Главная Случайная страница


Категории:

ДомЗдоровьеЗоологияИнформатикаИскусствоИскусствоКомпьютерыКулинарияМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОбразованиеПедагогикаПитомцыПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРазноеРелигияСоциологияСпортСтатистикаТранспортФизикаФилософияФинансыХимияХоббиЭкологияЭкономикаЭлектроника






Линейный дифференциальный оператор второго порядка.

Линейный дифференциальный оператор второго порядка.

Определение 1. Оператором A из множества Х во множестве Y называется соответствие, которое по определенному закону каждому элементу х ϵ Х сопоставляет однозначно элемент А(х) ϵ Y.

Множество Х называется областью определения оператора А и обозначается D(A), множество { A(x), х ϵ Х } называется областью определения оператора и обозначается R(A). Часто вместо А(х) пишут Ах.

Определение 2. Оператор А(х) называется линейным, если А(α )=αА( )+βА( ).

Естественно, что на множестве Х определения оператора А(х) определены операции умножения на число и операция сложения, при этом если , ϵ Х, то и α ϵ Х.

Определение 3. Оператор L(y)= называется дифференциальным оператором второго порядка.

Оператор L(x) определен на множестве дважды дифференцируемых функций. Отметим, что если и дважды дифференцируемые функции , то α также дважды дифференцируемые функции.

Покажем, что L(x) – линейный оператор. Рассмотрим

L(α ) = ( α )’’ + P(x)(α )’+Q(x)( α ) =

= αy1’’+βy2’’+P(x)(αy’+βy2’)+ Q(x)( α ) = α(y1’’+P(x)y1’ +Q(x) )+β(y2’’+

+P(x)y2’ +Q(x) )= L( )+L(

Отсюда следует линейность оператора L(x).

Линейные однородные дифференциальные уравнения (Л.О.Д.У.) второго порядка.

(3)

Уравнение (3) можно записать в виде L(y)=0 .

Легко видеть, что функция является решением уравнения (3), это решение называется тривиальным. Естественно, интерес представляют нетривиальные решения.

Теорема 2. Если и – два решения L(y)=0, то их линейная комбинация

также является решением уравнения L(y)=0 ,где –произвольные постоянные.

Доказательство.

По условию и , т.к. и – решение уравнения L(y)=0.

. Теорема доказана.

Теперь возникает вопрос : всегда ли линейная комбинация двух частных решений уравнения (3) является общим решением уравнения (3)? Ответ на поставленный вопрос отрицателен.

Рассмотрим уравнение .

Функции и являются решением данного уравнения. В самом деле, y1 ,y1 ‘’ , ,y2 ,

y2’’ ,

Далее, линейная комбинация двух частных решений , где не может быть общим решением уравнения , так как решение зависит от одной произвольной постоянной, а общее решение дифференциального уравнения 2-го порядка должно зависеть от двух произвольных постоянных.

В связи с этим встает следующий вопрос: когда линейная комбинация двух частных решений является общим решением уравнения (3).

Ответ на этот вопрос мы дадим в следующем параграфе.

Основная теорема о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка.

Предварительно мы рассмотрим вопрос о линейной зависимости системы двух решений уравнения(3).

Определение 4. Система функций называется линейно зависимой в промежутке, если существуют числа , одновременно не равные нулю, такие что , в противном случае система функций , называется линейно независимой.

Определение 5. Линейно независимая система решений уравнения (3) называется фундаментальной системой решений.

Теорема 3.Для того, чтобы система решений уравнения (3) была фундаментальной необходимо и достаточно , чтобы отношение

Доказательство.

1)Необходимость. Дано: система фундаментальна. Доказать:

Доказательство проведем от противного. Предположим, что , тогда

. В последнем тождестве коэффициент при равен . Поэтому система функций линейно зависима , а поэтому не является фундаментальной. Это противоречит условию, что и доказывает необходимость.

2) Достаточность. Дано: : . Требуется доказать: система решений является фундаментальной.

Доказательство. Предположим, что система не является фундаментальной, т.е. она является линейно зависимой. Это означает, что существуют числа , одновременно не равные нулю такие, что

.Пусть для определенности ,

тогда , что противоречит условию.

Достаточность доказана, а вместе с этим доказана и теорема.

Проверять фундаментальность системы решений уравнения (3) можно с помощью определителя Вронского.

Линейный дифференциальный оператор второго порядка.

Определение 1. Оператором A из множества Х во множестве Y называется соответствие, которое по определенному закону каждому элементу х ϵ Х сопоставляет однозначно элемент А(х) ϵ Y.

Множество Х называется областью определения оператора А и обозначается D(A), множество { A(x), х ϵ Х } называется областью определения оператора и обозначается R(A). Часто вместо А(х) пишут Ах.

Определение 2. Оператор А(х) называется линейным, если А(α )=αА( )+βА( ).

Естественно, что на множестве Х определения оператора А(х) определены операции умножения на число и операция сложения, при этом если , ϵ Х, то и α ϵ Х.

Определение 3. Оператор L(y)= называется дифференциальным оператором второго порядка.

Оператор L(x) определен на множестве дважды дифференцируемых функций. Отметим, что если и дважды дифференцируемые функции , то α также дважды дифференцируемые функции.

Покажем, что L(x) – линейный оператор. Рассмотрим

L(α ) = ( α )’’ + P(x)(α )’+Q(x)( α ) =

= αy1’’+βy2’’+P(x)(αy’+βy2’)+ Q(x)( α ) = α(y1’’+P(x)y1’ +Q(x) )+β(y2’’+

+P(x)y2’ +Q(x) )= L( )+L(

Отсюда следует линейность оператора L(x).

Последнее изменение этой страницы: 2016-08-11

lectmania.ru. Все права принадлежат авторам данных материалов. В случае нарушения авторского права напишите нам сюда...