Нахождение производной и ее значения в данной точке

Для нахождения производной функции необходимо воспользоваться:

- таблицей производных;

- правилом нахождения производной сложной функции;

- основными формулами.

Примеры выполнения заданий

Пример 1 (вариант 52 №5)

Найдите значение производной функции

f (x) = 4 при

Решение

f ^/(x) =

f ^/(

Ответ:

Пример 2 (вариант 53 №5)

Найдите производную функции

Решение

f ^/(x)=

Ответ:

Пример 3 (4.164)

Найдите значение производной функции

y = в точке x₀ = 1.

Решение

= 1.

Ответ: 1.

Пример 4 (4.160)

Найдите значение производной функции

Решение

Ответ:

Физический смысл производной

Примеры выполнения заданий

Пример 1 (вариант 84 №5)

Тело движется по прямой так, что расстояние S до него от некоторой точки А этой прямой изменяется по закону

s(t)=4+3t-0,5t² (м),

где время движения в секундах. Через сколько секунд после начала движения тело остановится?

Решение

Ответ: через 3 с после начала движения тело остановиться.

Пример 2 (вариант 44 №5)

Тело движется по прямой так, что расстояние s до него от некоторой точки А этой прямой изменяется по закону s(t) = t³ – 3t + 4 (м), где t – время движения в секундах. Найдите скорость движения тела через 3 секунды после начала движения.

Решение

v (t) = s ^/(t) = 3t² - 3;

v(3) = 3

Геометрический смысл производной

Значение производной функции в точке x₀ равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке.

Уравнение касательной задается формулой

y= f(x₀) + f ^/(x₀)(x - x₀),

f ^/(x₀) = k = tg .

Примеры выполнения заданий

Пример 1 (вариант 23 №5)

Найдите угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции f(x) = в его точке с координатой .

Решение

f(x) =4

k = f ^/(x₀);

f ^/(x)=

f ^/(- )=

k =

Ответ:

Пример 2 (вариант 31 №5)

Дана функция f(x)= Найдите координаты точки ее графика, в которой угловой коэффициент касательной к нему равен -5.

Решение

f(x)= ;

f ^/(x₀) = k;

f ^/(x)= 4 – 6x;

f ^/(x₀)= 4 – 6x₀;

4 – 6x₀ = -5; 6x₀ = 9; x₀ = = 1,5.

y₀ = f (x₀) = f (1,5) = 5 + 4 5 + 6 – 6,75 = 4,25.

Ответ: (1,5; 4,25).

Пример 3 (вариант 40 №5)

К графику функции f(x)= проведена касательная с угловым коэффициентом -9. Найдите координаты точки касания.

Решение

f(x)=

f ^/(x) = 7 – 8x;

f ^/(x₀)= 7 – 8x₀;

f ^/(x₀) = k;

7 – 8x₀ = - 9;

8x₀ = 16; x₀ = 2.

y₀ = f (x₀) = f (2) = 3 + 14 – 16 = 1.

Ответ: (2; 1).

Касательная к графику функции

Рекомендации

Уравнение касательной задается формулой

y= f(x₀) + f ^/(x₀)(x - x₀),

f ^/(x₀) = k = tg .

Если функция f(x) не имеет производной в точке x₀, но непрерывна в этой точке, то либо график функции в этой точке не имеет касательной, либо есть вертикальная касательная.

Алгоритм выполнения задания

Дано f(x), x₀.

1) f(x₀).

2) f ^/(x).

3) f ^/(x₀).

4) y= f(x₀) + f ^/(x₀)(x - x₀) – уравнение касательной.

Замечания, полезные при выполнении заданий

1. Прямые параллельны:

.

2. Прямая пересекает Oy:

y=kx + b, x = 0, y = b; (0;b).

3. Прямая пересекает Ox:

y=kx + b,

y = 0, kx + b=0, x = -

4. Прямая параллельна Ox: y = b.

Примеры выполнения заданий

Пример 1 (вариант 6 №5)

Дана функция Найдите координаты точек графика, в которых касательные к нему параллельны оси абсцисс.

Решение

Касательная параллельна Ox, следовательно, f ^/(x₀) = 0.

f ^/(x)=

f ^/(x₀) = 0;

-10 (

1)

2)

:

Пример 2 (вариант 62 №5)

К функции проведены касательные в точках с абсциссами Являются ли эти касательные параллельными прямыми?

Решение

Если прямые параллельны, то

k = f ^/(x₀);

y ^/ =

y ^/

y ^/

Следовательно, касательные не параллельны.

Ответ: касательные не параллельны.

Пример 3 (4.173)

Составьте уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой x₀ =1. Найдите координаты всех точек графика этой функции, касательные в которых параллельны найденной касательной.

Решение

1) y(x₀)= y(1)=1.

2) y ^/(x)=3x².

3) y ^/( )= y ^/(1)=3.

4) y = y(x₀) + y ^/(x₀)(x - x₀)= 1 + 3(x – 1) = 1 + 3x – 3 = 3x – 2;

y = 3x – 2.

Если прямые параллельны, то равны их угловые коэффициенты.

k = 3, k = f ^/(x₀);

y ^/(x₀)=3

3

=1, x₀=1, x₀= - 1.

Следовательно, существует одна точка x₀= - 1, y₀ = -1, A(-1; -1), в которой касательная параллельна y = 3x – 2.

Ответ: y = 3x – 2; A(-1; -1).

Пример 4 (4.179)

Составьте уравнение касательной к графику функции

Решение

Прямые параллельны, следовательно,

k =y ^/(x₀);

y ^/(x) = ,

y ^/(x₀) = ,

Составим уравнение касательной в точке x₀ =1.

y(x₀)= y(1)=2

y ^/(x₀)=1;

y = y(x₀) + y ^/(x₀)(x - x₀)= 2 + 1(x - 1) = x + 1.

Ответ: y = x + 1.