Простейшие тригонометрические уравнения

При решении тригонометрических уравнений удобно пользоваться таблицей

Примеры выполнения заданий

Пример 1 (вариант 1 №3)

Найдите корни уравнения 2sin x + 1 = 0, принадлежащие отрезку [0; 2 ].

Решение

2sin x + 1 = 0,

sin x = - ,

x = (-1)ⁿ arcsin(- ) + ,

x = (-1)ⁿ (- ) + ,

x = (-1)ⁿ⁺¹ + .

Из этих корней промежутку [0; 2 ] принадлежат и так как ,

то n = 0;

n = 0, x = (-1)¹ + [0; 2 ],

n = 1, x = (-1)² + [0; 2 ],

n = -1, x = (-1)⁰ - [0; 2 ],

n = 2, x = (-1)³ + [0; 2 ],

n = 3, x = (-1)⁴ +3 [0; 2 ],

Ответ: ; .

Пример 2 (вариант 3 №3)

Решите уравнение

+ .

Решение

Применим формулу приведения

,

,

Ответ: .

Пример 3 (вариант 26 №3)

Решите уравнение .

Решение

,

Ответ:

Тригонометрические уравнения, сводящиеся к квадратным.

Чтобы овладеть методом решения, достаточно уметь решать квадратные уравнения и знать тригонометрические формулы.

Сам метод состоит в том, чтобы преобразовать уравнение к виду, позволяющему функцию обозначить через новую переменную, получив при этом квадратное уравнение относительно t. Найдя значения, получим простейшее тригонометрическое уравнение.

Примеры выполнения заданий

Пример 1 (4.13)

Решите уравнение 2

Решение

2

2t² – 3t +1 = 0;

D = 9 – 8 = 1>0;

=

1) ,

x = (-1)ⁿ + .

2)

+

(-1)ⁿ + + ,

Пример 2 (4.1)

Решите уравнение

Пример 3 (5.1)

Решите уравнение - = .

Решение

- = ,

+

1 –

.

Обозначим

2t² –t – 1 = 0; D = 1 + 8 = 9,

t₁ =

1) = - ,

(-1)ⁿ⁺¹ + ,

(-1)ⁿ⁺¹ + .

2) ,

+

(-1)ⁿ⁺¹ + ,

Решение тригонометрических уравнений разложением на множители

Данное выражение представляется в виде произведения нескольких сомножителей. В случае, когда выражение равно нулю, каждый из них приравнивается к нулю и уравнение сводится к более простому.

Пример 1 (4.27)

Решите уравнение

Решение

,

2) +

Ответ: +

Пример 2 (6.23)

Решите уравнение

1 + sin3x =

Решение

1 + sin 3x =

1 + sin3x = cos² sin²

1 + sin3x = 1 – sinx,

sin 3x + sin x = 0,

2sin 2x cos x = 0,

sin2x = 0, 2x

Однородные тригонометрические уравнения

Уравнение, в котором каждое слагаемое имеет одну и ту же степень, называется однородным.

Его можно решать, выполнив деление на старшую степень косинуса (или синуса).

Пример 1( 4.35)

Найдите все решения уравнения принадлежащих отрезку [-2

Решение

делим уравнение почленно на cosx ( заметим: если в данное уравнение подставить cosx =0, то получим sinx = 0, что невозможно, значит, в результате деления на cosx не будет потери корней) и находим:

tg x = 1, x = +

n = 0, x = [-2

n = 1, x = [-2

n = -1, x = [-2

n = -2, x = [-2

Ответ:

Пример 2( 5.13)

Решите уравнение

6sin² x + sin x cos x – cos² x = 0.

Решение

6sin² x + sin x cos x – cos² x = 0, так как cos ² x 0. То делим почленно на cos² x

6tg ² x + tg x – 1 = 0.

Пусть tg x = t, тогда

6t ² + t – 1 = 0; D = 1 + 24 = 25;

=

1) tg x =

2) tg x =

Ответ:

Системы тригонометрических уравнений

Решение систем тригонометрических уравнений чаще всего сводится к решению алгебраических систем относительно sin x, cos x, tg x и т.п.

Необходимо отметить, что при решении простейших уравнений нужно писать различные целочисленные параметры n и k. Если бы мы использовали одну и ту же букву, было бы потеряно бесконечное множество решений.

Есть и иной способ решения систем, в котором может использоваться способ выражения одного переменного через другое и подстановка во второе уравнение.

Решение системы записывается в виде упорядоченных пар (x; y).

Примеры выполнения заданий

Пример 1 (5.15)

Решите систему уравнений

Решение

4y + 10 – 2y = 19,

2y = 9,

y = 4,5;

x = (-1)ⁿ + ;

Ответ: ( (-1)ⁿ + .

Логарифмические выражения, уравнения, неравенства, системы

Справочный материал

Логарифмом числа b по основанию a называется показатель степени, в которую нужно возвести a, чтобы получить b, причем a >0, a ≠ 1, b > 0.

= c , (1)

Основное логарифмическое тождество

(2)

Логарифмическая функция

y=

Свойства

1. D (y) = R₊.

2. E(y) = R.

3. При a > 1 функция монотонно возрастает на R₊ и при 0 <a <1 функция монотонно убывает наR₊.

4. При x= 1 значение функции y = 0.

Логарифмические выражения

Примеры выполнения заданий

Пример 1 (4.58)

Вычислите

Решение

Ответ: 7.

Пример 2 (4.53)

Вычислите

Решение

Ответ: 2.

Логарифмические уравнения

Рекомендации

Решение логарифмических уравнений базируется на монотонности логарифмической функции R₊.

Примеры выполнения заданий

Пример 1 (вариант 17 №2)

Решите уравнение

Решение

D ( R₊;

Пример 2 (4.91)

Решите уравнение

Решение

D ( R₊;

D>0;

x₁ = 1, x₂ = 4.

Ответ: 1; 4.

Пример 3 (4.108)

Решите уравнение

Решение

D ( R₊;

,

,

,

x = 6.

Ответ: 6.

Пример 4 (6.7)

Решите уравнение

-7) = 3 – x.

Решение

-7) = D ( R₊;

; по теореме Виета

) =R₊,

Тогда

Ответ: 3.

Логарифмические неравенства

Рекомендации

Решение логарифмических неравенств базируется на монотонности логарифмической функции При a > 1 функция монотонно возрастает на R₊, а при 0 < a <1 функция монотонно убывает наR₊.При решении неравенств необходимо учитывать условие, чтоD ( R₊.

Примеры выполнения заданий

Пример 1 (вариант 6 №2)

Решите неравенство

D ( R₊; R₊, т.к. 10 > 1, следовательно,

x > 6,25.

Пример 2 (4.93)

Укажите все целые решения неравенства

Решение

D ( R₊; R₊, т.к. 4 > 1, следовательно

+ _ +

;

-4 2

+ - +

; -6 4

-6 -4 2 4

Целые решения: -5; 3.

Ответ: -5; 3.

Пример 3 (4.132)

Решите неравенство

Решение

Неравенство решим методом интервалов.

1) f(x)=

Функция f(x) непрерывна на D(f).

2) D(f):

3) Нули f(x):

+ _

= 9,

4) ,

,

Ответ: