Корреляционный метод обнаружения

5.5.0. Постановка задачи

Предположим, что принятие решения не по одному значению какой-то величины, а, например, по выборке, состоящей из N значений реализации, позволит более полно использовать эффект, чем значительней объем выборки N. Все сведения о форме полезного сигнала будут использованы в том случае, когда выборочные значения реализации будут браться через предельно малые интервалы времени, т.е. когда объем выборки будет стремиться к бесконечности.

5.5.1. Выборка конечного объёма

Рассмотрим вначале процесс принятия решения по конечному числу N выборочных значений, взятых через одинаковые интервалы Δt. Для определения отношения правдоподобия выборки объема N может быть использована формула, аналогичная (5.22), где в числителе и знаменателе будут уже не одномерные плотности вероятности, а N-мерные [21-23], т.е.

. (5.22')

При помехе типа «белого» шума интервал корреляции помехи равен нулю, а поэтому при любом значении Δt N-мерная плотность вероятности помехи равна произведению N одинаковых одномерных плотностей распределения. Поэтому

. (5.46)

Поскольку белый шум является нормальным процессом с нулевым средним, имеем

,

или

.

Раскрывая круглые скобки под знаком суммы, получим

. (5.47)

5.5.1.1. Первый алгоритм обнаружения

Формула (5.47) показывает, что для нахождения логарифма отношения правдоподобия для системы N независимых отсчетов в реализации s(t) необходимо подвергнуть эту реализацию следующей обработке. В моменты времени взять N дискретных отсчетов реализации (i = 1, 2, …, N). Каждое значение перемножить на мгновенное значение полезного сигнала, соответствующее тому же моменту времени , т.е. получить произведения , , …, . Просуммировать полученные произведения, вычесть из суммы величину и полученный результат разделить на *. Определив таким образом величину , сравнить её с порогом обнаружения, т.е. с , найденной с использованием выбранного критерия качества. При выдать решение «Да», а при - решение «Нет».

5.5.1.2. Второй алгоритм обнаружения

Можно поступить иначе, что практически более удобно. Для этого запишем (5.47) в виде

. (5.48)

Процедуру принятия решения в соответствии с выражением (5.48) можно представить следующим образом. Необходимо найти величину и сравнить её с порогом обнаружения , который определяется из (5.48) при , так что

. (5.48')

При выдаётся решение «Да», при - решение «Нет».

5.5.2. Выборка бесконечного объёма

Теперь рассмотрим процесс принятия решения, когда объём выборки, взятой на интервале (0, ), стремится к бесконечности. Для этого умножим левую и правую часть (5.48) на Δt и найдём пределы при Δt → 0. При этом суммы превращаются в интегралы, а величина ( Δt ) [см. П.6.36] при предельном переходе трансформируется в спектральную плотность белого шума, которая постоянна. Так как строится половинный интеграл , то в П.6.36 вместо используется половинная величина Δt. В результате получаем

. (5.49)

Если полезный сигнал находится на интервале 0 , то интеграл в правой части (5.49) равен энергии этого сигнала. Следовательно,

. (5.50)

Процедура принятия решения, предписываемая (5.50), состоит в перемножении реализации s(t) на сигнал с(t), интегрировании полученного произведения в пределах от нуля до и сравнении результата, получаемого в момент времени , с порогом обнаружения с помощью (5.49). Для этого предварительно введем в рассмотрение корреляционную функцию

при для . (5.51)

Тогда . (5.51')

Обозначим

, (*)

где - значение случайной величины при условии, что -реализация случайной функции . Тогда правило принятия решения примет вид

Функциональная схема ОиЛзЭС обнаружения, реализующей указанную процедуру принятия решения, приведена на рис. 5.11.

При условии, что если полезный сигнал полностью находится в пределах интервала 0 , то вне этого интервала произведение [с(t)s(t)] равно нулю, так что

,

т.е. интеграл является мерой взаимной корреляции между реализацией s(t) и полезным сигналом с(t). Поэтому его называют корреляционным интегралом, а описанную выше процедуру обнаружения – корреляционным методом.