Категории: ДомЗдоровьеЗоологияИнформатикаИскусствоИскусствоКомпьютерыКулинарияМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОбразованиеПедагогикаПитомцыПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРазноеРелигияСоциологияСпортСтатистикаТранспортФизикаФилософияФинансыХимияХоббиЭкологияЭкономикаЭлектроника |
В противном случае оценка называется смещенной.Разность М - .называется смещением оценки. Требование несмещенности означает, что выборочные значения ,i оценок, полученные в результате повторения выборок, группируются около их математического ожидания, а не около оцениваемой величины . Определение 3.5. Оценка величины называется робастной, если она устойчива по отношению к выбросам в статистических данных. Определение 3.6. Оценка числовой характеристики или параметра распределения называется эффективной в рассматриваемом классе Т состоятельных и несмещенных оценок, если она имеет в этом классе минимальную дисперсию: (3.5) Определение 3.7. Из двух оценок и одной и той же числовой характеристики или параметра распределения в классе Т состоятельных и несмещенных оценок более эффективной считается та, дисперсия которой меньше. Если имеет место неравенство D <D (3.6) то - более эффективная оценка , чем . Отношение D /D (3.7) называется относительной эффективностью оценки относительно оценки , а отношение (3.8) называется эффективностью оценки в рассматриваемом классе оценок Т. Пример 1.2. Для нормального распределения оценкой математического ожидания m могут служить выборочное среднее и выборочная медиана med в силу симметричности нормального распределения. Доказано, что (для любого n) и (при больших n). Следовательно, при больших n относительной эффективностью выборочной медианы относительно будет Определение 3.8. Оценка параметра распределения называется асимптотически эффективной в классе Т состоятельных и несмещенных оценок, если существует предел =1, . (3.9) Асимптотически эффективные оценки дает метод максимального правдоподобия получения оценок, который рассматривается далее. В более общем случае, если отказаться от требования несмещенности оценки параметра , то в качестве меры разброса значений относительно вместо дисперсии обычно выбирается величина среднего квадрата ошибки, то есть второй момент вида . Тогда оценка называется эффективной в классе Т состоятельных оценок, если выполняется равенство (3.10) Отношение (3.11) называется эффективностью оценки в классе Т состоятельных оценок.
5. Основные свойства оценок.
Если мы определяем некоторый параметр a по результатам опыта, то его приближённое значение называют оценкой. Любая оценка, вычисляемая на основе экспериментальных данных, является функцией этих случайных величин и значит тоже случайная величина Например, для МО, как было показано выше, естественной оценкой является среднее арифметическое её наблюдённых значений: (2.12)
Итак, любая оценка параметра является случайной величиной её закон распределения зависит от закона распределения Х и от вида функции , выражающей через , а значит и от числа опытов n. К оценке предъявляются требования обладания рядом свойств: Состоятельность – оценка приближается при увеличении числа опытов (сходится по вероятности) к искомому параметру Несмещённость – отсутствие систематической ошибки Эффективность – наличие минимальной дисперсии по сравнению с другими На практике не всегда удаётся удовлетворить всем этим требованиям. Определим и дисперсию Выше указывалось, что для среднее арифметическое (или статистическое среднее): (2.13) Состоятельность этой оценки следует из закона больших чисел, согласно которому при увеличении числа опытов она сходится по вероятности к МО случайной величины Х. Несмещённость можно показать, найдя её математическое ожидание: , (2.14) т.е.оценка для является несмещённой. Найдём дисперсию этой оценки: . (2.15) Эффективность оценки зависит от вида закона распределения Х, можно показать, что для нормально распределённой величины оценка для математического ожидания является и эффективной. Для дисперсии, на первый взгляд, наиболее естественной является статистическая дисперсия , т.е. среднее арифметическое квадратов отклонений значений от среднего: (2.16) Для проверки её состоятельности выразим её через статистический второй начальный момент, т.е. через среднее арифметическое квадратов наблюдённых значений: (2.18) Первый член в правой части – среднее арифметическое наблюдений случайной величины сходится по вероятности к её МО: Второй член сходится по вероятности к , вся величина по вероятности сходится к Значит оценка состоятельна. Для проверки её несмещённости выполним следующее: (2.19) Так как статистическая дисперсия не зависит от того, где выбрать начало координат, выберем его в точке , т.е. отцентрируем все случайные величины Тогда (2.20) Найдём МО величины (2.21) Но и эта формула даёт: (2.22) Отсюда видно, что величина не является несмещённой оценкой для дисперсии , её МО не равно , а несколько меньше. Чтобы ликвидировать систематическую ошибку, достаточно ввести поправку, умножив на Тогда для несмещённой оценки для дисперсии получим: равную статистической дисперсии, умноженной на соответствующий коэффициент. При больших значениях этот множитель становится близким к единице и его можно не применять. Окончательно, для приближённых оценок имеем: (2.23) Вместо последнего выражения часто удобно использовать: (2.24) Можно показать, что такой же поправочный множитель нужно вводить и при вычислении несмещённой оценки для ковариации двух случайных величин и
6. Оценка математического ожидания и дисперсии по выборке. |
|
Последнее изменение этой страницы: 2016-08-11 lectmania.ru. Все права принадлежат авторам данных материалов. В случае нарушения авторского права напишите нам сюда... |