Задачи к теме «Корреляционно-регрессионный анализ»

Задача 18. Определите с помощью корреляционно-регрессионного анализа, есть ли связь между стажем работы и дневной выработки рабочего.

Таблица 18.1

Решение:

Произведем расчет в таблице

Таблица 18.2

Для уточнения формы связи между рассматриваемыми признаками используем графический метод. Нанесем на график точки, соответствующие значениям х, у, получим корреляционное поле, а соединив их отрезками, — ломаную регрессии (рис. 18.1).

Рис.18.1. Зависимость выработки одного рабочего у от стажа работы х (по данным таблицы 18.1).

Анализируя ломаную линию, можно предположить, что возрастание выработки у идет равномерно, пропорционально росту стажа работы рабочих х. В основе этой зависимости в данных конкретных условиях лежит прямолинейная связь (см. пунктирную линию на рис. 18.1), которая может быть выражена простым линейным уравнением регрессии:

где х – стаж работы рабочих, годы; ŷ – теоретические расчетные значения результативного признака (выработки одного рабочего, шт.), полученные по уравнению регрессии; а₁ – коэффициент регрессии, а₀- свободный член уравнения – параметры уравнения регрессии.

Пользуясь расчетными значениями (см. табл. 18.2), исчис­лим параметры для данного уравнения регрессии :

Следовательно, регрессионная модель распределения вы­работки по стажу работы для данного примера может быть за­писана в виде конкретного уравнения регрессии:

=4+0,6х

Это уравнение характеризует зависимость среднего уров­ня выработки рабочими бригады от стажа работы. Расчетные значенияŷ, найденные по данному уравнению, приведены в табл. 18.2. Правильность расчета параметров уравнения регрес­сии может быть проверена сравнением сумм Σу=Σ ŷ (при этом возможно некоторое расхождение вследствие округления расчетов)

Рассмотрим вспомогательную таблицу (табл.18.3).

Таблица 18.3

Средние квадратические отклонения (см. табл.16.2)

σ_х= 2,87

Расчетные значения t-критерия Стьюдента:

По таблице распределений Стьюдента для υ=8 находим критическое значение t-критерия Стьюдента (t_табл.=3,307 при α=0,05).

Поскольку расчетное значение больше табличного (t_расч. > t_табл.), оба параметра а₀ и а₁ признаются значимыми (отклоняется гипотеза о том, что каждый из этих параметров в действительности равен 0, и лишь в силу случайных обстоятельств оказался равным проверяемой величине).

Проверка адекватности регрессионной модели может быть дополнена корреляционным анализом. Для этого необходимо определить тесноту корреляционной связи между переменными х и у.

Задача 19. Определите наличие и тесноту связи между инвестициями в основной капитал и объемом произведенной продукции с помощью коэффициента Фехнера.

Решение.

Определим коэффициент Фехнера для нашего примера (см. табл. 19.2).

Таблица 19.2

Объем произведенной продукции (работ, услуг) и инвестиций в основной капитал малых предприятий по ЮФО в 2000 г., млн. руб.

Рассчитаем средние значения для каждой переменной вели­чины:

Для каждого значения х и у вычислим и поместим в табл. 19.2 знаки отклонений переменных величин от собственных средних зна­чений.

Используя формулу (1), определим величину коэффициента Фехнера для нашего примера:

Полученное значение Кф = 0,66 свидетельствует о том, что зави­симость между переменными прямая, положительная и достаточно значительная. Учитывая, что расчет коэффициента Фехнера основан только на подсчете совпадений и несовпадений знаков и не учиты­вает величину отклонений х и у от собственных средних величин, то в большей мере он показывает направление и наличие связи, чем меру ее тесноты.

Задача 20. Основываясь на условии задачи 19, определите наличие и тесноту связи между инвестициями в основной капитал и объемом произведенной продукции с помощью коэффициента корреляции рангов Спирмэна.

Решение

Расположим эти наблюдения по мере убывания значений факторно­го признаков, тогда получим следующий ряд (табл. 20.1):

Таблица 20.1

продолжение табл. 20.1

Ранги признаков х_i, и у_i, обозначают символами Nx и Ny. В тех случаях, когда значения х_i,, или у_i, повторяются, то каждому из них присваивается ранг, равный частному от деления суммы рангов на число повторяющихся значений.

Например, если после значения признака, которому присвоен ранг 4, следуют по возрастанию три одинаковых значения, зани­мающие 5-е, 6-е, 7-е места, то им всем присваивается ранг 6, так как (5 + 6 + 7) : 3 = 6.

Вычислим коэффициент корреляции рангов Спирмэна для наше­го примера (см. табл. 20.1). Воспользуемся формулой (2):

Полученное значение коэффициента корреляции рангов Спир­мэна (Sxy = 0,825) подтверждает наличие значительной связи между переменными х и у.

Задача 21. Основываясь на условии задачи 19, определите наличие и тесноту связи между инвестициями в основной капитал и объемом произведенной продукции с помощью коэффициента конкордации.

Решение

Определим тесноту связи между объемом произведенной про­дукции, инвестициями в основной капитал и среднесписочной численностью работников малых предприятий по четырем областям Южного федерального округа в 2000 году (табл. 21.1).

Таблица 21.1

Для вычисления коэффициента конкордации при условии, что ранги по каждому признаку не повторяются, необходимо, прежде всего, найти величину

Тогда коэффициент конкордации будет равен:

Полученное значение W= 0,82 свидетельствует о наличии сильной зависимости между тремя рассмотренным показателями.

Задача 22. При анализе работы фирмы, оказывающей сантехниче­ские услуги как компаниям, так и индивидуальным заказчикам, воз­никла необходимость оценить, нет ли связи между типом клиента и качеством обслуживания. С этой целью была построена следующая таблица сопряженности (табл. 22.1).

Таблица 22.1

По данным примера:

1) расчет коэффициента контингенции

2) расчет коэффициента ассоциации:

Таким образом, рассчитанные коэффициенты не подтвердили наличие связи между типом клиента и качеством его обслуживания.

Задача 23. С помощью коэффициента взаимной сопряженности исследовалась связь между себестоимостью продукции и накладными расходами на peaлизацию. Данные, характеризующие эту связь, приведены в таблице.

Таблица 23.1

, т. е. связь умеренная