Соотношение неопределенностей Гейзенберга.

В квантовой механике отсутствует понятие траектории. Если в классической механике можно одновременно определить место нахождения частицы и ее скорость, то в квантовой механике это невозможно. Чем точнее определяется координата частицы, тем больше неточность в определении ее импульса. Щель шириной ∆у. 1ый дифракционный максимум. Рассмотрим дифракцию электрона на щели. До того как электрон пройдет щель, проекция импульса эл-на на ось у=0. Координата у до пролета эл-ном щели не определена. В тот момент, когда эл-н проходит щель, неопределенность у становится ∆у. При прохождении эл-ном щели в рез-те дифракции, эл-н рассеивается. Наиболее вероятная область рассеивания эл-на – область 1-го дифракционного максимума, кот. огранич. 2 симметричными минимумами. В рез-те дифракции, импульс эл-на попадает в область, опр. углом 2. В проекции импульса Р_у появляется неопределенность равная ∆р=2p*sin. Условие главного дифракционного минимума имеет вид b*sin =mλ, m=±1;±2…; ∆у*sin =λ => sin =λ/∆y;

Подставим: ∆p_y=2p* λ/∆y; ∆y∆ p_y=2ћkλ; ∆y∆p_y=2λћ*2π/λ; ∆y∆p_y=4πћ, где 4πћ=const; т.е. ∆y∆p_y=const; точные соотношения неопределенностей Гейзенберга имеют вид ;

; ; при решении пользуются упрощенными: ∆x∆ где ћ=h/2π; ∆y∆ ∆x∆

∆z∆ иногда используются соотношения вида ∆x∆

∆y∆ ∆z∆ Существует еще одно соотношение ∆E*∆t~ћ. Чем точнее надо измерить энергию, тем больше времени надо затратить.

Опыт Дэвиссона и Джермера. Смысл волн де Бройля

Опыт Дэвиссона-Джермера — физический эксперимент по дифракции электронов, проведённый в 1927 г. американскими учёными Клинтоном Дэвиссоном и Лестером Джермером.

Идея опыта:

Проводилось исследование отражения электронов от монокристалла никеля. Установка включала в себя монокристалл никеля, сошлифованный под углом, и установленный на держателе. На плоскость шлифа направлялся перпендикулярно пучок монохроматических электронов. Скорость электронов определялась напряжением U на электронной пушке: . Под углом θ к падающему пучку электронов устанавливался цилиндр Фарадея, соединённый с чувствительным гальванометром. По показаниям гальванометра определялась интенсивность отражённого от кристалла электронного пучка. Вся установка находилась в вакууме.

В опытах измерялась интенсивность рассеянного кристаллом электронного пучка в зависимости от угла рассеяния 0<θ<90^o от азимутального угла 0<φ<360^o , от скорости электронов в пучке.

Опыты показали, что имеется ярко выраженная селективность (выборочность) рассеяния электронов. При различных значениях углов и скоростей, в отражённых лучах наблюдаются максимумы и минимумы интенсивности. Условие максимума: ∆=2d*sinθ=λn, n=1,2..

Здесь d— постоянная кристаллической решётки.Таким образом наблюдалась дифракция электронов на кристаллической решётке монокристала. Опыт явился блестящим подтверждением существования у микрочастиц волновых свойств. Правильное толкование волн Дебройля дал Макс Борн. Волны Дебройля имеют вероятностный смысл. Борн показал, что интенсивность волны Дебройля определяет вероятность нахождения частицы в данный момент времени в данной точке пространства. Ф-ция Дебройля является сложной ф-цией координат и времени и никакого отношения к волне не имеет, но термин «волновая ф-ция» сохранился. Интенсивность волны Дебройля опр-ся Ψ*φ^*=|Ψ|². это вероятность нахождения частицы в данной точке пространства в данный момент времени. Условие нормировки: Данное равенство говорит о том, что частица точно находится в данный момент времени в объеме V.

Гипотеза Планка. Вывод формулы Планка.

Объяснить особ. Теплового излучения удалось планку.Он предположил, что что энергия излучается в виде отдельных порций. Энергия такой порции:

Е=h*ν=ħ*ω

h-постоянная планку ħ=h/2π

h=6,62*10^-34 ħ=1,05*10^-34

Частица, несущая эту порцию энергии получила название фотон

Е=n*h*v

Рассматривая систему стоячих волн Планк предположил что энергия, излуч. телом должна быть пропоциональна мин. Порции: =n*h*

Вероятность того, что будет испущ. Порция света с энергией n*h*v :

P_n=N_n/N

N_n-Число случаев приводящих к данному рез-ту

N-общ. число случ.

Распределение колебаний по энергии определяется по закону больцмана

N~e^-En/kT

P_n= e^-En/kT/∑ e^-En/kT

Средн. знач. энергии, Приходятся на одну стоячую волну <E>=∑ E_nP_n

<E>=(∑ nhe^{- nhv /kT})/ ∑ e^-nhv/kT

<E>=(∑ nħω e^{- nħω /kT})/ ∑ e^{- nħω /kT}

В рез-те преобразований для среднего зачения эергии получим выражение:

<E>= ħω*1/( e^{- ħω /kT}-1)

Для подсчёта плотн испуск. энергии необх. средн. знач. энергии умножить на число стоячих волн.

dn_ω=2ω²dω/2π²c³

U_ω,Tdω=<E>dn_ω

U_ω,T= ħω³/π²c³(e^{- ħω /kT}-1)

r_ω,T=f(ω,T)=( ħω³/4π²c²)*(1/(e^{- ħω /kT}-1))

В случае когда формула Планка переходит в формулы Релея – Джинса

Внешний фотоэффект.

Внешний фотоэффект- явление выбивания электронов метала под действием света.

Закономерности вн. фотоэффекта:

1)Фототок насыщения зависит только от интенсивности падающего на катод излучения т.е. от светового потока

2)Частота падающего на катод излучения влияет только на кинетическую энергию выбитых из катода эл-нов

3) Внешний фотоэффект имеет красную границу. Т.е. частоту, ниже кот. венешн. фотоэффект перестаёт наблюдаться.

Вольтамперная характеристика имеет вид внешнего фотоэффекта:

Если между катодом и анодом нет напряжения, т.е. U=0, через трубку всё равно протекает малый эл. ток,( получивший название теневого).

Падающий на катод свет выбивает эл-ны, незначительная часть которых обладает достаточной кин. энергией, чтобы долететь до анода, таких электронов оч мало.

При увелич напряжения между катодом и анодом, фототок увеличивается и при достижении некот. напряжения , остаётся постоянным несмотря на дальнейшее увелич. напр. Достигается ток насыщения.

Ток насыщения –ток, кот создаётся всеми выбитыми из катода электронами в ед. времени.Чтобы прекратить ток, протекающий в цепи необх. между катодом и анодом подать обратн. напр.(Накатод +, на анод -)-запирающее напряжение

Чем больше частота падающ. излуч-я, тем больше по модулю запирающ. напряжения.Объяснить особенности внешн. фотоэффекта сумел Эйштэин, высказав гипотезу что свет поглащ-ся квантами(E=hv)

h=A_вых+mv²/2

Cогл. ур-ю Эншэйна при однофотонном внешнем фотоэффекте, энергия падающ. фотона расходуется на р-ту выхода эл-на из метала и сообщ. эл-ну кинетич. энергии.

Фотон- частица, несущая квант энергии h.

Особенности:

1)Интенсивность падающего потока опр-ся числом фотонов. Кажд. фотон выбивает 1 электрон.

Фототок насыщения опр-ся кол-вом выбитых в ед . времени эл-нов. 2)Работыа выхода для данного метала есть величина постоянная. Как видно из ур-я Энштейна, увеличение частоты приводит к увеличению кин. энергии выбитого эл-на

mv²/2=eU_з

3)hv_кр=A; v<A/h-внешн. фотоэффект не наблюдается

Часть энергии фотона расх-ся на А вых, т.е. для того чтобы эл-н вышел из метала, ему нужно сообщ. некот энергию. Данный факт объясняется 2-мя причинами

1.При выходе эл-на из метала, мет. заряж положительно=> возникают силы, кот стремятся вернуть электрон в метал.

2.Вылетевшие из мет. эл-ны мешают силами отталкивания вылету др. эл-нов. Т е для того чтобы выйти из металла электрону нужно пройти через конденсатор.

Эффект Комптона.

Заключается в том, что при рассеянии света на лёгких атомах наряду с длиной волны падающ. излучения , появляется смещ. по длине волны в сторону больших длин волн.

Комплоновское смещ-е дл. волны определ-ся ф-лой:

∆λ=ksin²(Ѳ\2)

Эффект комплона можно объяснить если рассм. упругое соударение 2-х частиц: фотона и электрона.

Для легких атомов эд-н слабо связ. с атомоми легко отщепляется.

При упр. соударении выполняется з-н сохранения имп. и з-н сохр. энергии.

h^-> k^-> импульс до соударения.

h^-> k^,-> импульс после соударения.

p^->-имп. эл-на

(ЗСИ)

ħω – энергия падающего фотона

ħω^, - энергия рассеянного фотона

hv= ħω

mc²-энергияпокоящегося электрона

Е=с(p²+m²c²)^1\2 Энергия движужегося эл

(Это система)

k=2π/λ

p^->=h^->(k^->+k^.->)

ħ(ω-ω^,)+mc²=c(p²+m²c²)^1/2

p²= ħ²(k²-2kk^,cos(Ѳ)+k^,2)

(ħ(ω-ω^,)+mc²)²=c²(p²+m²c²)

c²p²=( ħ(ω-ω^,)+mc²)²-m²c⁴

p²= ħ²(k²-2kk^,cos(Ѳ)+k^,2)

c²p²= ħ²c²(k-k^,)²+m²c⁴+2 ħc(k-k^,)mc²-m²c⁴

p²= ħ²(k²-2kk^,cos(Ѳ)+k^,2)

2cħm(k-k^,)=2 ħ²kk^,(1-cos(Ѳ))

cm(k-k^,)= ħkk^,(1-cos(Ѳ))

cm2π(λ^,-λ)/ (λ^, λ)= (ħ4π²/( λ^, λ))*2sin²(Ѳ/2)

∆λ= (4πħ/cm)*sin²(Ѳ/2)

Эффективная масса электрона

Электроны проводимости в металле движутся в периодическом силовом поле кристаллической решетки. Квантовомеханический расчет приводит для этого случая к дисперсионной кривой.

если создать в металле электрическое поле Е, электрон проводимости будет находится под действием двух сил: силы -еЕ и силы F_кр, обусловленной действием периодического поля решетки. Поэтому уровнение движения электрона имеет вид

С учетом дисперсионной кривой, это уровнение может быть приведено к виду

Следовательно, электрон проводимоти можно рассматривать как квазичастицу, обладающу массой

Называемой Эффективной массой электрона в кристалле. Эффективная масса m*может сильно отличаться от истинной массы электрона, в частности она может принимать отрицательные значения. Несмотря на это, именно m* обпределяет характер движения электрона в решетке под действием силы -еЕ.

Исследуем зависимость эффективной массы m* от «местоположения» электрона на дисперсионной кривой. В окрестности точек А и А’ кривая мало отлич от пораболы(кривая для свободных электронов). => m*≈m.

В точке перегиба равна нулю. => m* обращается в бесконечность. Значит внешнее поле не может изменить скорость электрона, наход в состоянии с энергией ε_в

Дисперсионная кривая для электропроводимости в металле.