Категории: ДомЗдоровьеЗоологияИнформатикаИскусствоИскусствоКомпьютерыКулинарияМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОбразованиеПедагогикаПитомцыПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРазноеРелигияСоциологияСпортСтатистикаТранспортФизикаФилософияФинансыХимияХоббиЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Линейный дифференциальный оператор второго порядка.Линейный дифференциальный оператор второго порядка. Определение 1. Оператором A из множества Х во множестве Y называется соответствие, которое по определенному закону каждому элементу х ϵ Х сопоставляет однозначно элемент А(х) ϵ Y. Множество Х называется областью определения оператора А и обозначается D(A), множество { A(x), х ϵ Х } называется областью определения оператора и обозначается R(A). Часто вместо А(х) пишут Ах. Определение 2. Оператор А(х) называется линейным, если А(α +β )=αА( )+βА( ). Естественно, что на множестве Х определения оператора А(х) определены операции умножения на число и операция сложения, при этом если , ϵ Х, то и α +β ϵ Х. Определение 3. Оператор L(y)= называется дифференциальным оператором второго порядка. Оператор L(x) определен на множестве дважды дифференцируемых функций. Отметим, что если и дважды дифференцируемые функции , то α +β также дважды дифференцируемые функции. Покажем, что L(x) – линейный оператор. Рассмотрим L(α +β ) = ( α +β )’’ + P(x)(α +β )’+Q(x)( α +β ) = = αy1’’+βy2’’+P(x)(αy’+βy2’)+ Q(x)( α +β ) = α(y1’’+P(x)y1’ +Q(x) )+β(y2’’+ +P(x)y2’ +Q(x) )= L( )+L( Отсюда следует линейность оператора L(x). Линейные однородные дифференциальные уравнения (Л.О.Д.У.) второго порядка. (3) Уравнение (3) можно записать в виде L(y)=0 . Легко видеть, что функция является решением уравнения (3), это решение называется тривиальным. Естественно, интерес представляют нетривиальные решения. Теорема 2. Если и – два решения L(y)=0, то их линейная комбинация также является решением уравнения L(y)=0 ,где –произвольные постоянные. Доказательство. По условию и , т.к. и – решение уравнения L(y)=0. . Теорема доказана. Теперь возникает вопрос : всегда ли линейная комбинация двух частных решений уравнения (3) является общим решением уравнения (3)? Ответ на поставленный вопрос отрицателен. Рассмотрим уравнение . Функции и являются решением данного уравнения. В самом деле, y1’ ,y1 ‘’ , ,y2’ , y2’’ , Далее, линейная комбинация двух частных решений , где не может быть общим решением уравнения , так как решение зависит от одной произвольной постоянной, а общее решение дифференциального уравнения 2-го порядка должно зависеть от двух произвольных постоянных. В связи с этим встает следующий вопрос: когда линейная комбинация двух частных решений является общим решением уравнения (3). Ответ на этот вопрос мы дадим в следующем параграфе. Основная теорема о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка. Предварительно мы рассмотрим вопрос о линейной зависимости системы двух решений уравнения(3). Определение 4. Система функций называется линейно зависимой в промежутке, если существуют числа , одновременно не равные нулю, такие что , в противном случае система функций , называется линейно независимой. Определение 5. Линейно независимая система решений уравнения (3) называется фундаментальной системой решений. Теорема 3.Для того, чтобы система решений уравнения (3) была фундаментальной необходимо и достаточно , чтобы отношение Доказательство. 1)Необходимость. Дано: система фундаментальна. Доказать: Доказательство проведем от противного. Предположим, что , тогда . В последнем тождестве коэффициент при равен . Поэтому система функций линейно зависима , а поэтому не является фундаментальной. Это противоречит условию, что и доказывает необходимость. 2) Достаточность. Дано: : . Требуется доказать: система решений является фундаментальной. Доказательство. Предположим, что система не является фундаментальной, т.е. она является линейно зависимой. Это означает, что существуют числа , одновременно не равные нулю такие, что .Пусть для определенности , тогда , что противоречит условию. Достаточность доказана, а вместе с этим доказана и теорема. Проверять фундаментальность системы решений уравнения (3) можно с помощью определителя Вронского. Линейный дифференциальный оператор второго порядка. Определение 1. Оператором A из множества Х во множестве Y называется соответствие, которое по определенному закону каждому элементу х ϵ Х сопоставляет однозначно элемент А(х) ϵ Y. Множество Х называется областью определения оператора А и обозначается D(A), множество { A(x), х ϵ Х } называется областью определения оператора и обозначается R(A). Часто вместо А(х) пишут Ах. Определение 2. Оператор А(х) называется линейным, если А(α +β )=αА( )+βА( ). Естественно, что на множестве Х определения оператора А(х) определены операции умножения на число и операция сложения, при этом если , ϵ Х, то и α +β ϵ Х. Определение 3. Оператор L(y)= называется дифференциальным оператором второго порядка. Оператор L(x) определен на множестве дважды дифференцируемых функций. Отметим, что если и дважды дифференцируемые функции , то α +β также дважды дифференцируемые функции. Покажем, что L(x) – линейный оператор. Рассмотрим L(α +β ) = ( α +β )’’ + P(x)(α +β )’+Q(x)( α +β ) = = αy1’’+βy2’’+P(x)(αy’+βy2’)+ Q(x)( α +β ) = α(y1’’+P(x)y1’ +Q(x) )+β(y2’’+ +P(x)y2’ +Q(x) )= L( )+L( Отсюда следует линейность оператора L(x). 12 |
|
Последнее изменение этой страницы: 2016-08-11 lectmania.ru. Все права принадлежат авторам данных материалов. В случае нарушения авторского права напишите нам сюда... |