Влияние безрисковых инвестиций на выбор оптимального портфеля

При наличие возможности безрисковых инвестиций и заимствований структура оптимального портфеля инвестора будет изменяться за счет изменения достижимого и эффективного множеств портфелей доступных инвестору. При наличие безрисковых инвестиций инвестор имеет возможность составить дополнительные портфели сочетая любой из доступных рискованных портфелей с безрисковыми вложениями.

Достижимое множество представляет собой множество отрезков исходящих из безрисковой доходности и заканчивающихся рискованными портфелями. Эффективное множество представляет собой совокупность отрезка касательно к множеству рискованных портфелей и части дуги, лежащей выше точки касания.

Т

Для инвесторов избегающих риска оптимальный портфель в данном случае представляет собой сочетание безрисковых инвестиций с рискованным портфелем. Для инвесторов толерантных к риску оптимальный портфель по прежнему состоит только из рискованных активов. Возможность безрисковых заимствований так же изменяет структуру эффективного множества доступного инвесторам. При наличие безрисковых заимствований инвестор может сформировать дополнительные портфели занимая капитал по безрисковой ставке и вкладывая в любой из рискованных портфелей. Достижимое множество в данном случае представляет собой совокупность лучей, исходящих из безрисковой доходности.

Эффективное множество портфелей представляет собой, в данном случае, луч исходящий из безрисковой доходности, являющийся касательным к множеству рискованных портфелей. Оптимальный портфель толерантных к риску инвесторов представляет собой заимствование по безрисковой ставке и вложение собственного и заемного капитала в рискованный портфель. В данном случае единственная точка эффективного множества включающая в себя только рискованные активы – точка касания Т. Все остальные портфели эффективного множества представляют собой сочетание касательного портфеля с безрисковыми инвестициями или заимствованиями. С учетом обозначенных выше предположений оптимальный портфель различного рода инвесторов включает в себя одно и то же сочетание рискованных активов, представляющий собой касательный портфель. Отношение к риску конкретного инвестора определяет, в каких пропорциях он сочетает касательный портфель с безрисковым активом. Двухфондовая теорема разделения предполагает, что относительные доли рискованных активов в оптимальном портфеле не зависят от индивидуального отношения инвестора к риску.

Тема. Модель оценивания финансовых активов (CAPM) содержание уравнения линии рынка капиталов (CML).

Модель CAPM основана на теории выбора оптимального портфеля с учетом безрисковых инвестиций и заимствований. Она включает в себя 2 уравнения:

1) Уравнение линий капитала (CML)

2) Уравнение линий рынка ценных бумаг (SML)

Модель САРМ предполагает, что в дополнение к теории выбора оптимального портфеля вводиться дополнительное условие, представляющее собой гипотезу однородных ожиданий. Она предполагает, что в представлении всех инвесторов на рынке параметры ожидаемой доходности риска и корреляции всех активов одинаковы. С учетом гипотезы однородных ожиданий все инвесторы рассматривают одно и то же множество рискованных портфелей и в соответствии с этим одно и то же лучевое множество. С учетом гипотезы однородных ожиданий оптимальные портфели всех инвесторов лежат на одной и той же прямой и представляют собой сочетание безриского актива с одной и той же совокупностью рискованных инвестиций. Если какой либо из активов не входит в касательный портфель, в него не будет вкладывать капитал не один инвестор, действующий на рынке, поскольку в действительности все активы привлекательные для инвесторов делается вывод, что касательный портфель должен включать все доступные активы. Модель САРМ предполагает, что касательный портфель, лежащий на лучевом эффективном множестве представляет собой рыночный портфель.

М

Оптимальный портфель любого инвестора представляет собой сочетание рыночного портфеля с безрисковыми инвестициями или заимствованиями. Доля каждого рискованного актива в портфеле каждого инвестора соответствует доли капитализации каждого рискованного актива в общей рыночной капитализации.

Примерчик. На рынке присутствуют 3 инвестора имеющие разные объемы капитала и разные отношения к риску (определяет соотношение рискованных и безрисковых инвестиций в портфеле)

w₀^A = 10000

xf = 0.5

xm = 0.5

w₀^B = 3000

xf = 0.1

xm = 0.9

w₀^C = 3000

xf = -0.4

xm = 1.4

Все 3 инвестора вкладывают часть капитала в один и тот же рискованный портфель. Рискованный портфель состоит из 2х активов в следующих долях:

x^M₁ = 0.4

x^M₂ = 0.6

решение.

w_0M^A = 0.5*10000 = 5000

w₀₁^A = 2000; w₀₂^A = 3000

w_0M^B = 0.9*3000 = 2700

w₀₁^B = 1080; w₀₂^B = 1620

w_0M^C = 1.4*8000 = 11200

w₀₁^C = 4480; w₀₂^C = 6720

w₀₁ = 7560

w₀₂ = 11340

w_M = 18900

Сумма инвестиций в каждый из активов представляет собой капитализацию этих активов на рынке, сумма инвестиций в оба рискованных актива представляет собой капитализацию рынка.

x₂ = 11340/18900 = 0.6

Рыночный портфель представляет собой сочетание всех активов, присутствующих на рынке в долях соответствующих их доли в рыночной капитализации. Рыночный портфель в идеале должен включать в себя абсолютно все инвестиционные возможности присутствующие на рынке, в том числе реальные инвестиции, иностранные ценные бумаги, валюту, драгоценные металлы и так далее. На практике в качестве характеристик рыночного портфеля рассматривают диверсифицированный рыночный индекс. Рыночный индекс представляет собой среднюю величину курсов акций рассчитанных по определенной методике. Изменение рыночного индекса характеризует общую доходность рынка акций и риск рынка акций в целом. В рыночном портфеле так же как в фондовом индексе активы учитываются пропорционально их доли в капитализации рынка. При этом индекс включает в себя не все доступные для инвестирования активы, поэтому индекс может рассматриваться только в качестве суррогата рыночного портфеля.

Содержание уравнения CML

Линейное эффективное множество, рассматриваемое всеми инвесторами и представляющее собой сочетание рыночного портфеля с безрисковыми активами называется линией рынка капитала (CML).

CML

Характеристики любого эффективного портфеля лежащего на CML могут быть описаны в виде уравнения прямых.

y = a + b*x

a = y(0)

a = r_f

b = y₁-y₀ / x₁-x₀

b = r_M – rf / Ổm

rp = r_f + (r_M – rf / Ổm)*Ổp - уравнение CML

Уравнение CML описывает ожидаемую доходность любого портфеля являющегося эффективным. Все другие портфели, которые можно сформировать на рынке будут лежать ниже CML. Уравнение CML показывает, что ожидаемая доходность эффективного портфеля зависит от риска этого портфеля прямой линейной зависимостью. Ожидаемая доходность портфеля, являющегося эффективным зависит от следующих параметров:

1) Безрисковая доходность (чем больше доходность безрисковых инвестиций, тем больше результат он хочет получать от рискованных вложений)

2) Среднерыночная премия за единицу риска (r_M – rf / Ổm ). Чем большая доходность требуется на рынке в целом тем больше требуемая доходность конкретного портфеля.

3) Риск конкретного эффективного портфеля.

u’(c_t+1) = u’(st + st*r^p_t+1) = u’(st) + u’’(st)* st * r^p_t+1 = u’(st)*(1+u’’(st)/u’(st) * st * r^p_t+1 = u’(st)*(1- (-u)’’(st)/u’(st) * st * r^p_t+1 = u’(st)*(1-φ* r^p_t+1)

Тогда фактор дисконтирования: mt+1 = Ɣu’(st)/u’(ct) *(1-φ* r^p_t+1)

m_t+1 = G*(1-φ* r^p_t+1)

Дисконт будет тем больше, чем больше доходность портфеля и чем больше избегание риска.

B(Rt+1, mt+1) = <(R_t+1 – R_t+1)(m_t+1 – m_t+1)>

mt+1 = G*(1-φ* r^p_t+1)

m_t+1 – m_t+1 = -G*φ(r^p_t+1 – r^p_t+1)

m_t+1 – m_t+1 = -G*φ(R^p_t+1 – R^p_t+1)

B(Rt+1, mt+1) = <(R_t+1 – R_t+1)(m_t+1 – m_t+1)> =-Gφ <(R_t+1 – R_t+1)*(R^p_t+1 – R^p_t+1) > = -G*φ*B(Rt+1,R^p_t+1)

<R_t+1> = R_f + R_f *G* φ*B(Rt+1,R^p_t+1)

Выразим безрисковую доходность в портфельном приближении

Rf = 1/m_t+1 = 1/G*(1-φ* r^p_t+1)

<R_t+1> = R_f + G*φ/ G*(1-φ* r^p_t+1) – B(R_t+1, R^p_t+1)

<R_t+1> = R_f + φ/ (1-φ* r^p_t+1) – B(R_t+1, R^p_t+1)

В портфельном приближении пренебрегают (1-φ* r^p_t+1)

<Rt+1> = R_f+φ*B*(R_t+1, R^p_t+1) – уравнение оценивания в портфельном приближении

Премия за риск зависит от:

1) Ковариации доходности актива с портфелем (Ổ*Ổp*Ῥip)

2) Степени избегания риска инвестором (φ)