Аналитическое выражение первого начала термодинамики

Основные соотношения процесса истечения.

Уравнение распределения потенциальной работы:

.

Так как рассматриваются обратимые потери, то .

Так как рассматривается чистое движение, то .

Следовательно: .

Так как рассматриваются короткие каналы, то , .

Выражение для линейной скорости: .

Выражение для массовой скорости: .

Выражение для массового расхода: .

Основные исходные соотношения.

Уравнение для линейной скорости: .

Уравнение для массовой скорости: .

Уравнение для массового расхода: .

Истечение несжимаемой (капельной) жидкости.

Условия не сжимаемости жидкости: , .

Рассматриваем изохорный процесс. Потенциальную работу можно найти по следующей формуле: .

Подставив это в уравнение для линейной скорости, получим: .

Графическое представление зависимости скорости то перепада давления:

Подставив это в уравнение для массовой скорости, получим: .

Подставив это в уравнение для массового расхода, получим: .

Действительная линейная скорость отличается от теоретической, поэтому вводят коэффициент скорости , где - действительная линейная скорость, - теоретическая линейная скорость. Поэтому действительную линейную скорость можно найти по формуле: .

При течении жидкости в трубе с переменным сечением наблюдается отрыв струи от стенок и площадь сечения течения становится меньше площади сечения трубопровода. В связи с этим вводят коэффициент сжатия струи , при этом он лежит в пределах от 0.6 до 1. Если профиль канала параболический, то .

Действительный массовый расход можно найти по формуле: , где - коэффициент расхода.

Дросселирование.

Дросселирование – процесс движения паров, жидкостей и газов через внезапное сужение(местное сопротивление).

Для быстро протекающего процесса можно теплотой внешнего теплообмена пренебречь, то есть , также , .

Первое начало термодинамики: , следовательно, , или , то есть процесс изоэнтальпийный, но он реальный, то есть протекает с необратимыми потерями давления.

Явление изменения температуры газа или жидкости при адиабатном дросселировании называется эффектом Джоуля – Томсона .

Для характеристики дроссельного процесса вводится коэффициент Джоуля-Томпсона: , который можно найти по следующей формуле . Если , то . Если , то . Если , то .

Дросселирование является изоэнтальпийным процессом, при котором .

Для идеального газа , тогда , следовательно .

Аналитическое выражение первого начала термодинамики

Значения удельных внутренней энергии и энтальпии простого тела однозначно определяются двумя независимыми переменными и могут быть представлены следующим образом:

;

.

Изменения внутренней энергии и энтальпии простого тела, как функций состояния, в элементарных процессах являются полными дифференциалами и определяются соотношениями

; (1)

. (2)

Для изохорного процесса ( ) частная производная внутренней энергии по температуре равна истинной изохорной теплоемкости

, (3)

а для изобарного процесса ( ) частная производная энтальпии по температуре равна истинной изобарной теплоемкости

. (4)

В результате подстановки выражений (1) и (2) в уравнение и разделения переменных получим:

. (5)

Данное соотношение (5) называется первым началом термодинамики для простых тел в аналитической форме.

5. Теплоёмкость–количество тепла,которое надо сообщить еденице массы,количества или объема вещества,чтобы его температура повысилась на 1 градус.

Истинная теплоемкость: , где - какой-то процесс. . При изохорном процессе , следовательно, получаем изохорную теплоёмкость - . При изобарном процессе , следовательно, получаем изобарную теплоёмкость .

Объёмная теплоёмкость :

· Объемная изобарная теплоёмкость - .

· Объёмная изохорная теплоёмкость - .

Молярная теплоёмкость :

· Молярная изобарная теплоёмкость - .

· Молярная изохорная теплоёмкость - .

Средняя теплоёмкость .

-первая сред.теплоемкость-численно равна истинной теплоемкоти при среднеарифм.температуре процесса.

Ср=Сv+R – уравнение Майера.

6. Энтропия , .

Удельная энтропия , .

Энтропия, как и время, всё время возрастает. Только в изолированной системе энтропия может оставаться постоянной.

При давлении и температуре удельная энтропия .

, где - вторая средняя теплоёмкость или логарифмическая теплоёмкость.

Так как , то если энтропия растёт, то есть , то тепло подводится, то есть .

Уравнение, определяющее энтропию:

7. Политропный процесс — термодинамический процесс, во время которого удельная теплоёмкость c газа остаётся неизменной. Предельными частными явлениями политропного процесса являются изотермический процесс и адиабатный процесс. В случае идеального газа изобарный процесс и изохорный процесс также являются политропическими.

Для идеального газа уравнение политропы может быть записано в виде:

pVⁿ = const

где величина называется показателем политропы.

В зависимости от процесса можно определить значение n:

1. Изотермический процесс: n = 1, так как PV¹ = const, значит PV = const, значит T = const.

2. Изобарный процесс: n = 0, так как PV⁰ = P = const.

3. Адиабатный процесс: n = γ, это следует из уравнения Пуассона.

4. Изохорный процесс: , так как , значит P₁ / P₂ = (V₂ / V₁)ⁿ, значит V₂ / V₁ = (P₁ / P₂)^{(1 / n)}, значит, чтобы V₂ / V₁ обратились в 1, n должна быть бесконечность.

8. Работа политропного процесса определяется аналогично как при адиабатном процессе:

l = R·(T₁ – T₂) / (n – 1); (4.25)

l = R·T₁·[1 – (n ₁/ n ₂) ^n-1] /(n – 1); (4.26)

l = R·T₂·[1 – (P₂/P₁) ^{(n-1)/ n}] /(n – 1). (4.27)

Теплота процесса:

q = c_n ·(T₂ – T₁), (4.28)

где c_n = c_v ·(n - l)/(n – 1) – массовая теплоемкость политропного процесса.

9. Изохорный процесс. (V=const)

Изобарный процесс. (Р=const)

Изохорный процесс — это термодинамический процесс, который происходит при постоянном объёме. Для осуществления изохорного процесса в газе или жидкости достаточно нагревать (охлаждать) вещество в сосуде, который не изменяет своего объёма.

Из определения работы следует, что изменение работы при изохорном процессе равна:

Чтобы определить полную работу процесса проинтегрируем данное выражение. Поскольку объем неизменен, то:

,

Но такой интеграл равен нулю. Итак, при изохорном процессе газ работы не совершает:

.

Графически доказать это намного проще. С математической точки зрения, работа процесса — это площадь под графиком. Но график изохорного процесса является перпендикуляром к оси абсцисс. Таким образом, площадь под ним равна нулю.

Изменение внутренней энергии идеального газа можно найти по формуле:

,

где i — число степеней свободы, которое зависит от количества атомов в молекуле (3 для одноатомной (например, неон), 5 для двухатомной (например, кислород) и 6 для трёхатомной и более (например, молекула водяного пара)).

Из определения и формулы теплоёмкости и, формулу для внутренней энергии можно переписать в виде:

,

где — молярная теплоёмкость при постоянном объёме.

Используя первое начало термодинамики можно найти количество теплоты при изохорном процессе:

Но при изохорном процессе газ не выполняет работу. То есть, имеет место равенство:

,

то есть вся теплота, которую получает газ идёт на изменение его внутренней энергии.

Поскольку в системе при изохорном процессе происходит теплообмен с внешней средой, то происходит изменение энтропии. Из определения энтропии следует:

Выше была выведена формула для определения количества теплоты. Перепишем ее в дифференциальном виде:

,

где ν — количество вещества, — молярная теплоемкостью при постоянном объеме. Итак, микроскопическое изменение энтропии при изохорном процессе можно определить по формуле:

Или, если проинтегрировать последнее выражение, полное изменение энтропии в этом процессе:

В данном случае выносить выражение молярной теплоемкости при постоянном объеме за знак интеграла нельзя, поскольку она является функцией, которая зависит от температуры.

Изобарный процесс (др.-греч. ισος, isos — «одинаковый» + βαρος, baros — «вес») — термодинамический процесс, происходящий в системе при постоянном давлении.

Согласно закону Гей-Люссака, при изобарном процессе в идеальном газе .

Работа, совершаемая газом при расширении или сжатии газа, равна A = PΔV.

Количество теплоты, получаемое или отдаваемое газом, характеризуется изменением энтальпии: δQ = ΔI = ΔU + PΔV.

Изменение энтропии при квазистатическом изобарном процессе равно . В случае, если изобарный процесс происходит в идеальном газе, то dU = d(νC_vT + νRT) = ν(C_v + R)dT = νC_pdT, следовательно, изменение энтропии можно выразить как . Если пренебречь зависимостью C_p от температуры, то .

10. Изотермический процесс — термодинамический процесс, происходящий в физической системе при постоянной температуре.

Несколько изотерм для идеального газа нa p-V диаграмме

В идеальном газе при изотермическом процессе произведение давления на объём постоянно (закон Бойля-Мариотта). Изотермы идеального газа в координатах p,V — гиперболы, расположенные на графике тем выше, чем выше температура, при которой происходит процесс (см. рисунок).

При изотермическом процессе системе, вообще говоря, сообщается определённое количество теплоты (или она отдаёт теплоту) и совершается внешняя работа. Альтернативный процесс, при котором теплообмен с окружающей средой отсутствует (термодинамическая система находится в энергетическом равновесии — система не поглощает и не выделяет тепло), называется адиабатическим процессом.

Работа, совершенная идеальным газом в изотермическом процессе, равна , где — число частиц газа, — температура, и — объём газа в начале и конце процесса, — постоянная Больцмана .

В твёрдом теле и большинстве жидкостей изотермические процессы очень мало изменяют объём тела, если только не происходит фазовый переход.

Первый закон термодинамики для изотермического процесса в идеальном газе записывается в виде:

Адиабатический процесс — термодинамический процесс в макроскопической системе, при котором система не получает и не отдаёт тепловой энергии.

Для адиабатического процесса первое начало термодинамики в силу отсутствия теплообмена (ΔQ = 0) системы со средой имеет вид

где:

• — изменение внутренней энергии тела,
• — работа, совершаемая системой
• — теплота, полученная системой

Основное уравнение термодинамики применительно к адиабатическому процессу записывается в дифференциалах как

,

где — дифференциальное выражение для работы, a_i — внешние параметры, A_i — соответствующие им внутренние параметры. В частном случае, когда работа совершается через изменение объёма

, где p — давление.

Энтропия системы в адиабатическом процессе не меняется:

.

11. Изохорный процесс. (V=const)

Изобарный процесс. (Р=const)

Изотермический процесс. (T=const)

Изоэнтропийный процесс (Q=const)

Адиабатный процесс(ΔQ = 0)

график адиабаты (жирная линия) на диаграмме для газа.
p — давление газа;
V — объём.

13. Истечение паров, жидкостей и газов.

Процесс истечения – процесс переноса вещества из области с одним давлением в область с другим.

Действительный процесс истечения характеризуется необратимыми потерями и неравномерностью распределения скоростей в потоке. В теории истечение рассматривается, как обратимый процесс, а переход к реальным характеристикам осуществляется с помощью двух коэффициентов: коэффициента скорости - и коэффициента расхода - , причём эти коэффициенты определяются экспериментальным путём. Оба коэффициента показывают различия между теоретическими и действительными величинами.

Нас интересуют следующие величины:

1. Линейная скорость - , .

2. Массовая скорость - , .

3. Массовый расход - , .

Задача решается на базе следующих уравнений:

1. Первое начало термодинамики: .

2. Уравнение процесса:

a. Политропный процесс: .

b. Адиабатный процесс: .

3. Уравнение неразрывности в интегральном виде: .

4. Уравнение состояние.