Категории: ДомЗдоровьеЗоологияИнформатикаИскусствоИскусствоКомпьютерыКулинарияМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОбразованиеПедагогикаПитомцыПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРазноеРелигияСоциологияСпортСтатистикаТранспортФизикаФилософияФинансыХимияХоббиЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Наивероятнейшее число появлений события в независимых испытанияхЧисло k0 (наступления события в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р) называют наивероятнейшим, если вероятность того, что событие наступит в этих испытаниях k0 раз, превышает (или, по крайней мере, не меньше) вероятности остальных возможных исходов испытаний. Наивероятнейшее число k0 определяют из двойного неравенства np-q≤k0≤np+p, причем: а) если число nр-q — дробное, то существует одно наивероят нейшее чиcло k0; б) если число nр-q — целое, то существует два наивероятнейших числа, а именно: k0 и k0+1; в) если число nр—целое, то наивероятнейшее число k0 = nр. Пример. Испытывается каждый из 15 элементов некоторого устройства. Вероятность того, что элемент выдержит испытание, равна 0,9. Найти наивероятнейшее число элементов, которые выдержат испытание. Решение. По условию, n= 15, р = 0,9, q=0,1. Найдем наивероятнейшее число k0 из двойного неравенства np-q≤k0≤np+p. Подставив данные задачи, получим 15*0,9-0,1 ≤k0< 15*0,9+0,9, или 13,5≤k0< 14,4. Так как k0 — целое число и поскольку между числами 13,4 и 14,4 заключено одно целое число, а именно 14, то искомое наивероятнейшее число k0 = 14. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Понятие случайной величины является основным в теории вероятностей и ее приложениях. Случайными величинами, например, являются число выпавших очков при однократном бросании игральной кости, число распавшихся атомов радия за данный промежуток времени, число вызовов на телефонной станции за некоторый промежуток времени, отклонение от номинала некоторого размера детали при правильно налаженном технологическом процессе и т. д. Дискретные случайные величины. Рассмотрим случайную величину * , возможные значения которой образуют конечную или бесконечную последовательность чисел x1, x2, ..., xn, ... . Пусть задана функция p(x), значение которой в каждой точке x=xi (i=1,2, ...) равно вероятности того, что величина примет значение xi
Пример 2. Пусть случайная величина - число наступления события A при одном испытании, причем P(A)=p. Множество возможных значений состоит из 2-х чисел 0 и 1: =0, если событие A не произошло, и =1, если событие A произошло. Таким образом,
Предположим, что производится n независимых испытаний, в результате каждого из которых может наступить или не наступить событие A. Пусть вероятность наступления события A при каждом испытании равна p. Рассмотрим случайную величину — число наступлений события A при n независимых испытаниях. Область изменения состоит из всех целых чисел от 0 до n включительно. Закон распределения вероятностей р(m) определяется формулой Бернулли (13'):
Закон распределения вероятностей по формуле Бернулли часто называют биномиальным, так как Pn(m) представляет собой m-й член разложения бинома .
Однако последняя дает большие погрешности при малой вероятности р появления события А в одном испытании. В этом случае для подсчета вероятности Pn(m) удобно пользоваться формулой Пуассона, в которой следует положить . Распределение Пуассона часто встречается и в других задачах. Так, например, если телефонистка в среднем за один час получает N вызовов, то, как можно показать, вероятность Р(k) того, что в течение одной минуты она получит k вызовов, выражается формулой Пуассона, если положить .
Если возможные значения случайной величины образуют конечную последовательность x1, x2, ..., xn, то закон распределения вероятностей случайной величины задают в виде следующей таблицы, в которой и
Эту таблицу называют рядом распределения случайной величины . Наглядно функцию р(х) можно изобразить в виде графика. Для этого возьмем прямоугольную систему координат на плоскости. По горизонтальной оси будем откладывать возможные значения случайной величины , а по вертикальной оси - значения функции . График функции р(х) изображен на рис. 2. Если соединить точки этого графика прямолинейными отрезками, то получится фигура, которая называется многоугольником распределения.
Пример 4. Пусть событие А — появление одного очка при бросании игральной кости; Р(A)=1/6. Рассмотрим случайную величину — число наступлений события А при десяти бросаниях игральной кости. Значения функции р(х) (закона распределения) приведены в следующей таблице:
Вероятности p(xi) вычислены по формуле Бернулли при n=10. Для x>6 они практически равны нулю. График функции p(x) изображен на рис. 3. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-08-11 lectmania.ru. Все права принадлежат авторам данных материалов. В случае нарушения авторского права напишите нам сюда... |