Минимизация нормальных форм булевых функций.

Существуют следующие методы минимизации:

1. Ручные методы минимизации.

2. Машинные методы минимизации.

Ручные методы минимизации используют, если число переменных не больше 7.

В основе машинных методов минимизации лежит алгоритм Квайна - Мак Класки, алгоритмы Роота, а также методы математического программирования. В дальнейшем будем рассматривать ручные методы минимизации.

Ручные методы минимизации делятся на:

1. Аналитические;

2. Топологические.

Аналитические методы минимизации основаны на законах булевской алгебры. Особую роль играют законы склеивания, поглощения, введения и исключения лишних связок:

- минимальная форма.

С использованием правила введения и исключения лишних связок нет необходимости в переходе к совершенным формам:

.

Минимизация с помощью диаграмм Карно.

Диаграмма Карно эквивалентна таблице истинности. Это прямоугольная таблица, содержащая клеток, где n - число переменных функции. Каждому набору переменных функций соответствует своя клетка. Различают два вида таблиц:

- дизъюнктивную диаграмму Карно (ДДК). В ней записывают единичные значения функции;

- конъюнктивную диаграмму Карно (КДК). В ней записывают нулевые значения функции.

В пределах одной и той же таблицы нельзя использовать 1 и 0 одновременно.

Рис. 2.3

Рис. 2.5

Рис. 2.6

Код называется циклическим, если его соседние наборы отличаются только в одном разряде. Это касается первого и последнего набора. Из рисунка 2.6. видно, что кодировка переменных по каждой из сторон карт Карно удовлетворяет правилу образования циклического кода (кода Грея). Это правило можно использовать для построения диаграмм Карно с любым числом переменных.

На рисунке 2.7. приведена диаграмма Карно для n=5, при построении которой использовалось выше приведённое правило.

Рис. 2.7

Топологическая интерпретация правил минимизации.

Единицы, симметричные относительно оси диаграммы, делящие её на две половинки, в одной из которых переменная равна единице, а в

Рис. 2.8

другой равна нулю, называются смежными или соседними. Изображённые на диаграмме единицы являются соседними относительно оси, делящей диаграмму Карно на две половинки , и склеивание осуществляется по переменной . .

Рис. 2.9

Смежные или соседние единицы могут быть объединены в одну группу, причём число единиц в группе равно , например, для рис. 2.9. эта группа состоит из четырёх единиц и ей соответствует конъюнкция db.

Таким образом, минимизация с помощью диаграммы Карно основана на законах склеивания и поглощения и использует правило смежности и симметрии единиц (нулей) относительной осей диаграммы Карно.

Правила минимизации:

1. Объединяем единицы (нули) в группы, число которых в группе равно , причём k=0…n, где n – число переменных, каждой группе соответствует конъюнкция n-k переменных. Исключаются k переменных, относительно осей которых выполняется правило симметрии.

2. В объединение включается как можно большее число единиц и нулей.

3. Одни и те же единицы (нули) могут входить в разные объединения.

4. Минимизация начинается с тех единиц (нулей) которые образуют единственно возможные максимальные объединения.

5. Объединения должны покрывать все единицы (нули) функции.

Пример 2.9.

n=4 Рис. 2.10

; .

Минимизация неполностью определённых функций.

Поскольку значение переменных из запрещённого набора не могут появляться на входе схем, то доопределение функции на этих наборах осуществляется произвольно, так чтобы реализация была минимальна.

; .

На одних и тех же запрещённых наборах при образовании различных форм функция может доопределяться по разному.