Главная Случайная страница


Категории:

ДомЗдоровьеЗоологияИнформатикаИскусствоИскусствоКомпьютерыКулинарияМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОбразованиеПедагогикаПитомцыПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРазноеРелигияСоциологияСпортСтатистикаТранспортФизикаФилософияФинансыХимияХоббиЭкологияЭкономикаЭлектроника






Логические переменные и функции.

 

Работа комбинационных устройств описывается с помощью аппарата математической логики (алгебры логики). Она имеет дело с двоичными переменными. Переменная, принимающая значение 0 и 1, называется двоичной. Сигналы комбинационных схем представляются двоичными переменными.

Физическая природа этих сигналов может быть самой разнообразной: наличие или отсутствие импульса в определенной позиции, наличие или отсутствие тока, высокий и низкий потенциал, значение фазы φ: φ=0 и φ= , состояние положительной и отрицательной намагниченности и т.д.

В существующих сериях интегральных схем наиболее широко используется представление двоичных переменных в виде уровней напряжения – высокого и низкого (потенциальная логика). В зависимости от выбранного способа кодирования уровней сигналов, различают положительную и отрицательную логику.

уровни полож. лог. отриц. лог.
Umax
Umin

 

 

 

Уровни напряжений потенциальной логики для микросхем различных серий представлены в таблице:

  КМОП ТТЛ Элементарно - связанная логика
+Umax 8 в >2.3 в -0.7 в
- Umin <0.5 в от 0 до 0.3 в -1.9 в

 

Будем обозначать переменные латинскими буквами (строчными, прописными, с индексами или без них)

A a, B b, C c … X1 , X2 , X3

Логическая функция -это функция логических переменных, принимающая только два значения. Совокупность значений двоичных переменных называется набором. Максимальное число наборов функций n переменных равно 2n. Если переменную считать определённым разрядом двоичного позиционного кода, каждому набору можно поставить в соответствие двоичное число, которое в десятичном представлении определяет номер набора.

Пример 2.1.

Для функций трёх переменных (n=3) существует 23 = 8 наборов:

c b a <0 0 0> <0 0 1> <0 1 0> <0 1 1> <1 0 0> <1 0 1> <1 1 0> <1 1 1> № набора (десятичное число)

Здесь переменная «а» образует младший разряд двоичного числа.

Общее число функций n-переменных – . Если функция определена на всех своих 2n наборах, то она называется полностью определённой, в противном случае – не полностью определённой. Наборы, на которых функция не определена, называются запрещёнными. Значения переменных, соответствующие этим наборам, не должны появляться на входе схемы.

 

Элементарные функции.

 

Элементарные функции – функции одной или двух переменных. Роль элементарных функций велика, т.к они позволяют представлять функцию от любого числа переменных.

 

Функции одной переменной.

 

n=1 - количество переменных; 21 =2 - количество наборов; 22 =4 – число функций;

X F1 F2 F3 F4

 

F1º0 - константа нуль (в положительной логике это «земля»);

«0».

Элемент повторения.

 

 

F2=X - функция повторения, реализуется на элементе повторения;

 

 

Элемент «НЕ».

 

F3= - функция отрицания (инверсия), реализуется на элементе «НЕ»;

 

F4º1 - константа единица;

 

Функции двух переменных.

 

n=2 –количество переменных; 22 =4 –количество наборов; 24 =16 –число функций;

X1 X2 F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F10 F11 F12 F13 F14 F15 F16
    º0 X1ÙX2 X1 X2 X1ÚX2 X1¯X2 X1∞X2 X1X2 X1®X2 X1|X2 º1

 

Из перечисленных функций шесть (F1, F4, F6, F11, F13, F16) являются ранее рассмотренными функциями одной переменной, и только десять функций по существу являются функциями двух переменных.

 

Элемент «И»

F2= X1ÙX2 = X1&X2 = X1 X2 -конъюнкция, функция «и», логическое умножение, реализуется на элементе «И»;

 

Элемент «ИЛИ».

 

- дизъюнкция, функция «ИЛИ», логическое сложение, реализуется на элементе «ИЛИ»;

 

Элемент «И-НЕ».

 

- штрих Шеффера, реализуется на элементе «И-НЕ»;

 

Элемент «ИЛИ-НЕ».

– стрелка Пирса, реализуется на элементе «ИЛИ-НЕ»;

 

 

Элемент «исключающее ИЛИ».
 

 

- функция сложения по модулю два, функция «исключающее ИЛИ», функция отрицания равнозначности, реализуется на элементе «исключающее ИЛИ»;

 

- функция равнозначности, отрицание функции сложения по модулю два;

- функция импликации от Х1 к Х2, прямая импликация, «ЕСЛИ…ТО…»

- отрицание прямой импликации;

- импликации от Х2 к Х1, обратная импликация;

- отрицание обратной импликации.

Для функций F10, F14, F12, F5, F3 не существует отдельных логических элементов, но они могут быть реализованы на других элементах.

 

Функции многих переменных.

 

Функцию многих переменных можно выразить через элементарные функции. Для этого вводится понятие функционально-полной системы функций. Система элементарных функций называется функционально полной, если через неё можно выразить функцию любого числа переменных. Функционально полная система функций образует логический базис.

 

Примеры базисов:

1) , Ú -дизъюнктивный базис;

2) , Ù -конъюнктивный;

3) , Ú, Ù -булевский базис (смешанный);

4) | -штрих Шеффера;

5) ↓ -стрелка Пирса;

6) |, «1»;

7) ↓, «0»;

8) →, «0»;

9) →, «1»;

10) →, mod2;

11) &, mod2, 1 –базис Жегалкина.

Система функций, образующая булевский базис, наиболее изучена и используется для построения устройств в любых других базисах. Поэтому его роль при построении комбинационных схем велика.

 

Основные законы булевского базиса:

 

1) закон идемпотентности

аÚ а=а; аÙ а=а;

2) коммутативный (переместительный) закон

аÚ в=вÚ а; аÙ в= вÙ а;

3) ассоциативный (сочетательный) закон

аÚ (вÚ с)=(аÚ в)Ú с; аÙ(вÙ с)=(аÙ в) Ù с;

4) дистрибутивный (распределительный) закон

аÙ (вÚ с)= (аÙ в) Ú (аÙ с); аÚ (вÙ с)= (аÚ в) Ù (аÚ с);

5) закон двойного отрицания

;

6) законы двойственности (правила де Моргана)

; ;

Его можно распространить на любое число переменных n:

7) закон склеивания

; (склейка по b)

;

8) закон поглощения

а + ав= а; а(а + в)=а.

9) Правило введения и исключения лишних связок:

;

.

Действия с константами «0» и «1»:

; ; ;

; ; .

 

Задание функции комбинационных логических схем.

 

Функция может быть задана:

1) таблицей истинности.

N c b a F

Таблица 2.1

 

Таблица истинности (табл. 2.1.) перечисляет все наборы значений двоичных переменных и содержит строк, где n – число переменных. Для каждого набора указывается значение функции. Если функция на наборе не определена, то в столбце значений функции используется “-“ (прочерк). Если определить старшинство переменных, то каждому набору можно присвоить номер, указываемый в столбце номеров N.

2) номерами наборов, например, F=1 на наборах {2,3,6}.

3) задание в виде формулы алгебры логики.

Формула представляет собой совокупность имён логических переменных, знаков логических операций и скобок.

.

Выражение вычисляется слева на право в соответствии со старшинством операций .

4) топологические способы задания функции в виде графов или диаграмм (карт) Карно, в виде n - мерных кубов.

 

Последнее изменение этой страницы: 2016-08-11

lectmania.ru. Все права принадлежат авторам данных материалов. В случае нарушения авторского права напишите нам сюда...