 2. Випадкова величина х - похибка вимірювального приладу розподілена за нормальним законом з дисперсією 16 мВ². Систематична похибка приладу відсутня. Обчислите йімовірність того, що в п'яти незалежних вимірах похибка х:

1) перевершить по модулю 6 мВ не більш трьох раз;

2) хоча б один раз виявиться в інтервалі 0,5 мВ – 3,5 мВ.

Завдання 3. Обробка спостережень, отриманих при калібруванні зразкової багатогранної призми, дала наступні результати для відхилення одного з кутів (а) призми від номінального значення: x = 1,98''; S_x = 0,05''; Θ= 0,03"; п = 20. Представте запис результату виміру.

Завдання 4. Проведено три групи вимірів опору однієї і тієї ж зразкової котушки та отримані наступні результати, Ом: x₁ = 100,145 ± 0,005; x₂ =100,115 ± 0,20; x₃ =100,165 ± 0,010. Шляхом подальшої обробки результатів знайдіть похибку середнього зваженого.

Завдання 5. Показання лічильника Гейгера, що реєструє кількість елементарних часток, що пролетіли крізь нього за 1 секунду, підкоряються розподілу . Знайдіть математичне очікування показань лічильника.

Завдання 6. Зробивши 10 вимірів довжини l_i металевого стрижня, одержали наступні результати, див: 30,45; 30,52; 30,43; 30,49; 30,48; 30,50; 30,46; 30,51; 30,47; 30,49. Проведіть обробку результатів вимірів і приведіть значення довжини стрижня, найбільш наближене до істинного.

Завдання 7. Знайдіть математичне очікування і дисперсію для випадкової величини, розподіленої за біноміальним законом, якщо n = 100, р=0,8.

Завдання 8. Помилка вимірника дальності підлегла нормальному закону із систематичною помилкою μ= 20 м і σ = 60 м. Знайти ймовірність того, що обмірюване значення дальності буде відхилятися від дійсного не більш, ніж на 30 м.

Завдання 9. Монета підкидається n = 1000 раз. Нехай X – число гербів, що випали, – випадкова величина. Визначити інтервал можливих значень X, симетричний щодо математичного очікування, усередині якого X перебуває з імовірністю Р = 0,997.

Завдання 10. Випадкова величина 4 розподілена рівномірно на відрізку [-3;7]. Знайдіть математичне очікування і дисперсію.

Завдання 11. Знайти математичне очікування М[е^х] і дисперсію D[е^х], якщо X має нормальний розподіл з параметрами (а, σ²).

Завдання 12. На складання попадають деталі із трьох автоматів. Відомо, що перший автомат дає шлюбу 0,3%, другий – 0,2% і третій – 0,4%. Знайти ймовірність влучення на складання бракованої деталі, якщо з першого автомата зробило 1000 деталей, із другого – 2000, із третього – 2500.

4. ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ №4 «Інтервальні оцінки результатів