Главная Случайная страница


Категории:

ДомЗдоровьеЗоологияИнформатикаИскусствоИскусствоКомпьютерыКулинарияМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОбразованиеПедагогикаПитомцыПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРазноеРелигияСоциологияСпортСтатистикаТранспортФизикаФилософияФинансыХимияХоббиЭкологияЭкономикаЭлектроника






Приёмником излучения и электронным трактом

4.4.1. Преобразование случайного сигнала ПИ

Если рассматривать ПИ в виде линейной инвариантной во времени системы и использовать корреляционный или частотный методы расчёта преобразования стационарных случайных сигналов линейными системами, то можно найти связь между сигналами на входе и выходе ПИ. В данном случае не учитывается неравномерность чувствительности по чувствительной площадке ПИ.

При определении сигнала от фона на выходе ПИ удобнее находить спектральную плотность -функции фонового потока излучения, так как нахождение корреляционной функции фонового потока представляет значительные трудности.

1) В случае линейного движения МАИ вдоль оси временная спектральная плотность -функции потока излучения от случайного фона на выходе МАИ определяется формулой (4.53), а в случае 2) кругового или 3) вращательного движения МАИ -я гармоника потока излучения от случайного фона определяется зависимостями (4.55) и (4.58).

1. Апериодическое движение. Спектральная плотность -функции (спектр мощности сигнала) от квазимонохроматического фона на выходе ПИ при апериодическом движении МАИ по аналогии с (3.83).

Квазимонохроматический поток

1.1)

Полихроматический поток

1.2) Следует заметить, что на практике статистические характеристики яркостных полей фона задаются задаются в виде средних значений в определённых диапазонах длин волн и тогда спектр мощности сигнала от полихроматического фона на выходе ПИ при апериодическом движении МАИ

1.2)

где .

Корреляционная функция сигнала от фона на выходе ПИ определяется через обратное преобразование Фурье от (4.59) или ( ), т.е.

2. Круговое сканирование и вращение.

При круговом сканировании или при вращении МАИ вокруг собственного центра гармонические составляющие мощности сигнала на выходе ПИ от квазимонохроматического или полихроматического фонового потока составляют

квазимонохроматический

2.1)

полихроматический

2.2)

4.4.2. Преобразование случайного сигнала ЭТ

Рассмотрим преобразование случайного стационарного сигнала линейной ИВЭС, на вход которой поступает случайный сигнал, заданный в виде спектральной плотности . Тогда спектр мощности случайного сигнала на выходе линейной ИВЭС в соответствии с зависимостью определяется как

Если происходит непрерывная модуляция случайного сигнала на входе системы, то гармонические составляющие мощности сигнала на входе и выходе связаны соотношением

Дисперсия случайного сигнала на выходе линейной ИВЭС определяется как

Преобразование случайных сигналов нелинейными безынерционными элементами изложено в п. 4.1.

При обработке сигналов в электронном тракте ОиЛзЭС часто проводятся операции дифференцирования и интегрирования сигнала. Рассмотрим дифференцирование и интегрирование стационарного случайного процесса.

Дифференцирование случайного процесса. Задан стационарный случайный процесс, обладающий эргодическим свойством, в виде спектра мощности или корреляционной функции . Требуется определить аналогичные характеристики для производной . Будем считать, что спектр мощности при убывает быстрее, чем , так что

Это условие выполняется для большинства практических задач, так как спектральная плотность формируется физической цепью, передаточная функция которой при убывает быстрее, чем , а квадрат модуля уменьшается соответственно быстрее, чем . Считая условие (4.63) выполнимым, рассмотрим преобразование случайного сигнала идеальной дифференцирующей цепью, ПФ которой , где - постоянная величина, имеющая размерность времени. Спектральная плотность случайного сигнала на выходе дифференцирующей цепи

Взяв обратное преобразование Фурье от (4.64), найдём корреляционную функцию на выходе идеальной дифференцирующей цепи

Дисперсия на выходе дифференцирующей цепи

Пример 4.2. Задана спектральная плотность случайного процесса на входе дифференцирующего звена

или

Необходимо найти , и на выходе дифференцирующей цепи. Определим корреляционную функцию

Дисперсия

Спектральная плотность и корреляционная функция случайного процесса на выходе дифференцирующего звена соответственно равны

Умножив числитель и знаменатель на и учитывая, что , приводим предыдущее выражение к виду

где При в (4.67) получается неопределённость типа . Применяя правило Лопиталя, получим Тогда

Графики нормированных функций , и , показаны на рис. 4.5, а, б; параметр . При этом видно, что дифференцирование приводит к ослаблению нижних частот исходного случайного процесса. Относительное возрастание высоких частот приводит к более чётко выраженной осцилляции корреляционной функции.

Рассмотрим прохождение случайного процесса через реальное дифференцирующее звено в виде RC-цепи. Квадрат модуля передаточной функции реального дифференцирующего звена

где

Спектр мощности на выходе дифференцирующего звена

График функции для показан на рис. 4.5, а штриховой линией. Корреляционная функция

Дисперсия

Результаты вычисления нормированной корреляционной функции приведены на рис. 4.5, б штриховой линией (для ). При цепь осуществляет дифференцирование случайного процесса, близкое к точному дифференцированию.

Интегрирование случайного процесса. Рассмотрим вначале прохождение стационарного случайного процесса через интегрирующую -цепь. Пусть на бесконечно большом промежутке времени, начиная от , на вход цепи поступает случайный процесс со спектральной плотностью и корреляционной функцией . Считая процесс на выходе установившимся, можно найти и . Квадрат модуля интегрирующей -цепи где . Спектральная плотность и корреляционная функция на выходе интегрирующей цепи соответственно будут

 

Рассмотрим два частных случая: и . В первом случае спектр мощности не содержит слагаемого с -функцией. Если положить, что случайный процесс на входе интегрирующей цепи представляет собой белый шум, т.е. , то корреляционная функция

а дисперсия

Во втором случае (при ) спектральная плотность , где – спектральная плотность белого шума; - математическое ожидание случайного процесса на входе.

Корреляционная функция и дисперсия на выходе интегрирующей цепи соответственно будут

Из приведённых соотношений видно, что в установившемся режиме процесс на выходе реальной интегрирующей цепи является стационарным, как и на входе.

При строгом интегрировании, которому соответствует нереализуемая передаточная функция , должно соблюдаться условие интегрируемости входного случайного процесса, которое принимает вид

Если условие дифференцируемости случайной функции (4.63) накладывало требование достаточно быстрого убывания при , то при интегрировании аналогичное требование относится к при .

Интегрирование стационарного случайного процесса с приводит к нестационарному процессу на выходе с неограниченно возрастающей дисперсией. Если , то математическое ожидание процесса на выходе также неограниченно возрастает.

Идеальное интегрирующее устройство можно рассматривать как фильтр с бесконечно малой полосой пропускания. Процесс установления в таком фильтре длится бесконечно долго. Поэтому статистические характеристики интеграла случайного процесса существенно зависят от пределов интегрирования, т.е. от длительности интегрирования.

Воздействие узкополосного шума на амплитудный детектор. Амплитудный детектор, состоящий из диода и фильтра нижних частот (см. рис. 3.30), представляет собой сочетание НБЭ с инерционной линейной цепью.

Рассмотрим две самостоятельные части указанного устройства: нелинейный элемент и фильтр нижних частот. Изложенные ранее методы позволяют, в принципе, найти плотность вероятности и корреляционную функцию шума сначала на выходе нелинейного элемента (диода), а затем и на выходе фильтра. В общем случае эти исследования требуют весьма громоздких вычислений. Задачу можно упростить, если учесть принцип работы реальных устройств.

Рассмотрим вначале «линейное» детектирование, т.е. детектирование высокочастотного колебания с достаточно большими амплитудами. Под такими колебаниями подразумеваются гауссовский шум, сформированный избирательными цепями на входе детектора. Как и при детектировании детерминированных амплитудно-модулированных, можно считать, что напряжение на выходе линейного детектора воспроизводит огибающую амплитуду высокочастотного колебания, в данном случае огибающую шума. Поэтому при линейном детектировании нет необходимости рассматривать отдельно статистические характеристики тока диода и напряжения на выходе -цепи. Напряжение , развиваемое на этой цепи, можно приравнять огибающей шума на входе детектора (т.е. считать, что коэффициент передачи детектора равен единице). При таком подходе статистические характеристики шума на выходе полностью совпадают с приведёнными в приложении 6 характеристиками огибающей . В соответствии с изложенным можно считать, что напряжение шума на выходе линейного детектора обладает рэлеевским распределением плотности вероятности

По формулам (П6.51), (П ) находим:

Математическое ожидание шумового напряжения

Средний квадрат напряжения

Отсюда получим дисперсию на выходе линейного детектора

Таким образом, основные параметры шума на выходе – постоянная составляющая и дисперсия - выражаются через дисперсию высокочастотного шума, действующего на входе детектора. Корреляционную функцию и спектр мощности выходного шума легко вычислить по формулам (П6.55) и (П6.56).

Пример 4.3. В качестве примера рассмотрим воздействие на линейный детектор шума , спектральная плотность которого определяется зависимостью

А корреляционная функция

С учётом (4.80)

и в соответствии с (П6.56)

Слагаемое с –функцией соответствует постоянной составляющей напряжения на выходе детектора.

График изображён на рис. 4.6, б. Ширина этого спектра в больше ширины спектра на входе детектора (рис. 4.6, а). Линейный амплитудный детектор воспроизводит огибающую узкополосного колебания независимо от особенностей её структуры. Полученный результат свидетельствует о том, что огибающая каждой из реализаций рассматриваемого шума (на входе детектора) обладает спектром более широким, чем частотная полоса самой реализации.

Рассмотрим воздействие гауссовского шума на квадратичный детектор. Напряжение на выходе детектора с учётом отфильтровывания высокочастотной составляющей шума по аналогии с (3.128)

где -коэффициент, учитывающий параметр вольт-амперной характеристики диода и сопротивление нагрузки на выходе детектора.

Применяя формулу (4.8), в которой под следует понимать плотность вероятности огибающей , находим закон распределения шумового напряжения на выходе квадратичного детектора

Таким образом, при воздействии на квадратичный детектор с фильтром нижних частот узкополосного гауссовского процесса шум на выходе всего устройства имеет экспоненциальное распределение. Найдём математическое ожидание выходного напряжения шума

Средний квадрат напряжения

Дисперсия шума на выходе

Для полного описания свойств шума на выходе квадратичного детектора остаётся вычислить его корреляционную функцию и спектр мощности.

При получим

Графики функций и по форме совпадают с графиками, показанными на рис. 4.6. Они отличаются только масшабом по оси ординат из-за различия при постоянных коэффициентах вместо перед квадратными скобками в (4.87) и единица вместо перед вторым слагаемым).

Совместное воздействие гармонического сигнала и нормального шума на амплитудный детектор.

При аддитивном воздействии сигнала и узкополосного шума суммарное колебание описывается формулой

Огибающая и фаза определяются выражениями:

При анализе воздействия колебания на амплитудный детектор статистические характеристики фазы можно не учитывать. Основное значение имеет плотность вероятности огибающей , определяемая по формуле [5]:

где – бесселева функция комплексного аргумента (модифицированная).

Определяемую формулой (4.91) функцию называют обобщённой функцией Релея. Графики функции для нескольких значений приведены на рис. 4.7. При (отсутствие сигнала) (4.91) переходит в (П6.50). В другом крайнем случае, когда амплитуда сигнала очень велика по сравнению с , кривая близка к гауссовой кривой с дисперсией и средним значением, равным .

Рассмотрим вначале линейное детектирование. Считаем, что напряжение на выходе детектора совпадает с огибающей амплитуд высокочастотного напряжения на входе. Тогда, основываясь на формуле (4.91), находим постоянную составляющую напряжения на выходе детектора

Средний квадрат напряжения

После вычисления интегралов [5] получим следующие выражения:

где

Из последнего выражения вытекает равенство

Ранее было показано, что в отсутствие сигнала постоянная составляющая шума на выходе линейного детектора равна

Приращение постоянной составляющей , где определяется зависимостью (4.92) и есть полезный сигнал.

Следовательно, отношение мощности сигнала к мощности помехи на выходе линейного детектора

Рассмотрим предельные случаи (слабый сигнал) и (сильный сигнал).

Для слабого сигнала имеем

Выражение (4.92) можно упростить:

При этом приращение постоянной составляющей

а дисперсия в соответствии с (4.93)

Таким образом,

где – постоянный коэффициент, близкий к единице.

Выражение (4.95) показывает, что в АД имеет место подавление слабого сигнала сильной помехой. Например, при

Рассмотренный вопрос имеет важное значение для проблемы обнаружения сигналов на фоне сильной помехи.

Для сильного сигнала имеем функции и можно определять выражениями

Зависимость (4.93) при указанных приближениях приводится к виду

При постоянная составляющая выходного напряжения почти совпадает с .

При вычислении дисперсии необходимо учитывать слагаемое в выражении

Таким образом,

и

ОСП на выходе

Проведём аналогичное рассмотрение для квадратичного детектирования. Заменяя в формуле (4.82) на , получим напряжение на выходе квадратичного детектора

Усредняя это выражение по времени и учитывая, что и (как и среднее значение ), получаем постоянную составляющую напряжения на выходе квадратичного детектора

Слагаемое определяет постоянную составляющую, обусловленную помехой в отсутствие сигналов. Слагаемое можно рассматривать как полезный сигнал на выходе детектора.

Возводя (4.97) в квадрат, получим

Слагаемое с и при осреднении обращается в ноль. Поэтому средняя мощность на выходе

Вычитая из этого выражения , находим дисперсию шума на выходе квадратичного детектора

При (4.100) переходит в (4.68). Найдём отношение сигнал–помеха (ОСП) на выходе детектора (по мощности)

– это отношение сигнал-помеха (по мощности) на входе детектора. Таким образом, при значении

а при больших значениях , т.е. при

На основании (4.101) можно сделать следующее заключение: при слабом (относительно помехи) сигнале в квадратичном детекторе имеет место подавление полезного сигнала, а при сильном сигнале ОСП пропорционально отношению сигнала к помехе на входе.

Сравнение (4.102) и (4.95) показывает, что при слабом сигнале и сильной помехе линейный и квадратичный детекторы ведут себя одинаково: ОСП на выходе пропорционально квадрату ОСП на входе.

При ОСП на выходе квадратичного детектора в 4 раза (по мощности) меньше, чем у линейного [зависимости (4.102) и (4.103)].

Проведённый анализ относится к гармоническому (немодулированному) сигналу. Наличие амплитудной модуляции сигнала, которую можно рассматривать как медленное изменение постоянной составляющей напряжения на выходе детектора, не оказывает существенного влияния на сравнительную оценку при квадратичном и линейном детектировании.

Следует отметить, что полученные результаты не зависят от соотношения между несущей частотой сигнала и мгновенной частотой помехи . Из этого следует, что наложение паразитной частотной или фазовой модуляции на сигнал (при постоянной амплитуде) не оказывает влияния на ОСП на выходе детектора.

Совместное воздействие гармонического сигнала и нормального шума на частотный детектор.

На рис. 4.8 показана структурная схема частотного детектора. Сигнал на входе амплитудного ограничителя представляет собой частотно – модулированное колебание

а помеха – гауссовский процесс со спектром мощности , равномерным в полосе пропускания фильтра промежуточной частоты.

Полосу пропускания этого фильтра можно приравнять удвоенной девиации частоты, т.е. . Фильтр нижних частот на выходе детектора должен обладать полосой пропускания от до , где – наивысшая частота модуляции. Помеху, действующую на входе ограничителя, запишем, как и ранее, в виде

.

При анализе совместного действия и на частотный детектор рассмотрим раздельно два режима:

при отсутствии полезной ЧМ, когда на входе детектора действует чисто гармоническое колебание и шум ;

при наличии ЧМ; при этом будем считать, что помеха на выходе детектора остаётся той же, что и в первом случае.

В отсутствие модуляции суммарное колебание на входе АО

где и определяют по формулам (4.89) и (4.90).

Обозначив порог АО , получим следующее выражение для колебания на выходе ограничителя, настроенного на частоту :

Напряжение на выходе частотного детектора, пропорциональное производной фазы , в отсутствие полезной модуляции является помехой. Таким образом,

где – крутизна характеристики частотного детектора. Интенсивность и структура помехи на выходе частотного детектора полностью определяется статистическими характеристиками производной фазы .

Общее выражение для фазы при любых соотношениях между и имеет вид (4.90). Однако в реальных условиях приёма ЧМ колебаний обеспечивается значительное превышение сигнала над помехой. Обычно , где – средняя мощность помехи на входе детектора. Поэтому (4.90) для фазы можно упростить:

Статистические характеристики случайной функции совпадают с характеристиками, полученными в приложении П6 для квадратурных слагаемых узкополосного процесса. Там показано, что функция обладает нормальным законом распределения и спектром . Таким образом,

При дифференцировании гауссовского случайного процесса распределение остаётся нормальным. Следовательно, , т.е. мгновенное значение частотного отклонения, также обладает нормальным распределением.

При помеха на выходе ЧД является нормальным процессом. Определим спектр мощности процесса . Для этого достаточно умножить на . Таким образом,

а спектр помехи на выходе частотного фильтра в соответствии с (4.107)

Корреляционная функция помехи на выходе (с полосой пропускания )

дисперсия, т.е. средняя мощность помехи,

Рассмотрим режим работы ЧД, при котором напряжение на выходе ЧД пропорционально девиации частоты. При тональной ЧМ

Мощность сигнала на выходе ЧД (без учёта влияния помехи) , а мощность помехи (без учёта модуляции) определяется выражением (4.113). Следовательно, ОСП на выходе ЧД

Пример 4.4. Пусть помеха на входе ЧД является белым шумом со спектральной плотностью Тогда интеграл в (4.115) равен , а выражение (4.115) можно привести к виду

Величина – мощность сигнала на входе, , т.е. мощность шума в двух полосах (одна в области , вторая в области ). Таким образом, окончательно

Увеличивая отношение , т.е. индекс угловой модуляции, можно получить выигрыш в отношении сигнал/помеха по сравнению с системами с АМ.

Следует подчеркнуть, что преимущества широкополосной частотной модуляции сохраняются, пока помеха на входе ЧД слабее сигнала и пока обеспечивается полное ограничение амплитуды колебания на входе детектора.

 

Последнее изменение этой страницы: 2016-08-11

lectmania.ru. Все права принадлежат авторам данных материалов. В случае нарушения авторского права напишите нам сюда...