МЕТОД НАИБОЛЬШЕГО ПРАВДОПОДОБИЯ

Значения вычисленных параметров θ_i и β_j могут измениться на других выборках испытуемых. При больших объемах выборки можно вычислить значения θ_i^’ и β_j^’, к которым в результате итерационной процедуры, будут стремиться θ_i и β_j.

Обычно итерационная процедура выполняется методом наибольшего правдоподобия Р.Фишера.

Можно показать, что функция правдоподобия имеет вид²

где α_ij - элементы бинарной матрицы результатов тестирования.

В качестве оценок наибольшего правдоподобия θ_i^’ и β_j^’. принимают такие значения θ_i и β_j, при которых функция правдоподобия достигает глобального максимума. Поскольку функции L и ln L достигают максимума при одних и тех же значениях своих аргументов, то удобно искать максимум функции ln L, называемой логарифмической функцией правдоподобия

Для нахождения максимума логарифмической функции правдоподобия надо найти частные производные функции по каждому ее аргументу и приравнять нулю

Мы получили систему уравнений правдоподобия. Эта система уравнений решается в итерационном цикле путем последовательной подстановки найденных значений аргументов в качестве исходных.

Цикл прерывается, когда различие в аргументах не станет меньше наперед заданной величины. Система уравнений правдоподобия нелинейна и для организации итерационного цикла требует применения вычислительной техники.

Результаты вычислений для нашего примера приведены в таблицах 5.3.3 и 5.3.4 (четвертый столбец). Видно, что данные во втором и четвертом столбцах заметно различаются. Это связано с тем, что наша модельная выборка недопустимо мала. При больших выборках это различие невелико.

Кроме метода наибольшего правдоподобия существуют и другие методы нахождения устойчивых оценок латентных параметров. В частности, A.J.Stenner, B.D.Wright & J.M.Linacre¹¹ предложили другую итерационную процедура, время прохождения которой, в среднем, в два раза меньше, чем в методе наибольшего правдоподобия

Метод наименьших квадратов

Если некоторая физическая величина зависит от другой величины , то эту зависимость можно исследовать, измеряя y при различных значениях x . В результате измерений получается ряд значений:

x₁, x₂, ..., x_i, , ... , x_n;

y₁, y₂, ..., y_i, , ... , y_n.

По данным такого эксперимента можно построить график зависимости y = ƒ(x). Полученная кривая дает возможность судить о виде функции ƒ(x). Однако постоянные коэффициенты, которые входят в эту функцию, остаются неизвестными. Определить их позволяет метод наименьших квадратов. Экспериментальные точки, как правило, не ложатся точно на кривую. Метод наименьших квадратов требует, чтобы сумма квадратов отклонений экспериментальных точек от кривой, т.е. [y_i – ƒ(x_i)]² была наименьшей.

На практике этот метод наиболее часто (и наиболее просто) используется в случае линейной зависимости, т.е. когда

y = kx или y = a + bx.

Линейная зависимость очень широко распространена в физике. И даже когда зависимость нелинейная, обычно стараются строить график так, чтобы получить прямую линию. Например, если предполагают, что показатель преломления стекла n связан с длиной λ световой волны соотношением n = a + b/λ², то на графике строят зависимость n от λ^-2.

Рассмотрим зависимость y = kx(прямая, проходящая через начало координат). Составим величину φ – сумму квадратов отклонений наших точек от прямой

.

Величина φ всегда положительна и оказывается тем меньше, чем ближе к прямой лежат наши точки. Метод наименьших квадратов утверждает, что для k следует выбирать такое значение, при котором φ имеет минимум

или
(19)

Вычисление показывает, что среднеквадратичная ошибка определения величины k равна при этом

, (20)
где – n число измерений.