Исследование системы на абсолютную устойчивость

Если нелинейная функция удовлетворяет секторному ограничению :

, ,

например, для нелинейностей типа № 1,2,3 (рис. 44), то для проверки отсутствия автоколебаний в замкнутой системе можно исследовать систему на абсолютную устойчивость.

Состояние равновесия замкнутой системы (рис. 39) при называется абсолютно устойчивым, если оно асимптотически устойчиво в целом при любой нелинейной функции , удовлетворяющей секторному ограничению .

Для определения абсолютной устойчивости системы можно использовать частотный критерий Попова. Практическая ценность критерия Попова состоит в его простой геометрической интерпретации. Для этого введем преобразованную частотную характеристику , у которой вещественная часть совпадает с вещественной частью , а мнимая часть отличается на множитель :

1. Рассмотрим основной случай, когда передаточная функция

имеет устойчивые полюса, т.е. корни уравнения имеют отрицательные вещественные части. Это соответствует вариантам схем А, Б, В.

В этом случае критерий Попова формулируется следующим образом:

Состояние равновесия замкнутой системы с одной стационарной нелинейностью, удовлетворяющей секторному ограничению , при устойчивых корнях уравнения абсолютно устойчиво, если на комплексной плоскости через точку можно провести прямую так, чтобы характеристика целиком лежала справа от этой прямой (рис. 45).

Построение для рассмотренного выше примера можно провести с помощью Script-файла:

%Желаемая передаточная функция

Wgpas=75.5*tf([1/3.06 1],[1/0.7 1])*tf([1],[1/0.7 1])...

*tf([1],[1/45.31 1])*tf([1],[1/45.31 1]);

[Re,Im,w]=nyquist(Wgpas);

Wgpasn=squeeze(Re)+j*squeeze(w).*squeeze(Im);

figure(1);plot(Wgpasn);grid;%Преобразованная АФЧХ

Результат построения приведен на рис. 46, из которого следует, что для нелинейности № 1 со значением можно провести прямую-1 через точку А так, чтобы характеристика целиком лежала справа от этой прямой и, следовательно, замкнутая система абсолютно устойчива.

Это свойство сохраняется для , где – критический коэффициент, соответствующий точке В (прямая-2). Здесь значение , что меньше ранее найденного коэффициента , соответствующего точке С , поскольку .

Таким образом, согласно критерию Попова в замкнутой системе отсутствуют автоколебания при и она является абсолютно устойчивой. В силу достаточности критерия Попова при (точка С) абсолютная устойчивость не гарантируется и согласно предыдущему, возможно, что состояние равновесиясистемы устойчиво в большом и неустойчиво в целом. Однако доказано [15], что в этом случае автоколебания с частотой отсутствуют, если через точку С можно провести прямую-3 слева от всех точек на кривой , которые соответствуют гармоникам ,

Рис. 46

2. В случае, когда корни уравнения кроме устойчивых полюсов содержат нулевые (схемы Г, Д) или неустойчивые полюса критерий Попова формулируется следующим образом:

Состояние равновесия замкнутой системы с одной стационарной нелинейностью, удовлетворяющей секторному ограничению , при наличии нулевых и неустойчивых корней уравнения абсолютно устойчиво, если на комплексной плоскости через точку можно провести прямую так, чтобы характеристика , где , , целиком лежала справа от этой прямой.

Таким образом, здесь необходимо, чтобы нелинейность удовлетворяла секторному ограничению : , , . Этому условию не удовлетворяют нелинейности № 1-3, поэтому применить критерий Попова в этом случае не удается. Однако для нелинейного элемента № 2 можно гарантировать отсутствие автоколебаний , если выполняется неравенство , где амплитуда найдена методом гармонической линеаризации, значение определяется из графика рис. 47.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Основная

1. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического управления. – С.-Петербург: изд. «Профессия», 2003.

2. Теория автоматического управления / Под ред. В.Б. Яковлева – М.: Высшая школа, 2005.

3. Теория автоматического управления. Под ред. акад. А.А. Воронова. М.: Высшая школа, 1986.

4. Солодовников В.В., Плотников В.Н., Яковлев А.В. Основы теории и элементы систем автоматического регулирования. М., Машиностроение, 1985.

5. Васильев Д. В., Чуич В.Г., Системы автоматического управления. М., Высшая школа, 1967.

6. Сборник задач по теории автоматического регулирования / Под ред. Бессекерского В.А. – М., Наука. 1965.

7. Сабинин Ю.А. Электромашинные устройства автоматики. Л.: Энергоатомиздат. Ленинг. отд-ние, 1988.

8. Дегтярев Г.Л. и др. Методы динамического расчета САУ. Казань: КАИ, 1986.

9. Гаркушенко В.И., Земляков А.С., Файзутдинов Р.Н. Нелинейные и дискретные системы автоматического управления. Уч. пособие. Казань: КГТУ им. А.Н. Туполева, 2000.

10. Медведев В.С., Потемкин В.Г. Control System Toolbox. MATLAB 5 для студентов. М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 1999. – 287с.

11. Лазарев Ю.Ф. MatLab 5.x. – К.: BHV, 2000. – 384с.

12. Дьяконов В., Круглов В. Математические пакеты расширения MATLAB. Специальный справочник. – СПб.: Питер, 2001 – 480 с.

Дополнительная

13. Методы классической и современной теории автоматического управления. Под ред. Егупова Н.Д. М.: МГТУ им.Н.Э.Баумана, 2002. Т.1.

14. Никулин Е.А. Основы теории автоматического управления. Частотные методы анализа и синтеза систем. – СПб.: БХВ-Петербург, 2004. – 640с.

15. Лурье Б.Я., Энрайт П.Дж. Классические методы автоматического управления. – СПб.: БХВ-Петербург, 2004. – 640с.

16. Дорф Р. Современные системы управления. – М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2002. – 832с.

17. Филлипс Ч., Харбор Р. Системы управления с обратной связью. – М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001. – 616с.

18. Ким Д.П. Теория автоматического управления. Т.1. Линейные системы – М.: Физматлит, 2003. – 288 с.

19. Ким Д.П. Теория автоматического управления. Т.2. Многомерные, нелинейные, оптимальные и адаптивные системы – М.: Физматлит, 2004. – 464 с.

20. Востриков А.С., Французова Г.А. Теория автоматического управления. – Высш. шк., 2006. – 365 с.

21. Воронов А.А. и др. Теория автоматического управления. Ч.1. М., Высш. шк., 1977.

22. Основы автоматического управления. Под. ред. В.С. Пугачева. М., Наука, 1978.

23. Цыпкин Я.3. Основы теории автоматических систем. М., Наука, 1977.

24. Техническая кибернетика. Теория автоматического управления. Под. ред. В.В. Солодовникова. Кн.1. – М., Машиностроение, 1967.

25. Техническая кибернетика. Теория автоматического управления. Под. ред. В.В. Солодовникова. Кн.2. – М., Машиностроение, 1967.

26. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. – М.: 1988. – 548с.

27. Бесекерский В.А., Изранцев В.В. Системы автоматического управления с микроЭВМ. – М.: Наука.1987. – 320с.

28. Теория автоматического управления: Методические указания к курсовой работе. Под ред. И.И. Ахметгалеева. Казань: КАИ, 1979. – 61с.

29. Теория автоматического управления: Методические указания к курсовой работе. Под ред. Г.Л. Дегтярева. Казань: КАИ, 1988. – 31с.

30. Щеглов М.Ю. Электроника (часть 1): Рабочая тетрадь студента. Казань: "Отечество", 2004. – 176 с.

31. ГОСТ 7.32-2001. Отчет о научно-исследовательской работе.

ПРИЛОЖЕНИЕ А. Корректирующие цепи

Таблица П.1

Передаточная функция	Электрическая схема	Параметры
	Неинвертирующий усилитель
	Повторитель напряжения
	Инвертирующий усилитель
	Активная дифференцирующая цепь
	Дифференцирующая цепь	, ,
	Интегрирующая цепь	,
,	Интегро-дифференцирующая цепь	, ,
,	Интегро-дифференцирующая цепь	, , ,
,	Интегро-дифференцирующая цепь	, , , ,

В приведенных электрических схемах в качестве начального приближения электроемкость можно принять равной мкФ.

Для большинства распространенных операционных усилителей (ОУ) входное сопротивление составляет от кОм (в ОУ с биполярным входным каскадом) до 100 ГОм (в ОУ с входным каскадом на полевых транзисторах). Выходное сопротивление ОУ составляет Ом, которое выносится во внешнюю цепь.

При выборе сопротивлений нагрузки и цепи обратной связи ОУ необходимо учитывать ограничение на максимально допустимый выходной ток ОУ, который составляет мА при максимальном напряжении выхода 13 В.

ПРИЛОЖЕНИЕ Б. Коэффициенты гармонической линеаризации нелинейных характеристик

Таблица П.2

Тип нелинейности	Коэффициенты гармонической линеаризации нелинейного элемента
№ 1	, при
№ 2	, при
№ 3	, при
№ 4	, при

Таблица П.3

Тип нелинейности	Коэффициенты гармонической линеаризации нелинейного элемента и график функции ,
№ 1	,
№ 2	,
№ 3	,
№ 4	,

ПРИЛОЖЕНИЕ В. Справочные данные

Таблица П.4

1. Некоторые числовые значения
1 рад рад рад рад
2. Приставки к обозначениям единиц
Гига (Г) Мега (М) Кило (к)	Деци (д) Санти (с) Милли (м)	Микро (мк) Нано (н) Пико (п)
3. Размерность и обозначение величин в системе единиц СИ
Величина	Обозначение	Размерность
Длина Масса Момент инерции Время Скорость Угловая скорость Ускорение Угловое ускорение Энергия и работа Сила Момент силы Мощность Ток Количество электричества Напряжение, ЭДС Электрическое сопротивление Электроемкость Индуктивность Магнитный поток	м кг кг м2 с м/с рад/с м/с2 рад/с2 Дж Н Н м Вт А К В Ом Ф Гн Вб	м кг кг м2 с м/с рад/с м/с2 рад/с2 кг м2/с2 кг м/с2 = Дж/м Н м кг м2/с3 = Дж/с А А с кг м2/Ас3 кг м2/А2 с3=В/А Ас4/кгм2=Ас/В=с/Ом кг м2/А2 с2=Ом с кг м2/А с2