Главная Случайная страница


Категории:

ДомЗдоровьеЗоологияИнформатикаИскусствоИскусствоКомпьютерыКулинарияМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОбразованиеПедагогикаПитомцыПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРазноеРелигияСоциологияСпортСтатистикаТранспортФизикаФилософияФинансыХимияХоббиЭкологияЭкономикаЭлектроника






РАЗЛИЧНЫЕ ТИПЫ ПОЗИЦИОННЫХ СИСТЕМ СЧИСЛЕНИЯ

ПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

Рекомендации к выполнению лабораторной работы по дисциплине «Информатика»

 

Специальности:
Электромеханика (140601)

Электропривод и автоматика промышленных установок и технологических комплексов (1406040)

Электрооборудование и электрохозяйство предприятий, организаций и учреждений (140610)

Промышленная электроника (210106)

 

Новокузнецк 2010


УДК 511.1(07)

П473

 

Рецензент:

кандидат технических наук доцент Кожемяченко В.И.

Кафедра информационных технологий в металлургии
ГОУ ВПО СибГИУ
(Зав. кафедрой д.т.н., проф. В.П. Цымбал)

 

 

П473 Позиционные системы счисления: метод. указ. / сост. В.В. Терехин; СибГИУ. – Новокузнецк, 2010. – 21 с.

 

Приведены основы позиционных систем счисления, правила выполнения операций в двоичной системе счисления, а также методы преобразования из одной системы счисления в другую. На примерах показано применение изложенной теории.

 

Предназначена для студентов специальностей: Электромеханика (140601), Электропривод и автоматика промышленных установок и технологических комплексов (1406040), Электрооборудование и электрохозяйство предприятий, организаций и учреждений (140610), Промышленная электроника (210106), а также может быть рекомендована для студентов других специальностей.

 

Цель работы

Изучить на практике правила выполнения арифметических операций в двоичной системе счисления, а также методы преобразования чисел из одной системы счисления в другую.

ПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Система счисления – это принятый способ записи чисел и сопоставления этим записям реальных значений.

В любой системе счисления для представления чисел выбираются некоторые символы (цифры), отличные друг от друга. Эти символы называются базисными числами, а число таких символов называется основанием системы счисления. В современном мире наибольшее распространение получило представление чисел посредством арабских цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Для изображения (или представления) чисел в настоящее время используются в основном позиционные системы счисления.

Система счисления называется позиционной, если значение каждой цифры (ее вес) изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число. В дальнейшем для слов позиционная система счислениябудем использовать сокращение ПСС.

Десятичная, привычная для всех ПСС основана на том, что десять единиц каждого разряда объединяются в одну единицу соседнего старшего разряда. Таким образом, каждый разряд (позиция) имеют вес равный степени 10. Например, число 341.62 можно представить в виде

(1)

 

Следовательно, последовательность цифр 341.62 – это сокращенная запись выражения (1).

Десятичная запись любого числа X в виде последовательности цифр

, (2)

основана на представлении этого числа в виде многочлена (полинома):

(3)

Здесь каждый коэффициент ai может быть одним из чисел, для обозначения которых введены специальные знаки 0, 1,…, 9. Таким образом, запись (2) является перечислением всех коэффициентов многочлена (3).

В других позиционных системах счисления аналогично число К единиц (K - целое и положительное) какого-либо разряда числа, объединяемых в единицу более старшего разряда, называют основанием ПСС, а сама система счисления называется К-ичной.

Например, основанием десятичной ПСС является число 10, двоичной - число 2, троичной – число 3 и т.д. Для записи произвольного числа в К-ичной ПСС достаточно иметь Кразных цифр ai, Например, в троичной ПСС любое число можно представить посредством цифр 0, 1, 2.

В истории цивилизации использовались различные ПСС. Например, в Древнем Вавилоне использовались ПСС с основанием 60, были ПСС с основанием 12, 20 и ряд других.

Запись произвольного числа Х в K-ичной ПСС основывается на представлении этого числа в виде многочлена:

, (4)

где каждый коэффициент 0 ≤ ai < K может быть одним из базисных чисел и изображается одной цифрой.Заметим, что номер позиции (номер коэффициента) совпадает со степенью основания ПСС, а отсчёт номеров позиций ведём влево и вправо от точки, отделяющей целую и дробную части. Причём отсчёт влево начинается с нуля, а в право – с минус единицы.

Как и для десятичной ПСС, число Х, представленное в K-ичной ПСС, можно кратко записать в виде (2), путём перечисления всех коэффициентов многочлена (4) с указанием точки.

Основание ПСС при изображении числа указывают в виде нижнего индекса справа.Например в восьмеричной ПСС число будет записано так: 35.648 .

ДВОИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ

Произвольное число Х в двоичной системе представляется в виде полинома

,(5)

где каждый коэффициент ai может быть либо 0, либо 1.

Примеры изображения чисел в двоичной ПСС:

 

110 = 12 210 = 102

310 = 112 410 = 1002

510 = 1012 610 = 1102

710 = 1112 810 = 10002

910 = 10012 1010 = 10102

1110 = 10112 1210 = 11002

1310 = 11012 1410 = 11102

1510 = 11112 1610 = 100002

0.510 = 0.12 0.2510 = 0.012

 

Таблица сложения чисел в двоичной ПСС имеет вид:

0+0=0 1+0=1 (6)

0+1=1 1+1=10

 

Таблица умножения в двоичной ПСС имеет вид:

0·0=0 1·0=0 (7)

0·1=0 1·1=1

 

СЛОЖЕНИЕ

При сложении числа записываются столбиком (разряд под разрядом), затем цифры суммируются по разрядам. Если результат больше или равен основанию ПСС (2), то возникает единица переноса в соседний левый разряд, а в текущем разряде записываем остаток от деления результата на 2. В следующих примерах точка над разрядом будет означать единицу переноса из соседнего правого разряда.

 

Пример 1.Сложим числа 15 и 6 в различных системах счисления.

Десятичная:1510 + 610 Двоичная: 11112 + 1102

. . . .

15 1111

+6 + 110

21 10101

5+6 =11=10+1 1+0 = 1

1+1=2 1+1 = 2 = 2 + 0

1+1+1 = 3 =2+1

1+1 = 2 = 2+ 0

 

 

Пример 2.Сложим три числа 15, 7 и 3.

Десятичная:1510 +710+310 Двоичная: 11112 + 1112 +112

. . .. .. .

1 5 1 1 1 1

+ 7 + 1 1 1

3 1 1

2 5 1 1 0 0 1

5+7+3 =15 = 10+5 1+1+1=3=2+1

1+1=2 1+1+1+1=4=2+2+0

1+1+1+1 =4=2+2+0

1+1+1=3=2+1

 

Пример 3.Сложим числа 141.5 и 59.75.

Десятичная:141.510 + 59.7510 Двоичная: 10001101.12 + 111011.112

. . . . . . . . . .

141.5 10001101.1

+ 59.75 + 111011.11

201.25 11001001.01

1+1=2 0+5=5 1+0=1 1+1=2+0

5+7=12=10+2 1+1=2=2+0 1+1+1=3=2+1

1+9+1=11=10+1 1+1=2=2+0 1+1=2=2+0

4+5+1=10=10+0 1+1+1=3=2+1 1+1=2=2+0

           
     


ВЫЧИТАНИЕ

Вычитание выполняется в столбик по тем же правилам, как и в 10-ой ПСС, то есть по разрядам. Если вычитаемая цифра больше той из которой вычитают, то выполняют заём 1 из соседнего левого разряда, которая переходя в правый разряд превращается в K единиц (K=2 для двоичнойПСС). В следующих примерах знак единицы над разрядом будет означать единицу заёма из соседнего левого разряда.

 

Пример 1.

Вычтем 1 из числа 102: Вычтем 1 из числа 1002:

1 1 1 Заёмы

10 100

11

1 11

2-1=1 2-1=1

1-0=1

 

Пример 2. Вычтем число 59,75 из числа 201,25.

Десятеричная: 201.2510 - 59.7510 Двоичная: 11001001.012 - 111011.112

УМНОЖЕНИЕ

Выполняя умножение многозначных чисел в двоичной ПСС, можно использовать обычный алгоритм перемножения чисел в столбик, но при этом результаты перемножения и сложения однозначных чисел необходимо заимствовать из соответствующих таблиц умножения и сложения (6)-(7).

Пример1. Перемножим числа 5 и 6.

Десятичная: 510 ∙ 610 Двоичная: 1012∙1102

Пример 2.Перемножим числа 115 и 51.

Десятичная: 11510 ∙ 5110 Двоичная: 11100112∙110012

115 1110011

х 51 х 11001

115 1110011

575 1110011

5865 1110011

Заметим, что умножение в двоичной ПСС сводится к операциям сложения и сдвига. Складывается один из множителей с самим собой, но сдвинутым влево на некоторое количество позиций, зависящих от вида второго множителя.

ДЕЛЕНИЕ

Деление в любой позиционной системе счисления производится по тем же правилам, как и деление углом в десятичной системе. В двоичной системе деление выполняется особенно просто, ведь очередная цифра частного может быть только нулем или единицей.

Пример 1. Разделим число 30 на число 6.

Десятичная: 3010 ∙ 610 Двоичная: 111102:1102

       
 
   
 


30 6 11110 110

30 5 110 101

0 110

110

Ответ: 30 : 6 = 510 = 1012.

Пример 2. Разделим число 35 на число 14.

 

Ответ: 35 : 14 = 2.510 = 10.12.

 

Необходимо помнить, что конечная двоичная дробь при делении получается далеко не всегда. Поэтому, процесс деления заканчивают когда получено требуемое количество цифр после точки плюс ещё одна двоичная цифра для правильного округления. Если отбрасываемая цифра равна единице, то в младший оставляемый разряд добавляют единицу.

ВЫВОДЫ

1. Во всех ПСС с любым основанием К умножение на числа вида Km, где m – целое число, сводится просто к переносу (сдвигу) точки, отделяющей дробную часть от целой части, у множимого на m разрядов влево или вправо (в зависимости от знака m).

Например, в двоичной ПСС: умножение числа 101.112 на

410 = 22 =1002 даст результат 101112. Умножение этого же числа на 0.2510 = 2-2 = 0.012 даст результат 1.01112. Другой пример: 510 /810 = 5∙2-3 = 1012∙102-3 = 0.1012.

2. Двоичная ПСС максимально упрощает реализацию цифр и, следовательно, чисел, так как в двоичной ПСС для изображения любых чисел используется только два знака.

Это позволяет использовать элементы, которые могут находится в двух состояниях (например, высокое или низкое напряжение, есть или нет электрический импульс, и т.п.).

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ЧИСЛА ИЗ НЕКОТОРОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ В ДЕСЯТИЧНУЮ

Способ на основе представления числа в виде многочлена по степеням основания ПСС (4). Его применяют для преобразования из Р-ичной в десятичную ПСС,хотя принципиально он применим для преобразования из любой ПСС в любую ПСС. Согласно (4) и (8) можно записать:

. (9)

Для получения 10-ого изображения числа Х необходимо все цифры pi и основание ПСС число Р в(9) заменить их изображениями в новой 10-ной ПСС и выполнить арифметические операции в 10 - ной ПСС.

Пример 1. Перевести число Х = 1011012 в десятичную ПСС. Согласно изложенному правилу

X=1011012 =1∙25 + 0∙24 + 1∙23 + 1∙22 + 0∙21 +1∙20 = 32+8+4+1 =4510.

Пример 2. Перевести число 1011.1012 в десятичную ПСС. Действуя аналогично первому примеру, получим:

X=1011.1012 = 1∙23 + 0∙22 + 1∙21 + 1∙20 + 1∙2-1 + 0∙2-2 + 1∙2-3 =

= 8 + 2 + 1 + 1/2 + 1/8 = 11.625 .

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ЧИСЛА ИЗ ДЕСЯТИЧНОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ В ДРУГУЮ

Для преобразования представления любого числа из одной ПСС в другую достаточно уметь преобразовывать отдельно его целую и отдельно дробную части, а затем соединить преобразованные части. Рассмотрим отдельно эти два случая.

ПРОБРАЗОВАНИЕ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ

Известна запись целого числа Nв 10-ой ПСС. Согласно (4) запись этого числа в Q-ичной ПСС будет иметь вид:

(10)

где . Для определения q0 разделим обе части равенства (10) нацело на Q, причём в левой части произведём деление, пользуясь правилами 10-ной арифметики, и получим:

, (11)

. (12)

В (11) скобками указано взятие целой части числа, так как мы выполняем операция целочисленного деления. В (12) - записана операция получения остатка от деления Nнацело на Q. В формуле (11) q0исчезло, так как все qi < Q. Теперь, для определения q1, к N1 можно применить те же операции:

.

Таким образом, пологая , перевод чисел с использованием 10-ной арифметики осуществляется по следующим рекуррентным формулам:

. (13)

Этот процесс продолжается до тех пор, пока не будет получено . Учитывая, что поскольку все операции выполняются в 10-ной ПСС, то в этой же ПСС будут получены искомые коэффициенты , поэтому каждый из них необходимо записать одной цифрой в новой Q-ичной.

Замечание. Рекуррентная формула – это соотношение вида:

an+1= f(n, an) , n=0, 1, 2, … ,

которое позволяет вычислить все члены последовательности a1 , a2 , … , , если задано a0 и вид функционального отображения f(∙).

 

Таким образом, для вычисления представления числа в новой ПСС необходимо:

1. Выполнить деление нацело текущего частного Ni на основание новой ПСС (все числа представляются в 10-ой ПСС и операция выполняется по правилам 10-ой ПСС).

2. Вычислить текущий остаток от деления нацело (qi = Ni modQ) по правилам 10-ой ПСС.

3. Если новое частное Ni+1 не равно 0, то перейти к пункту 1.

4. Каждый остаток, записанный в 10-ой ПСС, записываем одной цифрой в новой ПСС.

5. Остатки записываем в обратном порядке, они дадут изображение числа в новой ПСС (последний остаток будет самой левой цифрой, а первый остаток – самой правой цифрой).

Пример 1. Перевести число N= 47 в двоичную ПСС. Применяя формулы (13), имеем:

47 | 1

23 | 1

11 | 1

5 | 1

2 | 0

1 | 1

0 |

Здесь слева от вертикальной черты пишем исходное число и частные, а справа указывается остаток от деления нацело на 2. Поскольку числа 0 и 1 в обеих ПСС (десятичной и двоичной) обозначаются одинаковыми цифрами, то переводить остатки в двоичную ПСС не требуется. Следовательно, записывая остатки в обратном порядке, имеем результат .

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДРОБНЫХ ЧИСЕЛ

Пусть необходимо перевести в Q-ую ПСС конечную десятичную дробь х (0< x <1). Так как х < 1, то число xв Q-ой ПСС можно представить в виде:

, (14)

где (i=1,2,…) – искомые коэффициенты Q-ого разложения числа х. Умножим обе части (14) на Q, причём в левой части равенства умножение выполним в 10-ой ПСС. Тогда:

. (15)

Учитывая, что и выделяя целую и дробную часть выражения (15), получим:

Здесь также скобками показано взятие целой частит числа, а символом D(∙) – мы обозначили операцию взятия дробной части числа. Ясно, что также будет правильной дробью, к которой можно применить аналогичную операцию. Таким образом, процесс вычисления величин можно записать в виде рекуррентных формул (полагая ):

(16)

Теперь можно сформулировать правило. Для вычисления представления конечной десятичной дроби в новой ПСС необходимо:

1. Выполнить умножение текущего результата хi (16) на основание новой ПСС (все числа представляются в 10-ой ПСС и операция выполняется по правилам 10-ой ПСС).

2. Вычислить целую q-(i +1) и дробную части хi +1 текущего результата по формулам (16).

3. Если новая дробная часть хi +1 равна 0 или получено достаточное количество цифр изображения числа, то перейти к пункту 4, иначе – к пункту 1.

4. Каждое целое q-(i +1) записываем одной цифрой в новой ПСС.

5. Полученные целые записываем в прямом порядке после точки (отделяющей дробную часть от целой), они дадут изображение дробного числа х в новой ПСС.

 

К сожалению, большинство конечных дробей в десятичной ПСС в двоичной ПСС будут бесконечными. Поэтому, необходим критерий для остановки процесса вычислений, задаваемого формулами (16). Таким критерием является достижение требуемой точности изображения числа. Её будем определять исходя из эмпирических соображений, приведённые в нижележащей таблице.

Примерное соответствие между количествами цифр после точки в разных ПСС

Количество цифр в 10-ой ПСС Количество цифр в другой ПСС

ПРИМЕРЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПРОИЗВОЛЬНОГО ЧИСЛА

Пример 1. Дано число 11001.10112 . Требуется представить его в десятичной ПСС. Согласно (4) можно записать:

11001.10112 =1∙24 + 1∙23 + 0∙22 + 0∙21 + 1∙20 +1∙2-1 + 0∙2-2 + 1∙2-3 + 1∙2-4 =

= 16 + 8 + 1+ 0.5 + 0.125 + 0.0625 = 25.6875

Пример 2.Дано число 51.39810 . Получить его двоичное представление.

Будем отдельно выполнять преобразование целой и дробной части числа по правилам изложенным в предыдущих пунктах по формулам (13) и (16). Так, чтобы получить требуемую точность двоичного изображения необходимо получить 11 цифр в дробной части, а с учётом округления – 12 цифр.

Преобразование целой части Преобразование дробной части

56 | 0 0. | 398

28 | 0 0 | 796

14 | 0 1 | 592

7 | 1 1 | 184

3 | 1 0 | 368

1 | 1 0 | 736

0 1 | 572

Целая часть = 111000 1 | 144

0 | 288

0 | 576

1 | 152

0 | 304

Дробная часть = 0.0110011001

Результат: 111000.01100110012

Пример 3.Дано десятичное число . Получить его двоичное представление.

Двоичное представление целой части легко получить из таблицы соответствия. Оно равно 112 .Представление дробной части получим из следующего:

310/810 = 3∙2-3 = 112/(102)3 = 0.0112

Результат: 11.0112 .

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МЕЖДУ ДВОИЧНОЙ И ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНОЙ СИСТЕМАМИ СЧИСЛЕНИЯ

Пусть выполняется соотношение

,(17)

где Q и P – основания ПСС, к - целое положительное число и Q < P.Тогда для перевода изображения числа х из Р-ичной ПСС в Q-ичную достаточно каждую цифру Р-ичного представления числа х заменить на k цифр Q-ичного изображения этого числа. Например, дано число а7.с316 . Требуется получить его двоичное представление. Согласно изложенному выше правилу (17), k = 4. Следовательно, каждая 16-ая цифра заменяется четырьмя двоичными разрядами (тетрадой) по таблице соответствия между двоичными и шестнадцатеричными представления чисел:

а7.с316 = 1010 0111. 1100 00112.

В случае обратного преобразования (из двоичной ПСС в шестнадцатеричную) действуют следующим образом: в исходной двоичной записи числа объединяются разряды в группы по 4 цифры (терады), двигаясь влево и вправо от точки, отделяющей целую и дробные части. При этом, в случае необходимости, добавляют левее самой старшей или правее самой младшей значащей цифры соответствующее количество нулей. После этого, каждая тетрада записывается одной цифрой в шестнадцатеричной ПСС.

Например, двоичное число 101110.112 можно записать в 16-ой ПСС в таком виде (к = 4):

0010 1110.11002 = 2Е.С16 .

Таким образом, шестнадцатеричная ПСС позволяет сжимать двоичные коды в более компактную запись. В то же время преобразования чисел из шестнадцатеричной в двоичную ПСС и обратно не требуют никаких вычислений.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

1. Что такое позиционная система счисления?

2. Что называется основанием системы счисления?

3. Какие числа называются базисными?

4. Как представить число в виде многочлена?

5. Какое соотношение между коэффициентами многочлена, представляющего число, и основанием ПСС?

6. Какая связь между обычной записью числа и записью его в виде многочлена?

7. Какой является система счисления на основе римских цифр?

8. Какое преимущество позиционная система счисления имеет перед римской?

9. Как умножить в двоичной ПСС число на 4?

10. Как разделить число в двоичной ПСС на 2?

11. Сформулируйте правило преобразования числа из шестнадцатеричной ПСС в десятичную?

12. Какими способами можно преобразовать число, представленное в шестнадцатеричной ПСС, в десятичную ПСС?

13. Какими способами можно преобразовать число, представленное в двоичной ПСС, в десятичную ПСС?

14. Как перейти к представлению отрицательного целого числа из двоичной ПСС в десятичную?

15. Как перейти к представлению отрицательного действительного числа из двоичной ПСС в десятичную?

16. Сколько двоичных цифр потребуется для представления двухзначного шестнадцатеричного числа в двоичной ПСС?

17. Сколько шестнадцатеричных цифр потребуется для представления восьмизначного двоичного числа в шестнадцатеричной ПСС?

18. Существует ли бесконечная двоичная дробь?

19. Существует ли бесконечная шестнадцатеричная дробь?

20. Если основание одной ПСС больше основания другой ПСС, то в какой из них запись числа будет короче?

Упражнения

1.Выполните операции в двоичной ПСС:

1) 11101.112 + 11001.1012 = 2) 11101.112 - 111.1012 =

3) 10101.1012 + 11101.1012 = 4) 11101.112 - 1011.11012 =

5) 111011.1012 - 11101.1112 = 6) 10011.112 - 111.1012 =

7) 111101.112 + 1111.1012 = 8) 110111.112 - 111.1112 =

9) 110011.112 + 110001.012 = 10) 10111.0112 - 111.1012 =

11) 111101.112 - 11001.1112 = 12) 11101.112 + 10101.1012 =

2.Выполните операции в двоичной ПСС с точностью до трёх цифр после точки, правильно произведя округление:

1) 1111.112 101.1012 = 2) 10101.112 101.112 =

3) 111.112 : 11.1012 = 4) 10101.112 : 101.112 =

5) 111.112 11.1112 = 6) 1101.012 1.1012 =

7) 11.0112 : 11.1012 = 8) 10101.112 : 101.112 =

9) 111.112 101.01112 = 10) 1101.012 : 1.1012 =

11) 11001.112 1.0112 = 12) 100101.012 : 1.0012 =

3.Запишите в десятичной системе следующие числа:

1) 100011.1012; 2) 11011.012; 3) 101100011.12; 4) 1010101.1112;

5) 111000.112; 6) 101111.11012; 7) 10101.101012; 8) 101101.10012;

9) 110011.10112; 10) 10110.11012; 11) 11011.10012; 12) 11110.1011.

4.Переведите десятичные числа в двоичную ПСС:

1) 245; 2) 197; 3) 178; 4) 235; 5) 129; 6) 278;

7) 232; 8) 199; 9) 123; 10) 99; 11) 222; 12) 211.

5.Переведите вещественные десятичные числа в двоичную ПСС:

1) 155.35; 2) 187.101; 3) 138.67; 4) 215.22; 5) 129.33;

6) 256.91; 7) 222.45; 8) 129.51; 9) 113.68; 10) 97.359;

11) 162.19; 12) 183.57.

6.Преобразуйте двоичные числа в шестнадцатеричную ПСС:

1) 100011.1012; 2) 11011.012; 3) 101100011.12; 4) 1010101.1112;

5) 111000.112; 6) 101111.11012; 7) 10101.101012; 8) 101101.10012;

9) 110011.10112; 10) 10110.11012; 11) 11011.10012; 12) 11110.1011.

7.Преобразуйте шестнадцатеричные числа в двоичные:

1) AC3F.0916 ; 2) BD3F.FF16 ; 3) 5CA3.1616 ; 4) DDAA.C116 ;

5) ACF.7116 ; 6) 9D34.82116 ; 7) A5C.9A16 ; 8) 34D.CF116 ;

9) 2BF.A1916 ; 10) 234.82116 ; 11) 27F.5916 ; 12) FBC.16816 .

Рекомендуемая литература

1. Павлова Л.Д. Информатика. Учебный курс: учеб. пособие / Л.Д. Павлова, О.А. Кондратова, Н.В. Балицкая; СибГИУ. – Новокузнецк, 2009. - 320 с.

2. Острейковский В.А. Информатика : учеб. для вузов / В.А. Острейковский. – М. : Высшая школа, 2005. – 511 с.

3. Информатика : Учебник / Б. В. Соболь и др. – 3-е изд. – Феникс : Ростов на Дону, 2007. – 446 с.

 

СОДЕРЖАНИЕ

Цель работы... 3

ПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ.. 3

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ.. 3

РАЗЛИЧНЫЕ ТИПЫ ПОЗИЦИОННЫХ СИСТЕМ СЧИСЛЕНИЯ.. 5

ДВОИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ.. 5

ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ.. 6

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ В РАЗЛИЧНЫХ СИСТЕМАХ СЧИСЛЕНИЯ.. 6

ВЫПОЛНЕНИЕ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ В ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЕ СЧИСЛЕНИЯ 7

СЛОЖЕНИЕ.. 7

ВЫЧИТАНИЕ.. 8

УМНОЖЕНИЕ.. 9

ДЕЛЕНИЕ.. 10

ВЫВОДЫ... 10

ПЕРЕВОД ЧИСЕЛ ИЗ ОДНОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ В ДРУГУЮ... 11

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ЧИСЛА ИЗ НЕКОТОРОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ В ДЕСЯТИЧНУЮ... 12

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ЧИСЛА ИЗ ДЕСЯТИЧНОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ В ДРУГУЮ... 12

ПРОБРАЗОВАНИЕ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ.. 12

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДРОБНЫХ ЧИСЕЛ.. 14

ПРИМЕРЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПРОИЗВОЛЬНОГО ЧИСЛА.. 17

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МЕЖДУ ДВОИЧНОЙ И ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНОЙ СИСТЕМАМИ СЧИСЛЕНИЯ.. 18

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ.. 19

упражнения.. 20

Рекомендуемая литература.. 21

Учебное издание

 

 

Составитель

 

Терехин Валерий Владимирович

ПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

Рекомендации к выполнению лабораторной работы по дисциплине «Информатика»

 

Технический редактор

Н.П. Лавренюк

 

Подписано в печать __________ 2010г. Формат бумаги 60 х 84 1/16. Бумага писчая. Печать офсетная. Усл. печ. л. ____ Уч. - изд. л. ____ Тираж 100 экз. Заказ ______

 

Сибирский государственный индустриальный университет

654007, г. Новокузнецк, ул. Кирова,42
Издательский центр СибГИУ

ПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

Рекомендации к выполнению лабораторной работы по дисциплине «Информатика»

 

Специальности:
Электромеханика (140601)

Электропривод и автоматика промышленных установок и технологических комплексов (1406040)

Электрооборудование и электрохозяйство предприятий, организаций и учреждений (140610)

Промышленная электроника (210106)

 

Новокузнецк 2010


УДК 511.1(07)

П473

 

Рецензент:

кандидат технических наук доцент Кожемяченко В.И.

Кафедра информационных технологий в металлургии
ГОУ ВПО СибГИУ
(Зав. кафедрой д.т.н., проф. В.П. Цымбал)

 

 

П473 Позиционные системы счисления: метод. указ. / сост. В.В. Терехин; СибГИУ. – Новокузнецк, 2010. – 21 с.

 

Приведены основы позиционных систем счисления, правила выполнения операций в двоичной системе счисления, а также методы преобразования из одной системы счисления в другую. На примерах показано применение изложенной теории.

 

Предназначена для студентов специальностей: Электромеханика (140601), Электропривод и автоматика промышленных установок и технологических комплексов (1406040), Электрооборудование и электрохозяйство предприятий, организаций и учреждений (140610), Промышленная электроника (210106), а также может быть рекомендована для студентов других специальностей.

 

Цель работы

Изучить на практике правила выполнения арифметических операций в двоичной системе счисления, а также методы преобразования чисел из одной системы счисления в другую.

ПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Система счисления – это принятый способ записи чисел и сопоставления этим записям реальных значений.

В любой системе счисления для представления чисел выбираются некоторые символы (цифры), отличные друг от друга. Эти символы называются базисными числами, а число таких символов называется основанием системы счисления. В современном мире наибольшее распространение получило представление чисел посредством арабских цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Для изображения (или представления) чисел в настоящее время используются в основном позиционные системы счисления.

Система счисления называется позиционной, если значение каждой цифры (ее вес) изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число. В дальнейшем для слов позиционная система счислениябудем использовать сокращение ПСС.

Десятичная, привычная для всех ПСС основана на том, что десять единиц каждого разряда объединяются в одну единицу соседнего старшего разряда. Таким образом, каждый разряд (позиция) имеют вес равный степени 10. Например, число 341.62 можно представить в виде

(1)

 

Следовательно, последовательность цифр 341.62 – это сокращенная запись выражения (1).

Десятичная запись любого числа X в виде последовательности цифр

, (2)

основана на представлении этого числа в виде многочлена (полинома):

(3)

Здесь каждый коэффициент ai может быть одним из чисел, для обозначения которых введены специальные знаки 0, 1,…, 9. Таким образом, запись (2) является перечислением всех коэффициентов многочлена (3).

В других позиционных системах счисления аналогично число К единиц (K - целое и положительное) какого-либо разряда числа, объединяемых в единицу более старшего разряда, называют основанием ПСС, а сама система счисления называется К-ичной.

Например, основанием десятичной ПСС является число 10, двоичной - число 2, троичной – число 3 и т.д. Для записи произвольного числа в К-ичной ПСС достаточно иметь Кразных цифр ai, Например, в троичной ПСС любое число можно представить посредством цифр 0, 1, 2.

В истории цивилизации использовались различные ПСС. Например, в Древнем Вавилоне использовались ПСС с основанием 60, были ПСС с основанием 12, 20 и ряд других.

Запись произвольного числа Х в K-ичной ПСС основывается на представлении этого числа в виде многочлена:

, (4)

где каждый коэффициент 0 ≤ ai < K может быть одним из базисных чисел и изображается одной цифрой.Заметим, что номер позиции (номер коэффициента) совпадает со степенью основания ПСС, а отсчёт номеров позиций ведём влево и вправо от точки, отделяющей целую и дробную части. Причём отсчёт влево начинается с нуля, а в право – с минус единицы.

Последнее изменение этой страницы: 2016-08-11

lectmania.ru. Все права принадлежат авторам данных материалов. В случае нарушения авторского права напишите нам сюда...