Главная Случайная страница


Категории:

ДомЗдоровьеЗоологияИнформатикаИскусствоИскусствоКомпьютерыКулинарияМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОбразованиеПедагогикаПитомцыПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРазноеРелигияСоциологияСпортСтатистикаТранспортФизикаФилософияФинансыХимияХоббиЭкологияЭкономикаЭлектроника






Операции статистического усреднения.

Допустим х – случайная величина. Она характеризуется статистическими параметрами – статистическими моментами.

Х1 Х2 Х3  
Р1 Р2 Р3  

Первый момент: математическое ожидание или среднее значение (х или <x> или Е(х))

х = х1р1 + х2р2 + …

Второй момент: х2 = х1 2р1 + х2 2р2 + …

Второй центральный момент: (х - х)2 – дисперсия. Это средний квадрат случайных колебаний вокруг ожидаемого значения.

Стандартное отклонение или мера риска: Ổ = √ (х – х)

Для двух случайных величин рассматривают смешенные вторые моменты:

<x*y> = х111 + х222 + … - второй смешенный момент.

Второй смешенный центрированный момент: Bxy = <(x – x)*(y – y)> - ковариация.

Другие представления дисперсии и ковариации:

Ổх2 = (х – х)2 = х2 – 2х*х + х = х2 – х2 – дисперсия

Bxy = <(x – x)*(y – y)> = <x*y –x*y – x*y + x*y > = <x*y> - x*y

<xy> = Bxy + x*y

Ковариация легко поддается расчету, однако не является наглядной величиной. Более наглядной считается корреляция.

Рху = Bxy / (Ổx*Ổy)

Корреляция P может быть в пределах от -1 до 1. Корреляция считается мерой статистической связи. Когда от 0 до 1, то статистическая связь положительная. Когда от -1 до 0, то преимущественно величины изменяются в противоположных направлениях.

Тема. Понятие и измерение риска.

Рискованные события предполагает возможность получение в будущем непредвиденного результата. Рискованные события может быть связанно с неопределенностью и риском. Неопределенность – невозможность предсказать будущий результат, вследствие неполноты и недостаточности информации. Риск – невозможность предсказать точный результат вследствие возможности его отклонения от ожидаемого значения. Величина риска может описываться на основе 2х параметров:

1) Вероятность возможного отклонения.

2) Величина возможного отклонения.

Существует 2 вида рисков:

1) Риск потерь. Связанны с возможностью получения в будущем отрицательного результата в связи с наступлением критических событий. Предполагают наличие небольшого количества возможных исходов (риск потери ликвидности – неспособность расплатиться по краткосрочным обязательствам в случае непредвиденных обстоятельств, риск неплатежеспособности – угроза несовпадения во времени положительных и отрицательных денежных потоков, риск банкротства – неспособность погасить обязательства перед кредиторами в течении длительного периода).

2) Риск изменчивости. Предполагают отклонение фактического результата от ожидаемого в большую или меньшую сторону на произвольную величину (изменение стоимости и доходности акции, валютные курсы, объемы продаж и так далее).

В качестве показателей, характеризующих величину рисков изменчивости, используется дисперсия и стандартное отклонение.

х2 = (xi – x)2 = x2 – x2 - дисперсия

Ổx2 = 1/ (N-1) * Σ(xi – x)2

Ổx2 = Σ Pi (xi – x)2

Ổx = √Ổx2

Чем выше дисперсия и стандартное отклонение, тем риск рассматриваемой величины больше. При этом, дисперсия измеряется в единицах квадрата рассматриваемой величины, а стандартное отклонение в тех же единицах. Величина стандартного отклонения характеризует разброс возможных результатов вокруг среднего значения. Если величина подчиняется нормальному закону распределения она находиться в определенных интервалах с определенной вероятностью.

X +- Ổx , p = 68%

X +- 2Ổx , p = 95%

X +- 3Ổx , p = 99.5%

 

 

 


Для характеристики рисков абсолютных величин может применяться коэффициент вариации, показывающий, на сколько процентов может измениться рассматриваемая величина относительно средней.

Vx = Ổx / x – коэффициент вариации.

Риски потерь измеряются на основе вероятности наступления критических событий и различных коэффициентов, характеризующих данную вероятность. Для конкретных видов рисков потерь измеряющие показатели будут конкретны.

Тема. Основа теории полезности

Полезность – микроэкономическая категория, которая характеризует субъективную оценку привлекательности определенного блага или события с точки зрения конкретного индивидуума. Полезность позволяет описать выбор с точки зрения конкретного потребителя. Полезность конкретного товара или набора потребления можно выразить с помощью индивидуальной функции полезности, которая характеризует зависимость полезности от количества потребляемого товара.

U - полезность

 

Количество товара

Поведение рациональных потребителей подчиняется закону убывающей предельной полезности, которая предполагает, что каждая следующая единица потребляемого товара приносит меньшую полезность, чем предыдущая. Предельная полезность (MU) – дополнительная полезность, которая приносит потребителю единицы потребляемого товара.

MU = ∆U / ∆количество товара = U’

Микроэкономический выбор между различными вариантами потребления описывается с помощью кривой безразличия. Кривая безразличия – кривая соединяющая различные варианты потребления приносящую одинаковую полезность

дрова Рв = 5, Рд = 2, W = 10

 

 

2 Валенки

Выбор потребителя осуществляется при совмещении кривых безразличия с бюджетным ограничением, учитывающим доступные средства и цены товаров. При фиксированном уровне цен набор потребляемых товаров, при определенном уровне дохода, будет конкретным и будет приносить конкретную полезность. На основе этого можно построить функцию полезности доходов.

 


богатство

 

 


При этом для рационального потребителя будет справедливо убывающая предельная полезность дохода. Вследствие этого закона потери воспринимаются потребителем чувствительней, чем соответствующее приобретен.

Гипотеза ожидаемой полезности

В соответствии с данной гипотезой в условиях риска индивидуумы действуют таким образом, чтобы максимизировать ожидаемую полезность своего потребления. При этом ожидаемая полезность – средневзвешенная по вероятности полезность различных возможных исходов.

EU = ΣPi*Ui*Wi

Примерчик. Инвестор может получить рискованный доход 1000 рублей с вероятностью 1/2 или гарантированный доход 300 рублей. Какой вариант для него более предпочтительный.

Решение:

Вариант 1: W = 300

U(300)

Вариант 2: W = 1000 p = ½

W = 0 p = ½

U = ½ U(1000)+1/2U(0) = 1/2U(1000)

Инвестор выберет второй вариант.

Убывающая предельная полезность дохода предполагает, что рациональные потребители являются избегающими риска. Это означает, что безрисковый доход они ценят выше, чем рискованный с таким же ожидаемым значением.

Примерчик. Имеется возможность получить доход 900 рублей с вероятностью 1/3 или безрисковый доход 300 рублей.

Решение.

U(300) > 1/3U(900)

 

 

U

 

W

300 900

В случае если инвестор безразличен к риску рискованные и безрисковые доходы он будет рассматривать как одинаково привлекательные, а азартный инвестор (расположенный к риску) будет предпочитать рискованный доход.

 

Безрисковый рисковый

В реальной экономической ситуации большинство инвесторов являются избегающими риска.

Модельные функции полезности.

Модельные функции математически описывают поведение рациональных инвесторов избегающих риска. Они используются для упрощения реальных экономических задач.

Квадратическая функция полезности.

U(W) = C2 – (W – C)2

C – индивидуальный параметр избегания риска конкретным инвестором.

 

 

 


U’(W) = 2(C – W)

 

 


2C

 

 


C

Логарифмическая функция.

U(W) = ln(1+W/C)

U’(W) = 1/ (1+W/C) * 1/C

 

 


Экспоненциальная функция

U(W) = 1 – e –W/C

U’(W) = 1/C * e –W/C

Степенная функция.

U(W) = Wα , 0<α>1

U’(W) = α*W α-1

Задачи!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Гипотеза ожидаемой полезности Неймона-Моргенштерн.

Ф.Найт в 1921 году. Самостоятельно прочитать про него: Найт «риск и неопределенность».

u = p1u1 + p2u2

Основы теории оценивания активов.

Тобин, конец 1950

Шарп,1964. CAPM – первая версия теории оценивания

Блэк, Шоуз1973

Как охватить финансовые активы картиной полезности? Основная функция финансовых активов перераспределять потребления между периодами времени.

 


t t+1

 

Поэтому, чтоб охватить картину финансовой полезности нужно рассматривать многопериодную функцию полезности.

U (Ct, Ct+1,…)

Принимается следующая модель полезности

U (Ct, Ct+1,…) = u(Ct) + Ɣ< u(Ct+1)> (1) - базованя модель полезности

Ɣ = 1 означало бы, что потребителю все равно иметь ли сейчас или в следующем периоде.

Ɣ= ½, означает, что благо сейчас приносит вдвое больше удволитворения чем в следующем периоде.

Ɣ = 0 означает, что потребление потом не имеет значение.

Все что, связано с будущим периодом, связано с риском.

Pt – на момент t

Ct – за определенный момент.

Вывод формулы справедливой цены актива.

В каком случае индивид будет относиться к покупке актива безразлично? Предположим в момент t мы покупаем немного акций. pt – цена одной акции в начальный момент. Пусть xt+1 – момент дохода продажи акций в момент t/ Тогда Uновое = u(Ct - pt∆₰) + Ɣ <u(Ct+1 + xt+1∆₰)>

Справедливая цена будет такой при которой производная U’(∆₰) = 0.

u’(ct - pt∆₰) = (-pt) + Ɣ <u’(Ct+1 + xt+1∆₰)*xt+1>

поскольку мы ищем производную вблизи состояния равновесия то можно пренебречь pt∆₰ и xt+1∆₰.

u’(ct)(-pt) = Ɣ <u’(Ct+1)*xt+1>

pt = ₰ * (<u’(Ct+1)*xt+1> / u’(ct)) (2)– формула цены.

Экономический смысл формулы цены: зависимость от ₰. Если ₰ уменьшается, цены активов падают.

Чем больше ожидаемая будущая продажная цена акции (xt+1) тем текущая цена выше.

Чем богаче рассчитывает быть потребитель в будущем тем ниже текущая цена акций. активы оцениваются на фоне предполагаемого будущего потребления индивида.

pt = ₰ * (<u’(Ct+1)*xt+1> / u’(ct)) = ₰{u(Ct+1*xt+1 + Bux}/ u’(Ct)

К чему приводит статистическая связь будущего благосостояния и будущей цены активов. Предположим Ct+1 и xt+1 изменяются связанно с положительной корреляцией. Такое обычно характерно для большинства акций. U’(Ct+1) xt+1. Для таких активов корреляция будет отрицательна. Для большинства ценных бумаг корреляция будет отрицательна. Эта статистическая связь будет снижать цену. Это снижение цены объясняются тем, что люди избегают риска. Активы, работающие противоположным образом – это например страховки.

Переход к описанию в терминах ожидаемой доходности. Для дальнейшего введем обозначение mt+1 = ₰U’(Ct+1)/ U’(Ct) – субъективный фактор дисконтирования. Тогда формулу цены можно переписать так:

pt = <mt+1*xt+1> ( 2’)

Хотя формула 2 и 2’ имеет прозрачный экономический смысл, проверить их на опыте не представляется возможным, поскольку xt+1 никогда не известно. Поэтому, от описания в терминах цены переходят к описанию в терминах ожидаемой доходности, т.к. появляется возможность проверить модель на опыте. Пусть Rt+1 = xt+1/Pt = 1+rt+1 – валовая доходность. pt = <xt+1>/<Rt+1>. <Rt+1> - дисконт, с которым оценивается актив по отношению к своей предполагающей будущей цене.

Например. Если в будущем мы хотим получить 1000 с доходностью 20% , то мы должны вложить 100/1,2 = 883. Смысл формул: не прирост, а дисконт.

Прежде всего разделим формулу 2’ на текущую цену. Получим:

1 = <mt+1*Rt+1>. Воспользуемся формулой . Получается: 1 = В*(mt+1*Rt+1) + <mt+1>*<Rt+1>. Рассмотрим оценивание безрискового актива. Получим: pt = <mt+1>*xt+1 Разделим на Pt. Получим: 1 = <mt+1>*xt+1/Pt Получим:

<mt+1> = 1/Rt. (3)

Подставим: 1 = В*(mt+1*Rt+1) + 1/Rt*<Rt+1> Далее помножим все на Rf. Получим: Rf = Rf*В*(mt+1*Rt+1) + <Rt+1> Получаем:

<Rf > = Rf – Rf*B(mt+1*Rt+1) (4)

Экономический смысл: дисконт, с которым оценивается актив получается суммой 2х слагаемых: безрисковой доходности (Rf) и премией за риск (Rf*B(mt+1*Rt+1)). Эта премия за риск определяется ковариацией будущей доходности актива с фактором дисконтирования. Поэтому, для большинства обычных ценных бумаг ковариация будет отрицательна и премия за риск оказывается положительной (задача 2.1).

Дисконтирование – изменение ценности денег со временем в отсутствии риска, обязано во первых тому, что люди нетерпеливы, Ɣ<1 и во вторых – в среднем люди ожидают роста благосостояния. Изменение ценности денег во времени иногда называют эффектом процентной ставки. В его основе лежит экономический рост. И все это без учета риска.

Последнее изменение этой страницы: 2016-08-11

lectmania.ru. Все права принадлежат авторам данных материалов. В случае нарушения авторского права напишите нам сюда...