Главная Случайная страница


Категории:

ДомЗдоровьеЗоологияИнформатикаИскусствоИскусствоКомпьютерыКулинарияМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОбразованиеПедагогикаПитомцыПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРазноеРелигияСоциологияСпортСтатистикаТранспортФизикаФилософияФинансыХимияХоббиЭкологияЭкономикаЭлектроника






Тригонометрическая форма комплексного числа

Мы можем рассматривать полярные координаты точки, изображающее комплексное число , как модуль и аргумент этого числа. Таким образом, , = . Тогда, учитывая , , получим тригонометрическую форму числа :

.

Пример.Найти модуль и аргумент числа .

Решение:

, , ,

рис. 3.10

Данная форма комплексного числа удобна для выполнения умножения и деления комплексных чисел, для возведения в степень и извлечение корня n-й степени.

Рассмотрим произведение:


Таким образом, при умножении комплексных чисел модули их перемножаются, а аргументы складываются. Аналогично:

(показать самостоятельно).

Возведение числа в n-ю степень можно рассмотреть как произведение одинаковых множителей. Тогда получим формулу Муавра: .

Пример.Найти , если .

Решение:

Сначала представим в тригонометрической форме:

, .

. Тогда

.

 

Определение 6.Извлечь корень n-й степени из числа – найти такое число , что .

 

Пусть , а . Тогда .Отсюда получим: , .

Решим систему уравнений:

.

Таким образом, , при , при . Т.е. и при и при совпадают, и различные корни будут только при . Таким образом, решение уравнения можно записать , . Это решение имеет различных значений, которые лежат на окружности радиуса и делят её на равных частей, каждая из которых получается поворотом на против часовой стрелки относительно .

Замечание. Обозначение не имеет однозначного смысла, поэтому лучше его избегать.

Пример. Найти и изобразить на комплексной плоскости все корни уравнения .

Решение:

Сначала число представим в тригонометрической форме: ,

,

.

Тогда , . : ;

: ;

: ;

: .

Заметим, все корни лежат на окружности радиуса .

П. 6 Полиномы

Определение 1. Полиномом степени называют выражение вида , где – числа, вообще говоря, комплексные.

Определение 2. Алгебраическим уравнением называется выражение вида , где – полином степени .

Определение 3. Корнем полинома или соответствующего ему уравнения называется число такое, что .

П. 6.1 Деление полиномов

Теорема 1. (О делимости полиномов)

Пусть и – полиномы степени и соответственно, причём . Тогда существуют полиномы и такие, что , где , .

Доказательство этой теоремы в общем виде громоздко, но его идея легко просматривается на следующем примере.

Пример. Проиллюстрируем теорему 1. Разделим:

на

       
   
 
 

 

 

Определение 4.Рациональная дробь называется правильной, если ; и неправильной, если .

Определение 5.Полином называется полным частным, если остаток , и неполным, если .

Теорема 2. (Первая теорема Безу)

Остаток деления полинома на есть , где .

Доказательство:

По теореме 1 . Так как , а , то . Это значит, что .

Заметим, что . Таким образом, . ■

Теорема 3. (Вторая теорема Безу)

Число – корень полинома тогда и только тогда, когда при делении на .

Доказательство:

Необходимость. Пусть – корень полинома , т.е. . Рассмотрим . Тогда . Отсюда .

Достаточность. Пусть . Тогда по теореме 1 . Рассмотрим . Это значит, что является корнем полинома . ■

Схема Горнера

Схема Горнера –это наиболее эффективный алгоритм деления полинома на двучлен . По теореме 1 . Распишем в последнем равенстве все многочлены: . Два полинома равны тогда и только тогда, когда равны коэффициенты при одинаковых степенях. Поэтому:

 
 
………………………..   …………………………
 
  Ошибка! Ошибка связи.

 

……………
……………
……………

 

 

 
 

Следствие.Если полином имеет целые коэффициенты, причём , и его корни есть целые числа, то эти корни являются делителями свободного члена .

Доказательство:

По условию , где . Пусть – корень полинома , т.е. . Вынесем за скобку в левой части равенства: . Так как все – целые, тогда, если – целые, то – целое, т.е. является делителем числа . ■

Пример. Используя схему Горнера, разделить полином

на .

Решение:

Запишем делимое в каноническом виде, т.е. .

Применяя схему Горнера, имеем:

 

-3 -1
-1 -4
-1 -2 -5

Итак, частное и остаток . Проверим . Заметим, что числа, стоящие в последней строке, кроме , являются коэффициентами частного .

Пример. Разложить на множители полином .

Решение:

Делители свободного коэффициента: . Так как , то делится на . По схеме Горнера:

-1 -3 -2

Таким образом, .

Последнее изменение этой страницы: 2016-08-11

lectmania.ru. Все права принадлежат авторам данных материалов. В случае нарушения авторского права напишите нам сюда...