Взаимосвязь теории оценивания с теорией инвестиционного портфеля.

Требование неизменности полезности при перестройки портфеля (при покупке малого количества актива) означает, что во первых его цена является справедливой – инвестор относиться к покупке безразлично (это условие использовалось при выводе формулы 2), и во вторых, что портфель инвестора является оптимальным т.е. доли каждого актива по стоимости максимизирует полезности.

Дальнейшее развитие теории оценивания.

Будущее потребление c_t+1 никогда не известно. Поэтому необходимо как то иначе определять фактор дисконтирования. Если связать его с каким либо макроэкономическим фактором то получаются факторные модели.

m_t+1 = ι (F1,F2)

наиболее продвинут подход, который увязывает фактор дисконтирования с портфелем инвестора. Основные допущения портфельного приближения:

wo – богатство инвестора в начале.

Сбережения инвестируются в портфель ценных бумаг и из них осуществляется потребление следующего периода.

c_t+1 = S_t*R^p_t+1

При прошествии двух периодов инвестор умирает. Таким образом, наш подход становиться чисто двухпериодным.

Второе допущение: трудовой доход несущественен.

Инвестиции в безрисковый актив позволяет инвестору ограничить риск будущего потребления. В связи с этим, чем выше неопределенность будущего потребления, тем больше инвестор готов заплатить за возможность защиты от риска и тем ниже будет требуемая доходность от безриского актива.

ВЫВОД: премия за риск актива зависит не от риска этого актива, а от ковариации доходности данного актива с будущим потреблением инвестора. Чем сильнее взаимосвязаны будущие богатства и стоимости актива, тем большую премию к доходности инвестор стремится получать, т.к. инвестиции в данный актив увеличивают неопределенность будущего потребления. В случае низкой корреляции требуемая премия за риск будет низкой. Если инвестиции в актив снижают риск будущего потребления инвестор готов получить отрицательную премию к доходности.

Примерчик.

Разброс сократился.

Тема. Выбор оптимального инвестиционного портфеля.

При осуществлении капиталовложений на рынке инвестор сталкивается с необходимостью определять такое сочетание активов в портфеле, который наиболее соответствует его целям. Теория выбора портфеля была разработана Марковицом. Данный подход аналогичен выбору между различными наборами потребления и предполагает сопоставление предпочтений инвестора с ограничениями налагаемыми рынком. Теория марковица основана на следующих предположениях:

1) В первоначальный момент инвестор обладает конкретной суммой направляемой на инвестирование.

2) Инвестор вкладывает капитал в портфель на конкретный заранее определенный период времени

3) Инвестор не имеет других источников дохода кроме доходов, получаемых от портфеля.

w_T = w0(1+r_p)

w0

Будущее богатство инвестора представляет собой совокупность первоначального богатства и дохода полученного от портфеля. При этом в связи с неопределенностью доходности портфеля будущее богатство является случайной величиной.

4) Период инвестирования предполагается небольшим, в связи с этим доходность, получаемая от портфеля близка к 0.

5) Активы, составляющие портфель, предполагаются неограниченно делимыми, за счет чего инвестор может достигать любой структуры портфеля.

Выбор портфеля осуществляется в рамках 3х последовательных этапов:

1) Определение цели инвестора на основе построения кривых безразличия

2) Определение доступных объектов инвестирования на основе построения достижимого и эффективного множества портфеля

3) Выбор оптимальной структуры инвестиций на основе совмещения кривых безразличия и эффективного множества

Построение кривых безразличия

Построение кривых безразличия позволяют инвестору сформулировать свои цели связанные с построением портфеля. Выбирая инвестиционный портфель инвестор стремиться выбрать такой набор активов, который обеспечивает ему максимально ожидаемую полезность из доступных вариантов.

<u(w_T)> стремиться к максимуму

w_T = w_o(1+r_p)

<u(w₀+w₀*r_p)> стремиться к максимуму

Поскольку предполагается, что срок инвестирования небольшой и получаемая за этот период доходность близка к 0 можно разложить данную функцию в степенной ряд вблизи доходности равной 0.

r_p = 0

f(x) = f(a) + f’(a)(x-a) + f’’(a)/2! * (x-a)² + …

<u(w0+w0*rp)> = <u(w0+w0*0)> + <u’(w0+w0*0)*(rp-0)*w0> + <u’’(w0+w0*0)w0² * (rp-0)²/ 2!> = max

<u(w_T)> = u(w₀) + u’(w₀)*w₀*<r_p>*u’’(w₀)*w₀²/2 * <r_p²> = max

<u(w_T)> = u’(w₀)*w₀*(r_p + u’’(w₀)*w₀/2u’(w0) *< rp²>) = max

<u(w_T)> = r_p + u’’(w₀)*w₀/2u’(w0) *< rp²> = max

Отношение к риску конкретного инвестора измеряется с помощью 2х показателей:

1) Коэффициент относительного избегания риска показывает на какое увеличение риска согласен инвестор при увеличении доходности на 1 %

φ = - u’’(w₀)*w₀ / u’(w₀)

2) Коэффициент толерантности к риску показывает какое увеличение доходности требует инвестор при увеличении риска на 1%.

ι = 2/φ = - 2u’’(w0)*w0 / u’(w0)

Вторая производная функции полезности всегда будет отрицательной величиной в следствии закона убывающей предельной полезности, поэтому перед выражениями стоит знак минус, чтобы коэффициенты были положительными.

rp = φ/ι *<r_p²> = max

rp = <r_p>/ι = max

Ổ_rp² = <r_p²> - r_p²

<r_p²> = Ổ_rp² + r_p²

rp = Ổ_rp² + r_p²/ι = max

поскольку доходность портфеля близка к 0 квадрат этой величины будет ещё меньше и при оптимизации структуры портфеля ей можно пренебречь.

<u> = r_p - Ổ_rp²/ι = max - функция полезности марковеца.

В теория выбора портфеля Марковеца выбор структуры инвестиций происходит на основе максимизации данного выражения. При этом инвестор стремиться увеличивать ожидаемую доходность портфеля (поскольку это увеличивает ожидаемую полезность) и стремиться минимизировать риск (поскольку он снижает ожидаемую полезность).

Все портфели лежащие на одной кривой безразличия приносит инвестору одинаковый уровень ожидаемой полезности и являются для него одинаково ценными несмотря на то, что имеют разные инвестиционные характеристики.

<u(A)> = <u(B)>

r_p^a = 20%

Ổ_rp^a = 25%

r_p^B = 30%

Ổ_rp^B = 33.5%

<u(A)> = 0.2 – 0.252/0.5 = 0.075

<u(B)> = 0.3 – 0.3352/0.5 = 0.075

Конкретный инвестор имеющий конкретное отношение к риску оценивает 2 портфеля лежащие на одной кривой безразличия одинаково и не может из них выбрать. Портфели лежащие на разных кривых безразличия имеют разный уровень привлекательности для инвестора. Чем на более высокой кривой лежит портфель, тем выше его полезность.

Формируя инвестиционный портфель инвестор стремится выбрать из доступных вариантов такой, который лежит на самой высокой кривой безразличия и обеспечивает наибольшую ожидаемую полезность. Кривые безразличия конкретного инвестора зависят от его толерантности к риску. Чем сильнее инвестор избегает риска, тем больше будет наклон кривых безразличия. Избегающий риска инвестор за небольшое увеличение риска требует большое увеличение доходности для того, чтобы портфель приносил такую же полезность, а агрессивный инвестор за небольшое увеличение доходности готов согласиться на большое увеличение риска. Отношение инвестора к риску измеряется коэффициентом толерантности и относительным избеганием риска.

<u> = 0

0 = ∆rp - Ổp² / ι

Толерантность характеризует, какое увеличение дисперсии инвестор согласен принимать при увеличении доходности на 1%.

Коэффициент относительного избегания риска показывает на сколько должна увеличиться доходность портфеля при изменении дисперсии на 1. Толерантность и избегание риска зависят от первоначального богатства инвестора и от характеристик его функций полезности.