Категории: ДомЗдоровьеЗоологияИнформатикаИскусствоИскусствоКомпьютерыКулинарияМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОбразованиеПедагогикаПитомцыПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРазноеРелигияСоциологияСпортСтатистикаТранспортФизикаФилософияФинансыХимияХоббиЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Точки разрыва первого и второго родаЕсли предел функции в данной точке отсутствует (и функцию нельзя доопределить до непрерывной), то для числовых функций возникает два возможных варианта, связанных с существованием у числовых функций односторонних пределов:
8) Свойства Локальные
Глобальные
9) Геометрический смысл производной. Производная в точке x 0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке. Рассмотрим график функции y = f ( x ): Из рис.1 видно, что для любых двух точек A и B графика функции: xf(x0+ x)−f(x0)=tg , где - угол наклона секущей AB. 10) Рассмотрим функцию y = f(x), дифференцируемую в данной точке x. Приращение D y ее представимо в виде D y = f'(x)D x +a (D x) D x, где первое слагаемое линейно относительно D x, а второе является в точке D x = 0 бесконечно малой функцией более высокого порядка, чем D x. Если f'(x)¹ 0, то первое слагаемое представляет собой главную часть приращения D y. Эта главная часть приращения является линейной функцией аргумента D x и называется дифференциалом функции y = f(x). Если f'(x) = 0, то дифференциал функции по определению считается равным нулю. Определение 5 (дифференциал).Дифференциалом функции y = f(x) называется главная линейная относительно D x часть приращения D y, равная произведению производной на приращение независимой переменной dy = f'(x)D x. Заметим, что дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной dx = D x. Поэтому формулу для дифференциала принято записывать в следующем виде:
Выясним каков геометрический смысл дифференциала. Возьмем на графике функции y = f(x) произвольную точку M(x,y) (рис21.). Проведем касательную к кривой y = f(x) в точке M, которая образует угол f с положительным направлением оси OX, то есть f'(x) = tg f. Из прямоугольного треугольника MKN KN = MNtgf = D xtg f = f'(x)D x, то есть dy = KN. Таким образом, дифференциал функции есть приращение ординаты касательной, проведенной к графику функции y = f(x) в данной точке, когда x получает приращение D x. Отметим основные свойства дифференциала, которые аналогичны свойствам производной.
Укажем еще на одно свойство, которым обладает дифференциал, но не обладает производная. Рассмотрим функцию y = f(u), где u = f (x), то есть рассмотрим сложную функцию y = f(f(x)). Если каждая из функций f и f являются дифференцируемыми, то производная сложной функции согласно теореме (3) равна y' = f'(u)· u'. Тогда дифференциал функции dy = f'(x)dx = f'(u)u'dx = f'(u)du, так как u'dx = du. То есть
Последнее равенство означает, что формула дифференциала не изменяется, если вместо функции от x рассматривать функцию от переменной u. Это свойство дифференциала получило название инвариантности формы первого дифференциала. Замечание. Отметим, что в формуле (4) dx = D x, а в формуле (5) du яляется лишь линейной частью приращения функции u. 11) Теорема Роля (Ролля). Если функция является непрерывной на отрезке [a, b] и дифференцируемой на интервале (a, b), принимает на концах этого интервала одинаковые значения (т.е. ), то на этом интервале найдётся хотя бы одна точка x=c, в которой производная функции f(x) равна нулю, т.е. Теорема Ферма Пусть функция имеет на множестве точку экстремума , причём множество содержит некоторую -окрестность точки . Тогда либо имеет в точке производную, равную 0, то есть , либо производная в точке не существует.
Теорема Лагранжа Пусть функция дифференцируема на интервале и непрерывна в точках и . Тогда найдётся такая точка , что
Теорема Коши Пусть функции и дифференцируемы на интервале и непрерывны при и , причём при всех . Тогда в интервале найдётся такая точка , что 12) лемма Ферма Пусть функция имеет во внутренней точке области определения локальный экстремум. Пусть также существуют односторонние производные конечные или бесконечные. Тогда
В частности, если функция имеет в производную, то
|
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-06-08 lectmania.ru. Все права принадлежат авторам данных материалов. В случае нарушения авторского права напишите нам сюда... |