Главная Случайная страница


Категории:

ДомЗдоровьеЗоологияИнформатикаИскусствоИскусствоКомпьютерыКулинарияМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОбразованиеПедагогикаПитомцыПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРазноеРелигияСоциологияСпортСтатистикаТранспортФизикаФилософияФинансыХимияХоббиЭкологияЭкономикаЭлектроника






Основные сведения из теории вероятностей.

Основу статистического подхода, при описании очень большого числа частиц, составляет теория вероятностей. Действительно, учитывая, что описание движения каждой частицы макросистемы представляет собой совершенно немыслимую задачу, статистическая физика оперирует со средними значениями параметров очень большого числа частиц. Колоссальное число частиц в макросистеме приводит, несмотря на очевидный хаос, к появлению новых, статистических закономерностей. Их изучение и делает возможным описание макросистем на основе сведений о свойствах отдельных частиц системы. Итак, как уже говорилось в самом начале, основу статистической физики составляет теория вероятностей. Вероятность интересующего нас события характеризуется кратностью его повторения. Так, например, если в случаях i-е событие происходит раз, то вероятностью этого события называют величину:

Так как на практике всегда конечно, то для вычисления вероятности стараются, чтобы и были достаточно большими. Тогда можно считать, что:

Отсюда следует, что сумма вероятностей всех возможных результатов измерений будет равна единице, т.е.

Теперь обратимся к вычислению вероятностей сложных событий. Рассмотрим две основные теоремы: о сложении и умножении вероятностей. Проще всего данные теоремы можно понять на примере бросаний игрального кубика или костей.

1. Теорема о сложении вероятностей. Данная теоремазаключается в том, что вероятность того, что в результате бросаний игрального кубика выпадает одно из его возможных значений i или k. В результате будем иметь соответственно:

2. Теорема об умножении вероятностей. Найдём вероятность того, что при двух бросаниях игрального кубика выпадет последовательно одно из возможных его значений i или k (или наоборот). Рассмотрим двойных бросаний кубика. Пусть первый кубик из каждой пары бросков дал i значений в случаях, так что:

Теперь выделим из этих случаев те случаев, когда второй игральный кубик давал k значений, так что:

тогда искомая вероятность будем равна соответственно:


Средние значения случайных величин. Так, зная вероятности появления различных результатов измерения дискретной величины , можно найти их среднее значение . По определению среднего:

Функция распределения. Рассмотрим случай, когда случайная величина имеет непрерывный характер (например, скорости молекул). Для этого разобьём всю область изменения на отдельные интервалы и будем считать число попаданий случайной величины в тот или иной интервал. При этом интервалы должны быть во избежание заметных флуктуаций достаточно большими, чтобы в каждом интервале число попаданий было и чтобы с помощью выражения:

можно было определить вероятность попадания случайной величины в данный интервал. Вместе с тем интервалы должны быть достаточно небольшими для того, чтобы более детально охарактеризовать распределение некоторой случайной величины . Итак, пусть у нас имеется достаточно большое число небольших интервалов . Допустим, нам известна вероятность попадания величины в тот или иной интервал . Поскольку сама величина будет весьма мала, поэтому в качестве характеристики случайной величины в общем случае берут отношение , которое для достаточно малых интервалов не будет зависеть от величины самого интервала . Это отношение при называют функцией распределения случайной величины :

Отсюда хорошо видно, что функции распределения можно приписать смысл плотности вероятности, т.е. вероятности интересующей нас величины оказаться в единичном интервале вблизи значения . В самом общем случае, как это хорошо видно на рис.9, функция распределения имеет вид гауссовой кривой вида:

Рис.9. Функция распределения случайной величины.

В соответствии с выражением:

площадь полоски шириной на этом рисунке будет равна вероятности того, что случайная величина окажется в пределах интервала :

Вероятность того, что величина попадает в интервал :

в общем случае будет равна единице. Попадание величины в указанный интервал, есть достоверное событие, называемое также условием нормировки:

где интегрирование производится по всему интервалу возможных значений величины . Из условия нормировки в свою очередь следует, что вся площадь под кривой также будет равна единице. Как это несложно заметить, выражение:


является аналогом уравнения:

Средние значения. Среднее значение случайной величины можно найти, зная её нормированную на единицу функцию распределения. Так, обращаясь к уравнению:

легко увидеть, что оно оказывается справедливым и для случая, когда интервал изменения величины , разбивается на небольшие участки. Уменьшая участки, при бесконечно большом разбиении, мы должны будем, в конце концов, заменить величину вероятности на бесконечно малое изменение данной величины, а знак суммирования – на интеграл. Тогда будем иметь соответственно:

где интегрирование проводится по интересующему нас интервалу значений . Аналогичные формулы справедливы для любой функции , например:

Флуктуации. Вероятность случайного события и экспериментально наблюдаемая доля результатов измерений, когда событие осуществляется, – не одно и то же. Последняя, т.е. доля результатов – всегда испытывает случайные отклонения от предсказываемой вероятности. Именно такого рода отклонения происходят в любых макросистемах. Эти самые отклонения и обусловливают флуктуации измеряемой величины . Так, согласно теории вероятностей, с увеличением числа испытаний относительная флуктуация любой величины уменьшается по закону . Поскольку при статистическом подходе имеют дело не с одной конкретной молекулой, а с достаточно большим их количеством – именно по этой причине законы, получаемые на основе статистических представлений о движении частиц макросистемы, оказываются точными. В дальнейшем мы часто будем использовать понятие бесконечно малого объёма макросистемы. Под этим будем понимать такой объём, размеры которого ничтожно малы по сравнению с объёмом самой макросистемы, но всё же намного превосходящие размер самих микрочастиц. Каждая бесконечно малая область, предполагается, содержит число частиц настолько большое, что относительной их флуктуацией можно пренебречь.

Распределение Максвелла.

Последнее изменение этой страницы: 2016-08-11

lectmania.ru. Все права принадлежат авторам данных материалов. В случае нарушения авторского права напишите нам сюда...