Случайного яркостного фонового поля

Пространственная спектральная плотность корреляционной функции случайного яркостного фонового поля строится на аппроксимации экспериментально измеренных статистических характеристик фона, в частности на спектральной плотности или корреляционной функции яркости фона. Существует несколько формул для спектральной плотности -функции яркости фоновых образований в атмосфере Земли. В [24] для спектральной плотности яркости фона, приведённой к плоскости изображения, приводится следующая зависимость

где – некоторая постоянная; – параметр, характеризующий анизотропию фона; q – параметр, определяющий значений в точке ‑ параметр, обычно равный 1 или 3/2.

б) Для спектральной плотности облачных образований, имеющих спад по пространственным частотам от 40 до 60 дБ на декаду и относительно крупноразмерные неоднородности, в [24] приведена формула

где и – интервалы корреляции случайного яркостного фонового поля вдоль осей x и y соответственно; – дисперсия этого поля.

Различие между значениями и характеризует анизотропию фона. Если фон однородный и изотропный, то , тогда (4.20) принимает вид

где – радиус корреляции.

в) Для изотропного случайного яркостного фона с мелкими неоднородностями в [24] даётся следующая зависимость

Такой спектр имеет спад 40 дБ на декаду пространственных частот. Его корреляционная функция

где – модифицированная функция Ганкеля.

г) В [24] для предлагается зависимость

Формула (4.24) оказывается весьма удобной при расчётах (так как в ней переменные разделяются), хотя она менее соответствует действительным характеристикам фона, чем зависимости (4.19), (4.21) и (4.22). Соответствующая спектральная плотность корреляционной функции имеет вид

д) Подансамбли однородных облачных образований можно характеризовать следующими зависимостями для корреляционной функции и спектральной плотности яркости [24]

Вышеприведённые формулы для спектральной плотности и корреляционной функции яркости фона справедливы лишь в узком диапазоне длин волн. Излучение фона является функцией длины волны. В области мкм преобладает отражённое фоновыми объектами излучение солнца, Луны и звёзд. В области мкм преобладает собственное тепловое излучение фона. Спектральная интенсивность излучения фона может меняться в зависимости от пространственной структуры облачных образований. В свою очередь, пространственная микроструктура фона отличается в различных диапазонах длин волн (изменяется дисперсия яркости фона и увеличивается радиус корреляции с увеличением длины волны). По этим причинам пространственные и оптические спектры поля яркости фона в общем случае нельзя считать независимыми, т.е. Условия независимости могут иметь место только приближённо внутри сравнительно узкого диапазона длин волн.

Получение статистических характеристик фона с хорошим разрешением одновременно по пространственным координатам и по длинам волн затруднительно ввиду недостаточной чувствительности радиометрической аппаратуры. Ввиду этого на практике часто используют статистические характеристики яркости фона в виде средних значений в определённых диапазонах длин волн.

Следует заметить, что при преобразовании случайного сигнала от фона объективом ОЭС обычно используются не линейные, а угловые координаты, а также не линейные, а угловые пространственные частоты. В этом случае в формулах (4.20) – (4.27) необходимо заменить на , на , на , на , на , где , , выражаются в рад, а , , выражаются в 1/рад (1/мрад), где – фокусное расстояние объектива ОЭП.

4.2.3. Преобразование фонового излучения оптической системой

В случае пространственно-инвариантной оптической системы связь между квазимонохроматическим случайным однородным фоновым яркостным полем и полем облучённости с учётом (2.151) описывается свёрткой

(4.28)

где ; ; . (4.28¢ )

Проведя замену переменных и в (4.28), получим

где и = const – флуктуации и математическое ожидание однородного случайного фонового яркостного поля соответственно; .

4.2.3.1. Kr-метод расчёта

Так как во втором интеграле в (4.29)

const, =const, (4.29¢)

то случайное поле фоновой облучённости можно представить в виде суммы флуктуаций облучённости и математического ожидания =const, где

(4.29¢¢)

Корреляционная функция фоновой облучённости определяется как математическое ожидание произведения флуктуаций фоновой облучённости, взятых в двух точках плоскости изображения и , так что

Подставляя и из (4.29¢¢) в (4.30) и внося оператор математического ожидания под знак интеграла, получим

(4.31)

Выражение, стоящее под знаком математического ожидания в (4.31), представляет собой корреляционную функцию фоновой яркости идеального геометрооптического изображения. В силу однородности случайного фонового яркостного поля её можно представить в следующем виде

Подставляя в (4.31), находим окончательное выражение для корреляционной функции фоновой облучённости в плоскости изображения

(4.32)

В результате с учётом (4.29¢) случайное поле облучённости тоже оказывается однородным.

Частотный метод расчёта

Переходя к пространственной спектральной плотности корреляционной функции фоновой облучённости, найдем

После замены переменных

получим

Учитывая, что – действительная функция и

имеем

Так как для последнего интеграла в (4.33)

,

то для найдём окончательное выражение

В случае идеальной ОИзС нормированная некогерентная функция рассеяния имеет вид . Тогда для корреляционной функции и её спектральной плотности на основании (4.32) и (4.34) имеем соответственно

(4.32¢)

(4.34¢)

; .

4.2.3.3. Частотный и Kr-методы расчёта для удалённого объекта

Когда объект находится на большом расстоянии от оптической системы, плоскость изображения совпадает с задней фокальной плоскостью объектива ОЭП. В этом случае вместо декартоваых координат вводятся угловые координаты и . При этом для малых углов приближенно угловые координаты равны тангенсам этих углов, так что

где – расстояние от оптической системы до объекта, а – фокусное расстояние объектива ОЭП. В свою очередь, угловые частоты и измеряются в и выражаются через пространственные частоты и по формулам

,

.

В этом случае корреляционная функция и угловая спектральная плотность фоновой яркости зависят соответственно от угловых координат и угловых частот

,

где флуктуации яркости рассматриваются в двух точках с угловыми координатами и . Тогда корреляционная функция и угловая спектральная плотность фоновой освещенности по аналогии с (4.32) и (4.34) имеют вид

4.3. Преобразование случайного оптического сигнала МАИ

Изображение яркостного фона, сформированное оптической системой, представляет собой случайное поле освещенности, описывемое корреляционной функцией или спектральной плотностью . Рассмотрим процесс преобразования фонового потока излучения МАИ.

4.3.1. Преобразование фонового потока излучения неподвижным МАИ

4.3.1.1. Kr-метод расчёта

Если МАИ смещен относительно системы координат, связанной с изображением фона, на величину и повернут на угол (см. рис. 3.2), то корреляционная функция случайного фонового потока излучения на выходе МАИ при условии его однородности определяется как

где

Соответственно пространственная спектральная плотность корреляционной функции случайного фонового потока имеет вид

С учётом (3.2) центрированный поток описывается зависимостью

,

откуда после замены переменных получим

Подставляя (4.37) в (4.35) и внося оператор математического ожидания под знак интеграла, получим

Выражение, стоящее под знаком математического ожидания в (4.38), является корреляционной функцией однородного поля фоновой облучённости. Она может быть записана как

Подставляя в (4.38), получим

Частотный метод расчёта

Пространственная спектральная плотность фонового потока излучения на выходе МАИ определяется как

(4.40)

После замены переменных для получаем следующее выражение

(4.41)

где

если – действительная функция;

Выражая через и ОПФ оптической системы для получим следующее выражение

(4.42)

где ; .

При отсутствии поворота МАИ , так что зависимость (4.42) упрощается и принимает вид

(4.42¢)

4.3.2. Преобразование фонового потока излучения подвижным МАИ

Если МАИ движется по некоторой траектории, то

являются функциями времени и корреляционная функция также зависит от времени, так что

В общем случае, несмотря на однородность случайного поля фоновой облучённости (см. (4.32)), фоновый поток на выходе МАИ оказывается нестационарным, так как отсутствует пропорциональность между величиной временного интервала и соответствующими приращениями . Иначе говоря, корреляционная функция фонового потока на выходе МАИ при одном и том же t имеет разный вид для различных моментов времени t₁ и t₂ , так как отсутствует пропорциональность между величиной временного интервала и соответствующими приращениями .

При периодическом движении МАИ корреляционная функция фонового потока излучения является периодической, т.е.

, где

а) Нестационарная периодическая функция можно привести к стационарному виду с помощью осреднения по одному из аргументов [24], так что

Основанием такой операции является тот факт, что внутрипериодная нестационарность сигнала не является существенной, если достаточно инерционные элементы содержатся в последующих частях электронного тракта обработки сигнала. Наличие звеньев, обладающих постоянными времени, превышающими период развёртки, характерно для систем обнаружения.

б) Нестационарная апериодическая корреляционная функция может быть приведена к стационарному виду и при апериодическом движении путём использования дополнительного предельного перехода

Временная спектральная плотность -функции фонового потока излучения на выходе МАИ определяется для

а) апериодического движения в виде

б) периодического движения МАИ соответственно имеем

где

Найдём зависимости, связывающие временную и пространственную спектральные плотности -функции фонового потока излучения на выходе МАИ. Корреляционная функция может быть определена через пространственную спектральную плотность фонового потока излучения с использованием обратного преобразования Фурье

Подставляя полученное выражение для в (4.45), а (4.45) в (4.46) и заменяя через из (4.41), получим для апериодического сканирования МАИ следующую зависимость для временной спектральной плотности -функциифонового потока излучения:

Проведя аналогичные преобразования для МАИ с периодическим сканированием, получим для

Рассмотрим определение и для некоторых частных случаев движения МАИ.

4.3.3. Поступательное движение МАИ

4.3.3.1. При поступательном линейном движении МАИ с постоянной скоростью ( ) имеем

где . В данном случае корреляционная функция фонового потока излучения на выходе МАИ будет стационарной ввиду сохранения пропорциональности между временным интервалом и приращением радиуса вектора . Используя зависимость (4.48) для , получим

Далее находим временную спектральную плотность -функции фонового потока излучения на выходе МАИ. Взяв преобразование Фурье от (4.51), имеем

Интеграл в фигурных скобках в (4.52) представляет собой –функцию. В соответствии с этим (4.52) принимает следующий вид ( ):

В случае движения МАИ, например, вдоль оси (см. рис. 3.8), когда , используя фильтрующее свойство -функции, для получим следующую зависимость

где

,

4.3.3.2. При круговом движении МАИ с постоянной угловой скоростью (рис. 3.9) имеем

В данном случае корреляционная функция фонового потока излучения на выходе МАИ будет нестационарной, так как отсутствует пропорциональность между , и . Для определения -й гармоники фонового потока на выходе МАИ используем зависимость (4.50)

Выражение в фигурных скобках может быть представлено в виде произведения двух интегралов. Используя полярную систему координат, запишем

где .

Полученное выражение можно переписать в следующем виде

Сделав замену переменных , и проведя несложные преобразования, получим

где -функция Бесселя первого рода – го порядка. Подставляя в (4.54), находим

где

4.3.4. Вращательное сканирование МАИ вокруг собственной оси

При вращении МАИ вокруг своей оси с постоянной угловой скоростью (рис. 3.15) имеем Используя зависимость (4.50), для получим

Выражая , и в полярных координатах, т.е.

,

и подставляя в (4.56), запишем

Рассмотрим интегралы, входящие в фигурные скобки. После замены переменной выражение в фигурных скобках принимает следующий вид

Ранее, в п. 3.3, для второго интеграла было получено следующее выражение

Соответственно для первого интеграла в фигурных скобках получим

где определяется зависимостью (3.16). Подставляя полученные выражения в (4.56), имеем

где

Если фон является однородным и изотропным, а функция рассеяния оптической системы обладает осевой симметрией, то (4.58) принимает вид

Если спектральная плотность яркости фона задана в плоскости изображения оптической системы, то величину , входящую в зависимости (4.55), (4.58) и , берут равной единице.

4.4. Преобразование случайного оптического сигнала