Категории:

Дом Здоровье Зоология Информатика Искусство Искусство Компьютеры Кулинария Маркетинг Математика Медицина Менеджмент Образование Педагогика Питомцы Программирование Производство Промышленность Психология Разное Религия Социология Спорт Статистика Транспорт Физика Философия Финансы Химия Хобби Экология Экономика Электроника

II.Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов

Данный этап расчета проводить в следующей последовательности:

1. Балку разделить на участки, границы которых совпадают с точками приложения сосредоточенных сил, сосредоточенных моментов или с точками начала и конца действия распределенной нагрузки.

2. На каждом участке провести сечение и, рассматривая равновесие отсеченной части балки (левой или правой), составить уравнения, выражающие через текущую координату X поперечную силу Q и изгибающий момент M.

3. Подставляя в найденные уравнения значения абсцисс на каждом участке вычислить в ряде сечений величины поперечных сил и изгибающих моментов. Если в пределах участка поперечная сила меняет знак, необходимо найти величину текущей координаты X, которой соответствует нулевое значение поперечной силы Q. На эпюре изгибающего момента этой координате будет соответствовать экстремальное значение М, которое следует вычислить.

При записи выражений для Q и M следует придерживаться определенных правил.

- Поперечная сила численно равна алгебраической сумме внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения. Внешняя сила дает положительное слагаемое, если поворачивает оставшуюся часть балки относительно данного сечения по часовой стрелке. Следует мысленно установить шарнир в рассматриваемом сечении, относительно которого поворачивается отсеченная часть балки от действующих сил, перпендикулярных оси балки.

- Изгибающий момент численно равен сумме моментов относительно рассматриваемого сечения от всех нагрузок, действующих по одну сторону от этого сечения. Момент от нагрузки считается положительным, если вызывает сжатие верхних волокон рассматриваемой части балки. Мысленно установить в этом сечении заделку и рассмотреть состояние верхних волокон отсеченной части балки в зависимости от данного вида нагрузки.

Графически правило знаков для поперечных сил Q и изгибающих моментов M в зависимости от движения к сечению показано на рис.13.

4. По вычисленным значениям поперечных сил и изгибающих моментов построить в масштабе соответствующие эпюры. Положительные значения откладывать от нулевой линии вверх, отрицательные – вниз. Полученные плоские фигуры заштриховать вертикальными линиями с указанием знаков.

5. Проверить построенные эпюры на их соответствие следующим правилам:

- если на участке отсутствует распределенная нагрузка, то поперечная сила постоянна, а изгибающий момент изменяется по линейному закону.

-если на участке имеется распределенная нагрузка, то поперечная сила изменяется по линейному закону, а изгибающий момент – по закону квадратичной параболы. При этом парабола всегда обращена выпуклостью навстречу распределенной нагрузке.

- в сечении, где поперечная сила равна нулю, изгибающий момент достигает экстремального значения.

- в сечении, где приложена внешняя сосредоточенная сила, перпендикулярная к оси балки, эпюра Q имеет скачок на величину этой силы, а эпюра М – излом (смежные участки эпюры не имеют плавного сопряжения).

- в сечении, где приложен внешний сосредоточенный момент, эпюра М имеет скачок на величину этого момента. На эпюре Q это не отражается.

- в концевом сечении балки поперечная сила Q и изгибающий момент М равны соответственно приложенной в этом сечении внешней сосредоточенной силе (активной или реактивной) либо сосредоточенному моменту (активному или реактивному).

III. Подбор сечения балки

Условие прочности для балок с сечениями, симметричными относительно нейтральной оси, имеет вид:

= ,

где W – осевой момент сопротивления сечения.

Для подбора сечения балки (проектного расчета) из условия прочности определяют необходимую величину осевого момента сопротивления:

Исходя из формы поперечного сечения, по найденному моменту его сопротивления находят размеры сечения.

Пример расчета балки на изгиб

Требуется:

Выполнить расчет балки на двух опорах, изображенной на рис.14.а. Для этого необходимо решить следующие задачи:

a. Построить эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов М.

b. Из расчета на прочность подобрать сечение балки из пластичного материала следующих профилей:

- - в форме сплошного круга,

- - в форме прямоугольника с соотношением сторон .

При расчетах принять: , , , , .

Решение:

Расчет выполняется в полном соответствии с п.3.4.1

I.Определение опорных реакций (рис.14.б)

Вначале освободим балку от опор, изобразив все действующие на нее нагрузки, включая неизвестные (направления векторов последних выберем произвольно). Вектор -вниз, – вверх.

Назначаем систему координат, связанную с левым концом балки. Ось Х направляем вдоль оси балки вправо. Ось Y – вертикальна. Ввиду отсутствия внешней нагрузки, имеющей горизонтальную составляющую, из уравнения статического равновесия проекций всех нагрузок на ось Х можно сразу установить, что

При составлении уравнений статического равновесия моментов примем для удобства правило знаков, по которому сила или сосредоточенный момент, поворачивающие балку вокруг данной точки в направлении вращения часовой стрелки, обуславливают положительное слагаемое в данном уравнении моментов.

, ,

откуда .

Обратим внимание на знаки вычисленных реакций и . В случае с назначенное направление этого вектора оказалось удачным, об этом свидетельствует положительное значение .Реакция получила отрицательное значение, что означает необходимость изменить направление этого вектора на противоположное, т.е. направить его вверх. Прежний вектор пометим короткой наклонной чертой, в дальнейших расчетах он не используется.

Проверку осуществим на основе уравнения

Следовательно, опорные реакции определены верно.

Разделим балку на участки:

I участок II участок

III участок IV участок .

Для дальнейших расчетов представляем расчетную схему балки согласно рис.15.в.

II.Построение эпюр поперечных сил (рис.14.г)

На участке I величину и знак Q определим, проведя на нем произвольное сечение и рассматривая равновесие левой отсеченной части (отдельно ее не показываем). Внешней нагрузкой, действующей на левую отсеченную часть балки, является сила , стремящаяся повернуть эту часть против хода часовой стрелки. Следовательно, здесь Q отрицательна.

На этом участке эпюра Q – прямая, параллельная оси абсцисс.

На участке II поперечная сила также постоянна. На левую отсеченную часть действуют силы F и .

Отметим, что в сечении балки над левой опорой А на эпюре Q получается скачок на величину силы V_A.

На участке III действует распределенная нагрузка, поэтому поперечная сила Q будет изменяться по линейному закону в виде наклонной прямой в зависимости от значения текущей координаты . Сечение балки в точке С, где начинает действовать распределенная нагрузка, сдвинуто вправо от точки О начала координат на 2м. По этой причине выражение для Q выглядит следующим образом:

Произведение представляет собой выражение для внешней силы от распределенной нагрузки.

Подставляя крайние значения получаем величины Q в точках С и В.

При .

Поскольку на этом участке наблюдается изменение знака Q, то найдем координату , при которой поперечная сила становится равной нулю. С этой целью решаем уравнение

Получаем .

Выражение для Q_IV на последнем участке отличается от Q_III на величину

При м .

При м Q_D = 0.

Полученные значения поперечной силы наносим на эпюру Q, соединяя прямыми линиями значения Q на краях каждого участка.

III.Построение эпюр изгибающих моментов (рис.14.д)

На участке I изгибающий момент изменяется по линейному закону.

Знак минус перед силой F поставлен по той причине, что левая часть балки на этом участке от силы F изгибается выпуклостью вверх, т.е. сжатые волокна балки находятся снизу.

При ,

при м м.

На участке II эпюра момента также имеет линейный вид:

Здесь сила V_A приложена к балке снизу, поэтому от нее балка изгибается выпуклостью вниз, т.е. сжатые волокна расположены сверху. Плечо момента от силы V_A до рассматриваемого сечения с координатой равно , т.к. оно короче плеча до силы F на 1м.

Подставляем крайние значения текущей координаты.

При м ,

м .

На участке III для сечения с координатой начинает действовать распределенная нагрузка, что является причиной для изменения характера эпюры момента; она становится квадратичной параболой.

В этом выражении составляющая изгибающего момента от распределенной нагрузки имеет 3 сомножителя. Второй сомножитель является расстоянием от сечения с координатой до сечения, где начинает действовать распределенная нагрузка, т.е. до точки . Суммарное воздействие на балку от распределенной нагрузки, равное , эквивалентно сосредоточенной нагрузке того же значения, но приложенной точно посередине этого участка. По этой причине плечо эквивалента распределенной нагрузки до рассматриваемого сечения всегда вдвое короче длины нагруженного распределенной нагрузкой участка, а именно: .

Следует обратить внимание, что в точке С приложен сосредоточенный момент, что вызывает соответствующий скачок изгибающего момента на эпюре. Сосредоточенный момент берется со знаком минус, т.к. он гнет левую часть балки выпуклостью вверх (сжатые волокна снизу).

При м ,

Найдем вершину квадратичной параболы, т.е. экстремальное значение изгибающего момента в той координате , которой соответствует нулевое значение Q_III.

Для IV участка изгибающий момент имеет следующий вид

По крайним значениям строим эпюру, которая также имеет вид квадратичной параболы, выпуклой частью обращенной навстречу распределенной нагрузке.

При м .

Примечание к данному пункту.

Построение эпюр Q и М на IV участке можно осуществить и на основе других выражений, что может одновременно послужить и способом самоконтроля для проверки правильности вычисления Q и М.

Значения Q для этого участка удобнее определять, рассматривая правую отсеченную часть балки. В этом случае начало координат размещается на правом конце балки, а ось Х - в противоположном направлении вдоль оси балки, т.е. . Это позволяет существенно упростить выражение для Q_IV , а именно: .

При Q_D = 0,

Q_B =2кН.

Результат, как видим, полностью совпадает с предыдущими вычислениями.

По аналогии изгибающий момент на IV участке

При ,

Оценивая построенные эпюры Q и М с точки зрения правил п.3.4.2 можно сделать заключение, что обе они соответствуют приведенным там критериям проверки.

III. Подбор сечения балки

Опасным является сечение в точке А, где действует максимальный по абсолютному значению изгибающий момент .

Условие прочности для балки из пластичного материала .

1. КРУГЛОЕ СЕЧЕНИЕ

С учетом выражения для момента сопротивления изгибу балки круглого сечения W = 0,1*D³ условие прочности примет вид .

Решая это неравенство, вычисляем диаметр круглого сечения.

В соответствии с рядом стандартных линейных размеров (Приложение П.3) окончательно выбираем D = 56мм.

Вычисляем момент сопротивления балки этого размера

W= 0,1*D³ =0,1*5,63 =17,56 см3,

Максимальные напряжения

оказались ниже допустимых , что и требовалось.

2. ПРЯМОУГОЛЬНОЕ СЕЧЕНИЕ (h=3 b)

Как известно, момент сопротивления изгибу для балки прямоугольного сечения равен .

Условие прочности примет вид: .

Решая это неравенство, вычисляем ширину сечения

В соответствии с рядом линейных размеров (Приложение 3) выбираем

b = 24мм, h = 71мм.

Момент сопротивления у данного профиля

Максимальные напряжения в сечении балки над опорой А будут

, а это меньше, чем ,что и требовалось.

Сложное сопротивление

3.5.1. Практические рекомендации для расчета

При передаче мощности Wв кВт валом вращающимся с постоянной скоростью n об/мин создается крутящий момент (Н∙м), определяемый по формуле

На валу установлены два колеса, одно из которых принимает момент Т, а другое передает его по кинематической цепи дальше (рис.15). В точках контакта колес возникают силы. Силы, параллельные оси вала P_i, называются осевыми, касательные к окружности колес F_i - окружными, действующие вдоль радиуса к центру колес R_i - радиальными. Значения этих сил зависят от условий контакта, т.е. геометрии зацепления колес. В данном случае они определяются по формулам:

в зависимости от номера диаметра колеса D_ii=1 или 2.

Считая вал абсолютно твердым телом и используя правило параллельного переноса сил на ось вала, получаем на схеме вала силы и крутящие и изгибающие моменты (рис.16). В вертикальной плоскости XАZ действуют: продольная сила – P₁ и изгибающий момент - М₁= P₁∙D₁/2 (от переноса осевой силы P₁), поперечные силы - R₁и R₂ (переносятся вдоль линий их действия). В плоскости горизонтальной ХАY действуют: поперечные силы - F₁ и F₂ (от переноса окружных сил F₁ и F₂). Относительно оси вала ОХ действуют крутящие моменты Т₁ = Т₂= Т.

Для наглядности и удобства расчета рассматриваются раздельно системы сил и моментов, действующих в вертикальной плоскости XАZ (рис.17.а), горизонтальной плоскости ХАY (рис.17.б), в вертикальной плоскости YAZ (рис.17.в), и сил, действующих вдоль оси X (рис.17.г). Это оказывается возможным благодаря принципу суперпозиции (независимости) действия сил. Тогда реакции опор определяются согласно условиям статического равновесия для плоской системы сил и моментов.

Построение эпюр изгибающих моментов осуществляется раздельно, т.е. для плоской системы сил и моментов в вертикальной и горизонтальной плоскостях. Решение этой задачи выполняется аналогично рассмотренному в разделе 3.4. Эпюры поперечных и продольных сил в данной задаче строить необязательно.

Эпюра крутящих моментов строится согласно рассмотренному в разделе 3.2.

Опасные сечения устанавливаются по эпюрам внутренних усилий для наиболее нагруженного на участке сечения. Опасным является сечение, в котором действует наибольший суммарный момент. Влиянием продольного усилия N=А при подборе размеров, как правило, пренебрегают.

Опасные точки находятся на границе сечения вала. Здесь в общем случае имеем максимальные напряжения:

от крутящего момента М_к = М_х касательное напряжение

от изгибающего момента нормальное напряжение

где М_и – суммарный изгибающий момент, W_k и W_y – моменты сопротивления сечения вала кручению и изгибу.

Для круглого поперечного сечения вала .

По теории наибольших касательных напряжений (III теории прочности) имеем

Тогда, наибольший эквивалентный момент в сечении вала равен

Размеры поперечного сечения находят из условия прочности опасной точки опасного сечения. При отсутствии явно выраженного одного опасного сечения условия прочности составляются для нескольких сечений.

Диаметр вала определяется из условия прочности: ,

где - допускаемое напряжение, - предел текучести материала вала.

Диаметр вала вычисляется по формуле , и полученное значение диаметра следует округлить до ближайшего значения по ГОСТ 6636—69*(см. приложение П.3).

Пример решения задачи на сложное сопротивление

Задача: стальной вал круглого поперечного сечения из стали 30ХГСА с установленными на нем зубчатыми колесами вращается с постоянным числом оборотов nв =210 об/мин и передает мощность Nв=12,1 кВт. Расчетная схема вала представлена на рис.16.

Исходные данные к задаче: D1=0,4м, D2=0,2м, а=с=0,08 м, в=0,1м.

Требуется: подобрать величину диаметра d вала по условиям прочности, приняв коэффициент запаса прочности по пределу текучести n_s =5.

Решение:

1. Определение внешних нагрузок, действующих на вал

Момент на валу - .

Окружные силы: - , .

Осевая сила - _.

Радиальные силы : , .

В результате приведения сил к оси вала имеем (рис.17):

в сечении Б крутящий момент - , поперечные силы F_Z₁= 0,825 кН∙м (от переноса окружной силы F₁); F_Y₁= 2,75 кН∙м (от переноса радиальной силы R₁);

в сечении В крутящий момент - , поперечные силы F_Z₂= 1,65 кН∙м (от переноса окружной силы F₂); F_Y₂= 5,5 кН∙м (от переноса радиальной силы R₂); изгибающий момент M_Y₂= A₂∙D₂/2 = 0,11 кН∙м (от переноса осевой силы A₂).

2. Определение опорных реакций

Для определения вертикальных составляющих опорных реакций (рис.17.а) составим уравнения равновесия — суммы моментов всех сил относительно осей, параллельных оси Y и проходящих через опоры А и Г вала:

;

Отрицательное значение опорной реакции Z_А свидетельствует о том, что ее направление следует поменять на противоположное (на рис.17.а действительное направление Z_А показано штриховой линией).

Проверим правильность нахождения реакций Z_А и Z_Г для чего составим третье уравнение равновесия — сумму проекций всех сил на вертикальную ось Z:

=0.

Следовательно, реакции найдены правильно.

Для определения горизонтальных составляющих опорных реакций (рис.17.в). Составим уравнения моментов всех сил относительно осей, параллельных оси Z и проходящих через опоры А и Г вала:

;

Проверим правильность нахождения реакций Y_А и Y_Г для чего составим третье уравнение равновесия — сумму проекций всех сил на вертикальную ось Y:

Следовательно, реакции найдены правильно.

Осевые нагрузки (рис.16), действующие вдоль оси X, воспринимаются только радиально-упорным подшипником (в нашем случае правой опорой Г). Их можно определить из уравнения равновесия — суммы проекций всех сил на ось X:

3. Построение эпюр крутящих и изгибающих моментов M

Построение эпюр изгибающих моментов в вертикальной плоскости XAZ. Находим значения М_Y в сечениях вала, соответствующих границам участков I - АБ , II - БВ , III- ГВ согласно расчетной схеме на рис.17.а

Для участка I – АБ (сечения 0 ≤х₁≤а)

Для участка II – БВ (сечения 0 ≤х₂≤b)

Для участка III- ГВ (сечения 0 ≤х₃≤c)

По полученным данным строим эпюру изгибающих моментов М_Y (рис.17.б).

Построение эпюр изгибающих моментов в горизонтальной плоскости XAY. Находим значения М_Z в сечениях вала, соответствующих границам участков I - АБ , II - БВ , III- ГВ согласно расчетной схеме на рис.17.в

Для участка I – АБ (сечения 0 ≤х₁≤а)

Для участка II – БВ (сечения 0 ≤х₂≤b)

Для участка III- ГВ (сечения 0 ≤х₃≤c)

По полученным данным строим эпюру изгибающих моментов МZ (рис.17.г).

Построение эпюр крутящих моментов (рис.17.д):

Строим эпюру крутящих моментов M_X = М_К(рис.17.е).

4. Определение диаметра вала

Из анализа эпюр внутренних сил (см. рис.17) следует, что опасным является сечение в точке В, где действуют наибольшие изгибающие моменты и крутящий момент .