Тема 6. Статистические показатели, методика их исчисления

Изучаемые вопросы

1. Средние величины

2. Показатели вариации.

3. Виды дисперсии, правило их сложения

4. Индексы

5. Показатели динамических рядов

6. Основные приемы исследования динамических рядов

1. В качестве одной из важнейших характеристик вариационного ряда применяют средние величины - обобщающие количественные характеристики совокупностей однотипных явлений по варьирующему признаку. Средние могут быть обобщающей характеристикой лишь для однородных совокупностей. Для характеристики неоднородной совокупности необходимо расчленить ее на группы и находить среднюю по каждой группе.

Средние величины имеют множество форм. В статистике наиболее часто используют степенные и структурные средние.

Общий вид степенной средней ( ):

- простая; (1)

- взвешенная, (2)

где z - показатель степени, определяющий вид средней.

Если показатель z=1, то средняя называется арифметической и имеет формулы:

- простая; (3)

- взвешенная. (4)

Например, по данным табл. 1, чтобы рассчитать средний процент выполнения норм, применяем среднюю арифметическую взвешенную. Для этого необходимо в каждом интервале найти середину:

; ; .

А затем по формуле (4): .

Значит, средний процент выполнения норм выработки равен 102,9%.

Средняя гармоническая получается при подстановке в формулу степенной средней значения z = -1:

- простая; (5)

- взвешенная. (6)

Например, по данным, приведенным в табл. 2, рассчитать среднюю зарплату можно по формуле (6).

Таблица 2

Месячная заработная плата рабочих

Средняя гармоническая используется в том случае, если неизвестны частоты признаков, а данные представлены объемом признака (x*m) и вариантами признака.

Если показатель z = 0, то получим при логарифмировании, а затем потенцировании формулы (1) среднюю геометрическую:

- простая; (7)

- взвешенная, (8)

где П - произведение вариантов в степени m: .

Например, расчет среднего темпа роста выпуска продукции в цехе (табл. 3).

Таблица 3

Темпы роста:

; ;

Средний темп роста определяем по формуле (7): .

Аналогично можно рассчитать средний темп путем извлечения кубического корня из отношения объема за апрель к объему в январе: .

Средняя геометрическая используется при расчете средних относительных величин.

2. Структурные средние - мода и медиана. Мода M₀ - это вариант, наиболее часто встречающийся в данном ряду. Моду определяют по наибольшей частоте. В примере, помещенном в табл.1, можно определить модальный интервал - от 100 до 105, т.к. здесь наибольшая частота =17.

В интервальном вариационном ряду мода определяется по формуле:

; (9)

где - нижняя граница модального интервала; i - величина модального интервала; - частота соответственно модального, предмодального и послемодального интервала.

По данным табл. 1 рассчитаем модальное значение выполнения норм выработки, используя формулу (9): .

В качестве характеристики вариационного ряда применяется медиана М_е - значение варьирующего признака, которое приходится на середину ранжированного вариационного ряда. Если в вариационном ряду 2m+1 случаев, то значение признака у случая m+1 будет медианным. Если в ряду четное число 2m случаев, медиана равна средней арифметической из двух срединных значений. Медиана в дискретном вариационном ряду равна:

; .

Медиана в интервальном ряду определяется по формуле

, (10)

где - нижняя граница медианного ряда; i - величина медианного интервала; - сумма накопленных частот до медианного интервала; - частота медианного интервала.

Медианный интервал определяется по кумулятивным частотам: где впервые сумма частот превысит , значит, это и есть медианный интервал.

По данным табл. 1 кумулятивная частота 20 превышает 0,5m ( ), значит интервал от 100 до 105 - медианный.

Медиана рассчитывается (10): .

Выбор вида средней для характеристики признака производится в зависимости от особенностей изучаемого явления и от цели, для которой исчисляют среднюю.