Критерии, лежащие в основе принятия решения системой

(критерии обнаружения основаны на выборе )

Для решения задачи обнаружения в ОиЛзЭС на стадии ее проектирования должно быть заложено определенное правило, следуя которому обеспечивается выдача решений («Да») или («Нет»). Этим правилом, называемым правилом выбора решения, должно предписываться, в каком направлении следует проводить анализ полученной реализации и при каком результате этого анализа ОиЛзЭС должна выдать одно из двух альтернативных решений.

Очевидно, что чем лучше заложенное в систему правило, тем качественнее будут результаты её работы. Это говорит о целесообразности при разработке правила и оценке его эффективности базироваться на рассмотренных выше вероятностных характеристиках обнаружения. Иными словами, использовать величины или средний риск для построения правила выбора решения.

5.3.1. Критерий максимума апостериорной условной вероятности,

или критерий Котельникова (Кр 1°)

Рассмотрим правило выбора решения, основанное на критерии Кр 1° максимума апостериорной условной вероятности или . Суть метода состоит в том, что из двух решений или всегда следует выбирать такое, которому соответствует наибольшая апостериорная условная вероятность наличия полезного сигнала (c) или вероятность отсутствия сигнала (0) в реализации s(t). Иначе говоря, при следует принимать решение , а при - решение . На основании формулы (5.6) это правило можно записать в виде

,

.

Откуда с учётом (5.8)

(5.16)

Таким образом, процедура принятия решения, базирующаяся на критерииКр 1° максимума апостериорной вероятности, состоит в извлечении из полученной реализации s(t) отношения правдоподобия и его сравнении с пороговым , которое для данного критерия численно равно отношению априорных вероятностей

(для Кр 1° Котельникова) (5.16´)

При принимается решение («Да»), при – решение («Нет»).

Какой же практический результат позволяет получить правило, базирующееся на этом критерии? Теория статистических решений дает такой ответ: система обнаружения, в которой реализовано правило выбора решения по критерию максимума апостериорной вероятности, позволяет минимизировать число ошибочных решений. Правило не устанавливает какого-либо соотношения между числами ложных тревог и пропусков сигнала. Однако их сумма в достаточно длинной последовательности решений, т.е. вероятность ошибки любого рода, минимальна по сравнению с системой, использующей правило, базирующееся на любом другом критерии. Поэтому применять рассматриваемое правило следует в том случае, когда ложная тревога и пропуск сигнала нежелательны в одинаковой степени и эффективность системы обнаружения может быть оценена их общим числом на каком-то отрезке времени.

Критерий Кр 1° максимума апостериорной вероятностичасто называют критерием Котельникова, применившего его для решения задачи синтеза оптимальных приемных устройств, или критерием идеального наблюдателя, беспристрастно фиксирующего ошибку любого рода.

5.3.2. Критерий минимального среднего риска (Критерий Кр 2° Байеса)

Для выработки правила решения вместо вероятности можно использовать и другую, более универсальную характеристику - средний риск . Если критерием Кр 2° эффективности правила поставить условие минимизации среднего риска, то его запись имеет вид [21-23]

(5.17)

Этот критерий называют критерием минимума среднего риска, или критерием Байеса, а (5.17) определяет в рамках Кр 2° Байеса.

Процедура принятия решения, предписываемая полученным правилом (5.17), ничем не отличается от предыдущей: нужно также определить отношение правдоподобия и сравнить его с пороговым значением . Однако пороговое отношение правдоподобия здесь уже другое и зависит не только от отношения априорных вероятностей, но и от значения коэффициентов («платы» за ошибку или выигрыш).

В частности, если и , то пороговые отношения правдоподобия в правилах (5.17) и (5.16) одинаковы и равны . Иначе говоря, в этом случае средний риск равен безусловной вероятности появления ошибки любого рода [см. (5.11) и (5.15)]. Следовательно, правило выбора решения по критерию Кр 1° максимума апостериорной вероятности является частным случаем правила выбора решения по критерию Кр 2° минимума среднего риска.

5.3.3. Критерий максимума правдоподобия (Кр 3°)

В тех случаях, когда значения априорных вероятностей или и коэффициентов потерь с достаточной степенью достоверности не могут быть установлены, необходимо применять правила выбора решения, базирующиеся на других вероятностных критериях. Одним из таких критериев является критерийКр 3° максимума правдоподобия. Вытекающий из это критерия принцип принятия решения формулируется следующим образом: наиболее правдоподобно то событие В, для которого значение функции правдоподобия максимально. Как уже указывалось (см. п. 5.1), в задаче обнаружения функция правдоподобия имеет два значения: и . Поэтому при > следует принимать решение («Да»), в противоположном случае – решение («Нет»). С учетом (5.8) правило выбора решения можно записать в виде

. (5.18)

Таким образом, и здесь процедура принятия решения остается прежней. Изменяется лишь пороговое отношение правдоподобия , которое в рамках Кр 3°максимального правдоподобия с учётом (5.18) равно единице.

Нетрудно видеть, что правило выбора решения (5.18) является частным случаем правила (5.16), получаемого при . Реализация правила (5.18) также позволяет минимизировать общее число ошибочных решений, если условия работы системы обнаружения таковы, что априорные вероятности нахождения и отсутствия объекта в его поле зрения одинаковы.

Не следует думать, что Кр 3° [правило (5.18)] лучше, чем Кр 1° [правило (5.16)]. Верно лишь то, что использование Кр 3° на практике представляется более реальным, так как в этом случае не требуется знания априорных вероятностей и . Однако за отсутствие любых сведений о состоянии исследуемого пространства событий всегда приходится «расплачиваться». Так происходит и в данном случае. Не зная действительных значений и , вполне обоснованно (хотя бы и в порядке гарантии) при разработке ОиЛзЭС взять такие значения вероятностей, которые соответствовали бы наихудшим условиям ее работы в режиме обнаружения. Такими значениями как раз и являются величины . Поэтому минимум числа ошибочных решений , полученный с помощью правила (5.18), является наибольшим из всех других минимумов, которые можно получить по правилу (5.16) при , так что Кр 3° часто называют минимаксным критерием.

5.3.4. Критерий Неймана-Пирсона

Рассмотрим ещё один критерий, используемый для построения правила выбора решения - критерий Неймана-Пирсона. Правило, базирующееся на этом критерии Кр 4°, обеспечивает получение максимальной условной вероятности правильного обнаружения при заданной условной вероятности ложной тревоги . На языке математической статистики, правило выбора решения по критерию Неймана-Пирсона при заданном уровне значимости даёт наибольшую мощность решения по сравнению со всеми другими правилами.

Запись правила аналогична (5.16) - (5.18), т.е. в ней также присутствуют неравенства вида и . Однако для нахождения порогового отношения правдоподобия не требуется знать ни априорных вероятностей и , ни коэффициентов . Пороговое отношение полностью определяется значениями и (см. например (5.33) с. 294 – Книга), которые должна обеспечить система обнаружения. В этом заключается преимущество критерия Неймана-Пирсона.

На практике целесообразно использовать критерийКр 4°Неймана-Пирсона в несколько ином виде, когда вместо условной вероятности ложной тревоги используют:

1) среднее число ложных тревог в единицу времени или средний временной интервал между ложными тревогами, причём

; (5.19)

2) вероятность возникновения ложной тревоги на заданном отрезке рабочего времени системы обнаружения.

Правило выбора решения, использующее критерийКр 4°Неймана-Пирсона, позволяет максимизировать условную вероятность правильного обнаружения при заданных значениях , или и .