Объем продаж автомобилей фирмой «Шумахер»

Порядковый номер,
Год
Количество проданных автомобилей, шт.

Необходимо определить ожидаемый объём продаж в 2012 году.

Решение:

Вариант А: ; .

Вариант Б: ; .

3.2. Экстраполяция по приросту

В данном случае также возможно применение нескольких вариантов расчета значения прогнозируемого параметра.

Вариант А. Прогнозное значение определяется по формуле:

,

где - прирост, который находится из выражения:

.

Вариант Б. Если имеется динамика за ряд предшествующих периодов, то можно использовать усредненный темп прироста:

; .

При прогнозировании объёмов продаж автомобилей (приведённый выше пример, таблица 3.1) получаем следующие варианты прогнозов:

Вариант А. ; .

Вариант Б. ; .

3.3. Аппроксимация динамического ряда аналитическими функциями

Наиболее информативным, но и более трудоёмким методом экстраполяции является аппроксимация динамического ряда аналитическими функциями. При аппроксимации динамического ряда аналитическими функциями предполагается, что для описания динамического ряда будет использована функция, адекватно описывающая динамику развития объекта исследования. Чаще всего для аппроксимации используются:

- линейная функция ;

- парабола ;

- гипербола ;

- логарифмическая функция ;

- экспоненциальная функция .

Каждая функция имеет свою сферу применения. Например, линейная функция используется для описания равномерно развивающихся процессов, а гипербола хорошо описывает процессы, для которых характерно насыщение рынка.

Для определения значений эмпирических коэффициентов и обычно используется метод наименьших квадратов. Суть данного метода заключается в определении таких значений эмпирических коэффициентов, которые минимизируют сумму квадратов отклонений расчётных и фактических значений динамического ряда:

,

где и - расчётные и фактические значения;

- число наблюдений.

Так для линейной функции имеем:

Известно, что функция имеет экстремум, если её производная равна нулю. Дифференцируя функцию по искомым переменным и приравнивая производную нулю, получаем систему линейных уравнений, решая которую найдём неизвестные эмпирические коэффициенты:

или

При прогнозировании исследуемого процесса в аналитическую зависимость подставляют вместо параметра порядковый номер следующего прогнозного периода и получают точечное значение прогнозируемого параметра. Так как исследуемые процессы носят вероятностный характер, то помимо точечного прогноза, как правило, определяют границы возможного изменения прогнозируемого показателя – доверительные интервалы. Ширину доверительного интервала рассчитывают по формуле:

,

где - коэффициент доверия по распределению Стьюдента, выбирается в соответствии с принятым уровнем доверительной вероятности (табл. 3.2);

- среднее квадратическое отклонение от тренда:

.

Таблица 3.2

Значения коэффициента доверия по распределению Стьюдента

Уровень доверительной вероятности,	0,683	0,95	0,99	0,997
Коэффициент доверия,		1,96	2,576

Пример. Данные об объеме реализации автомобилей фирмой «Шумахер» за пять лет приведены в таблице 3.1.

Необходимо определить ожидаемый объём продаж в 2012 году, используя линейную и параболическую функции.

Решение:

Результаты предварительных расчётов сведём в таблицу 3.3.

Решая систему уравнений для определения параметров линейной функции:

получаем:

Таблица 3.3

Предварительные расчеты эмпирических коэффициентов

Год
Сумма

Линейная функция, аппроксимирующая динамический ряд, имеет следующий вид:

.

Соответственно, ожидаемый объём продаж автомобилей на 2012 год:

.

Результаты предварительных расчётов среднего квадратического отклонения сведём в таблицу 3.4.

Среднее квадратическое отклонение от линейного тренда:

.

Ширина доверительного интервала (при ):

.

Интервальный прогноз: или .

Таблица 3.4

Предварительные расчеты среднего квадратического отклонения от линейного тренда

№	Год	Количество проданных автомобилей, шт.,	Вид уравнения

Для параболы система уравнений, решая которую необходимо определить коэффициенты , и , имеет вид:

После подстановки расчётных значений имеем:

Решая данную систему уравнений, получаем:

, , .

Парабола, аппроксимирующая динамический ряд, имеет следующий вид:

Соответственно, ожидаемый объём продаж автомобилей на 2012 год:

.

Результаты предварительных расчетов среднего квадратического отклонения сведём в таблицу 3.5.

Таблица 3.5

Предварительные расчеты среднего квадратического отклонения

от параболического тренда

№	Год	Количество проданных автомобилей, шт.,	Вид уравнения
			1274,9
			1366,6	275,6
			1461,2	353,4
			1558,6
			1658,9	1,2
				730,2

Среднее квадратическое отклонение от параболического тренда:

.

Ширина доверительного интервала (при ): .

Интервальный прогноз: или .

Таким образом, прогноз на 2012 год, при аппроксимации предложенного динамического ряда линейной функцией, будет иметь следующий вид: , а при аппроксимации параболической функцией: .

Другим типом задач, решаемых с помощью аппроксимации, являются задачи определения рациональных сроков эксплуатации исследуемых объектов.

Пример. В таблице 3.6 приведены показатели, характеризующие состояние водопроводных сетей города Пскова. Анализ данных показателей позволяет сделать вывод, что с ростом срока службы водопроводных сетей увеличивается количество аварий, растут объемы утечек воды по причине изношенности.

Таблица 3.6

Состояние сетей водопровода

Необходимо определить рациональный срок службы сетей, если единовременные затраты на замену 1 км водопровода составляют 1400 тыс. руб., а нормативный коэффициент эффективности капитальных вложений .

Решение:

Условием для определения рационального срока службы сетей будем считать равенство потерь, связанных с износом сетей и приведенных единовременных затрат на их замену:

,

где - потери, связанные с утечкой воды;

- затраты на аварийно-восстановительные работы;

- единовременные затраты на замену участка водопровода.

Аппроксимируем зависимость общих потерь, связанных с износом водопроводных сетей параболической зависимостью:

,

здесь - нормированный срок эксплуатации водопровода, единица которого соответствует периоду 5 лет.

Результаты предварительных расчетов эмпирических коэффициентов сведём в таблицу 3.7.

Таблица 3.7