Гипотеза де Броиля.волновой пакет частиц.

Де Бройль распространил корпускулярно-волновой дуализм на частицы. Каждой частице, обладающей энергией E и импульсом р, Де Бройл сопоставил волну:

- волна Де Бройля. Соотношение Де Бройля связывают энергию частицы с частотой волны, импульс частицы с волновым вектором или длиной волны назыв. длиной волны Де Бройля.

Ћω=E => ω=E/Ћ;

;;

Строго говоря, сопостовлять частице волну де Бройля можно строго в ограниченных случаях(свободная частица). Частице можно сопоставить для образного представления группу волн. Рассмотрим группу волн и покажем, что центр группы волн движеться с такой же скоростью, как и частица обладающая энергией E и импульсом р: , где –скорость центра группового пакета. ν -скорость частицы, к кот-ой сопоставляется этот групп-ой пакет. Рассмотрим случай, когда

ν « с. Преобразуем релятив. Выражение для энергии:

Энергию можно записать:

Найдём групповую скорость

Использовали, что для волны р=ћk, а для частицы . Волны обладают св-вом дисперсии (разложение света). Со временем групповой пакет размывается в следствии явл-ния дисперсии => частица, кот-ой сопоставили волновой пакет, со временем увеличив. свои размеры(до бесконечности). Правильное толкование волне Де Бройля дал Макс Борн. Волны Де Бройля имеют вероятностный смысл. Борн показал, что интенсивность волны де Бройля определяет вероятность нахождения частицы в данный момент времени в данной точке пространства. Ф-ция де Бройля явл. Сложной ф-цией координат и времени. И вообще никакого отношения к волне не имеет, однако термин волновая ф-ция сох-ся.

Интенсивность волны определяется :

;

- определяет вероятность нахождения частицы в данной точке прос-ва в данный момент времени.

- вероятность нах-ния частицы в данный момент времени в бесконечно малом объеме dV.

- вероятность нах-ния частицы в донный момент времени в конечном объеме V.

-данное равенство говорит о том, что частица точно нах-тся в данный момент времени в конечном объеме V. Данное условие наз-тся- условием нормировки. Все волновые ф-ции, описывающие состояния кванто-механич.системы в обязательном порядке нормируются.

Операторы.

Совокупность значений, кот. может принимать нек. физ. величина в квант. мех. наз. спектром значений. Спектр значений может быть непрерывным, если физ. величина принимает непрерывный ряд значений(координата,скорость,потенциальная энергия), а также спектр может быть дискретным,если физ. величина принимает дискретный значения(энергия).Каждой физической величине в квантовой механике сопоставляется оператор. Оператор-это символ,показывающий каким образом нек. волновой ф-ции можно сопоставить другую волновую ф-цию.

fΨ(x,y,z,t)= (x,y,z,t)

Cостояние системы в кот. физ. величина f принимает некоторое значение f_n (дискретный спектр),описывается волновой функцией Ψ_n. Данная волновая ф-ция наз. собственной волновой ф-цией системы. Действие оператора,на собственную волновую функцию сводится к проcтому умножению собств. знач. физ. величины на собственную волновую ф-цию.

_n=fΨ_n

-Оператор координаты.

есть сама координата(=x, =y, =z)

(x,y,z)=f(x,y,z) (x,y,z)=U(x,y,z)

оператором ф-ции координат явл. сама ф-ция и ее действие на собственные волновые ф-ции,свод. к прост-му умножению волновой ф-ции на ф-цию координат.

Ψ=UΨ

-Оператор компонент импульса.

-Оператор полного импульса.

Импульс:

Оператор полного импульса:

Оператор импульса:

-Оператор момента импульса

основой явл. момент импульса :

оператор момента импульса:

операторы компонент момента импульса:

Подставим операторы компонент импульса:

-Оператор кинетической энергии.

Кинетическая энергия T=

Оператор кинетической энергии T= =

-Оператор потенциальной энергии.

Т.к. явл. ф-цией координат,то оператором пот. энергии явл. сама потенциальная энергия:

-Оператор полной энергии.

полная энергия:

оператор:

В квант. мех. невозможно одновременно измерить кин. и пот. энергию, что является следствием соотношения неопределенности Гейзенберга. Кин. энергия-ф-ция скорости,потенциальная-ф-ция координат,а в квантовой мех. одновременно измерение точных значений скорости и координат невозможно.В квант. мех. одновременно можно измерить лишь модуль момента импульса и одну из его проекций.

Собственные волновые функции и собственные значения физических величин. Собственные волновые функции оператора компоненты импульса.

Совокупность значений, кот. может принимать нек. физ. величина в квант. мех. наз. спектром значений. Спектр значений может быть непрерывным, если физ. величина принимает непрерывный ряд значений(координата,скорость,потенциальная энергия), а также спектр может быть дискретным,если физ. величина принимает дискретный значения(энергия).

Cостояние системы в кот. физ. величина f принимает некоторое значение f_n (дискретный спектр),описывается волновой функцией Ψ_n. Данная волновая ф-ция наз. собственной волновой ф-цией системы.

Ур-ние для собственного значения компонент импульса

Для фиксированного моментавремени:

Разделим переменные

Интегрируем, получаем:

Ψ(x)=C

Полученная волновая функция является корд.частью волны де Бройля(т.е. частице с комп. импульса() соответствует плоская волна распространяющаяся в направлении оси Х).