Главная Случайная страница


Категории:

ДомЗдоровьеЗоологияИнформатикаИскусствоИскусствоКомпьютерыКулинарияМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОбразованиеПедагогикаПитомцыПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРазноеРелигияСоциологияСпортСтатистикаТранспортФизикаФилософияФинансыХимияХоббиЭкологияЭкономикаЭлектроника






Функция потерь и эффективность правил оценки

5.8.1. Функция потерь
как характеристика погрешностей измеренного параметра

Из-за действия случайных помех любая оценка сигнального параметра производится неточно. В зависимости от используемого правила оценки одни и те же погрешности будут возникать с различной вероятностью, так что используемое правило оценки во многом характеризует точность работы измерительной ОиЛзЭС.

В основе организации системы оценок качества различных правил оценки лежит так называемая функция потерь , которая каждому сочетанию истинного значения параметра и его оценки (измеренного значения) приписывает определенный неотрицательный коэффициент потерь. Функция потерь , зависящая от абсолютной погрешности , в определённом смысле является аналогом функции рассеяния в ОИзС. Последняя определяет потерю разрешения.

Выбор вида этой функции зависит от специфики конкретной задачи измерения. К сожалению, общего формального правила выбора функции потерь не существует, и его осуществляют так же, как выбор коэффициентов потерь и выигрышей при решении задачи обнаружения (см. п. 5.2), опираясь на накопленный опыт, здравый смысл и интуицию. Наиболее часто используются следующие функции потерь.

1. -равномерная (квазиравномерная, простая) функция потерь (рис. 5.17а)

, (5.73)

где .

Выбор простой функции потерь означает, что все погрешности, вне зависимости от их величины и знака, одинаково нежелательны и каждой из них приписывается одинаковый «вес», характеризуемый коэффициентом потерь .

2. Функция потерь, линейная по модулю (рис. 5.17б)

. (5.74)

В этом случае нежелательность погрешности (её «вес») увеличивается линейно с ростом её абсолютного значения.

3. Квадратичная функция потерь (рис. 5.17в), при которой «вес» погрешности увеличивается пропорционально квадрату её величины, так что

. (5.75)

4. Прямоугольная функция потерь (рис. 5.17г)

. (5.76)

В этом случае все погрешности, абсолютные значения которых меньше , неопасны. Погрешности, абсолютные значения которых больше , одинаково нежелательны, вне зависимости от их величины.

Все рассмотренные функции потерь являются чётными функциями погрешности аргумента . Это означает, что одинаковые отклонения от истинного значения параметра как в большую, так и в меньшую сторону имеют одинаковую «стоимость». Однако существуют задачи, где необходимо по-разному оценивать знак погрешности. В этих случаях функции потерь будут асимметричными.

5.8.2. Байесовская оценка измеряемого параметра

Поскольку сам измеряемый параметр и его оценка являются случайными величинами, то случайными будут и потери . Поэтому для характеристики качества измерения (качества алгоритма оценки) применяется некоторый усредненный статистический параметр. Наиболее часто в качестве такого параметра принимают среднее значение функции потерьсредний риск [сравни с (5.12) и (5.13)].

Условный средний риск получается усреднением функции потерь по всем возможным реализациям , так что

, (5.77)

где – область пространства реализаций.

Как следует из (5.77) зависит от значения измеряемого параметра в реализации . Поэтому оценивать качество правила по условному среднему риску неудобно, так как при разных значениях наиболее предпочтительными могут оказаться разные правила. Отсюда целесообразно усреднение условного среднего риска по всем возможным значениям , т.е. получение безусловного среднего риска [сравни с (5.14)]

при этом [см. (*)].

Поскольку плотность вероятности есть неотрицательная функция, то минимизация безусловного среднего риска сводится к минимизации внутреннего интеграла, т.е. к минимизации функции

, (5.79)

которая называется апостериорным условным средним риском, соответствующим условию получения реализации . Если функция дифференцируема по , то оценка параметра по критерию минимума безусловного среднего риска (байесовская оценка ) является корнем уравнения

, (5.80)

при котором функция имеет глобальный минимум (нижнюю грань).

Из (5.78) и (5.79) следует, что

, (3)

т.е. безусловный средний риск можно рассматривать как усреднение апостериорного условного среднего риска по всем реализациям s. Минимальное значение безусловного среднего риска , называемое байесовским риском и соответствующее байесовской оценке измеряемого параметра , равно с учетом (3)

. (4)

5.8.3. Эффективность байесовской оценки

Теперь рассмотрим, какова же практическая эффективность (ценность) байесовской оценки при различных функциях потерь.

5.8.3.1. - равномерная функция потерь

Подставляя (5.73) в (5.79), получим апостериорный условный риск при -равномерной (квазиравномерной) функции потерь

(5)

Учитывая (5.69'), а также фильтрующее свойство -функции, найдём

. (6)

Из (6) следует, что при

получим, что байесовская оценка при -равномерной функции потерь соответствует максимуму функции . Иначе говоря, апостериорная плотность вероятности имеет резко выраженную верхнюю грань (рис. 5.16б). В результате из (6) при выбранном постоянном значении апостериорный условный средний риск тем меньше, чем больше .

Другими словами, байесовское правило оценки квазиравномерной функции потерь есть не что иное, как правило оценки по критерию максимума апостериорной вероятности (Кр. 1), максимизирующее вероятность правильного измерения неизвестного параметра. При использовании этого правила оценки вероятность появления ошибки любой величины минимальна по сравнению с использованием любого другого правила.

Если априорное распределение измеряемого параметра при определённой плотности вероятности неизвестно и нет данных, обеспечивающих возможность его приближенного описания, то необходимо задаться наименее предпочтительным распределением, т.е. прийти к Кр. 3 максимума правдоподобия(минимаксному критерию). Известно [22,23,26], что при решении задачи оценки параметров сигналов наименее предпочтительным распределением является равномерное распределение. Как следует из (5.72), при отношение правдоподобия с точностью до постоянного коэффициента совпадает с априорной плотностью вероятности , так что

. (5.72¢)

При этом правило оценки по критерию максимума апостериорной вероятности (Кр. 1) переходит в правило оценки по критерию максимума правдоподобия (Кр. 3). Оценка по критерию Кр. 3 является минимаксной, т.е. минимум числа ошибочных решений является наибольшим из всех других минимумов, и оптимальна (обеспечивает минимальную вероятность погрешности) только при равномерном априорном распределении вероятности измеряемого параметра. При других распределениях вероятности погрешности увеличиваются. В этом случае минимаксная оценка определяет верхнюю границу вероятности её возникновения (верхнюю границу байесовского риска).

Правило оценки по критерию максимума правдоподобия (Кр. 3) широко применяется на практике, особенно при проведении точных измерений, когда ОСП достаточно велико. В этом случае [22,23] апостериорное распределение , а следовательно, и функция имеют четко выраженный единственный максимум и по форме значительно «острее» априорного распределения (рис. 5.18). Тогда, если априорное распределение и неравномерно, на небольшом участке в окрестности оценки можно с достаточной степенью приближения считать его равномерным. И вместо правила оценки по критерию максимума апостериорной вероятности (Кр. 1) применять более простое для практической реализации правило максимума правдоподобия (Кр. 3).

Последнее изменение этой страницы: 2016-08-11

lectmania.ru. Все права принадлежат авторам данных материалов. В случае нарушения авторского права напишите нам сюда...