Ранг матрицы, теорема о ранге матрицы

Системы линейных уравнений. Матрица и расширенная матрица

Определение 1. Матрицей порядка m´n называется таблица, состоящая из m строк и n столбцов. Если m = n, то матрица называется квадратной матрицей n-го порядка.

Теорема Кронекера-Капелли

). Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её матрицы равен рангу расширенной матрицы.

Доказательство. Þ Пусть система (25) совместна. Следовательно, существуют такие элементы a₁, a₂, … , a_n , что

Записав эти равенства в векторной форме, получим, что в = a₁×а₁+ a₂×а₂ + … + a_n×а_n , где а₁, а₂, … , а_n –векторы-столбцы матрицы А, в – вектор-столбец свободных членов. Из последнего равенства следует, что системы векторов а₁, а₂, … , а_n и а₁, а₂, … , а_n , в эквивалентны, поэтому их ранги равны. Итак, rang A = rang A₁.

Ü Пусть rang A = rang A₁ = к. Не нарушая общности, можно считать, что отличный от нуля минор к-го порядка в матрице А стоит в левом верхнем углу. Векторы-столбцы обозначим а₁, а₂, … , а_к, а_к+1, … , а_n, в (*). Система а₁, а₂, … , а_к будет максимальной линейно независимой подсистемой в системе (*), следовательно, найдутся такие коэффициенты х₁⁰, х₂⁰, … , х_к⁰, что в = х₁⁰ а₁+ х₂⁰ а₂+ … + х_к⁰ а_к.Это равенство равносильно равенству в = х₁⁰ а₁+ х₂⁰ а₂+ … + х_к⁰ а_к+ … + 0×а_к+1 + … + 0×а_n. Перейдя к координатам, получим:

(28)

Отсюда следует, что (х₁⁰, х₂⁰, … , х_к⁰, 0,… ,0) – решение системы (25), т.е. эта система совместна.

Из теоремы Кронекера – Капелли следуют правила решения системы линейных уравнений.

Для решения системы линейных уравнений достаточно

1. Найти ранги основной и расширенной матриц ( А и А₁ ). Если rang A ¹ rang A₁, то система не имеет решения.

2. Если rang A = rang A₁ = к, то для решения достаточно оставить к уравнений, коэффициенты которых стоят на тех строчках матрицы А, на которых стоит базисный минор, и в этих уравнениях оставить в их левых частях те неизвестные, коэффициенты которых входят в базисный минор. Остальные неизвестные нужно перенести в правые части уравнений. Они могут принимать все возможные значения из поля Р. Эти неизвестные называются свободными. (Не нарушая общности, можно считать, что оставлены первые к уравнений и первые к неизвестных , система (29)).

(29)	Определитель левой части системы (29) отличен от нуля, число уравнений равно числу неизвестных, поэтому (по теореме Крамера) эта система при всевозможных хк+1, … , хn имеет единственное решение.

Следовательно, неизвестные х₁, х₂, … , х_к можно выразить через х_к+1, … , х_n . Формулы, с помощью которых х₁, х₂, … , х_к выражаются через х_к+1, … , х_n задают так называемое общее решение данной системы уравнений. При каждом конкретном наборе переменных х_к+1, … , х_n мы получим единственный набор х₁, х₂, … , х_к . Это частное решение системы уравнений. Число свободных неизвестных равно n – к. Поэтому если к = n, то свободных неизвестных нет, система (29), а поэтому и система (25), имеет единственное решение. Если же к < n, то система имеет бесконечно много решений.

Пример. Исследовать систему уравнений и решить её, если она совместна в поле R.

Решение. Составим матрицу и расширенную матрицу.

А1 =	Так как первый и второй столбцы пропорциональны, то для нахождения ранга матрицы один из них можно удалить. Будем считать, что удалён второй столбец. Минор М = ¹ 0.

Окаймим этот минор первым столбцом и третьей строкой , получим

D = = 56 ¹ 0.

Следовательно, rang A = 3. Но rang A1 не может быть больше 3. Итак, rang A = rang A1 = 3. Для решения остаются три уравнения, т.е. все уравнения. Оставим в левых частях первое, третье и четвёртое неизвестные, второе неизвестное перенесём в правые части,

получим

Для этой системы D = 56, = 84х2 ,

= 20, = 24. По формулам Крамера получаем х₁ = , х₃ = , х₄ = . Общее решение данной системы ( ), х₂ – любое действительное число.

Определение 43

а) Р = R Будем говорить, что в действительном линейном пространстве L определено скалярное произведение векторов, если каждой упорядоченной паре векторов а и в из L поставлено в соответствие число (а, в) Î R, удовлетворяющее следующим требованиям (аксиомам скалярного произведения): 1. (а, в) = (в, а) для любых а и в из L; 2. (а + в, с) = (а, с) + ( в, с) для любых а, в, с из L; 3. (aа, в) = a(а, в) для любых а и в из L и любого a Î R; 4. (а, а) > 0, если а ¹ 0; (а, а) = 0 Û а = 0.

б) Р = С Будем говорить, что в комплексном линейном пространстве L определено скалярное произведение векторов, если каждой упорядоченной паре векторов а и в из L поставлено в соответствие число (а, в) Î С, удовлетворяющее следующим требованиям (аксиомам скалярного произведения): 1. = для любых а и из L; 2. (а + в, с) = (а, с) + ( в, с) для любых а, в, с из L; 3. (aа, в) = a(а, в) для любых а и в из L и любого a Î С; 4. (а, а) Î R и (а, а) > 0, если а ¹ 0; (а, а) = 0, если а = 0.

Скалярное произведение векторов можно обозначать (а, в) или а×в.

Определение 44. Действительное линейное пространство, в котором определено скалярное произведение векторов, называется евклидовым пространством.

Определение 45. Комплексное линейное пространство, в котором определено скалярное произведение векторов, называется унитарным пространством.

3. Пусть М₂ – множество квадратных матриц с комплексными элементами, это множество является линейным пространством на полем С. Определим скалярное произведение формулой . Легко проверит, что все требования определения 43 (б) выполняются. Получили пример унитарного пространства.

Определение 46. Множество М элементов евклидова пространства Е называется подпространством пространства Е, если оно само является евклидовым пространством относительно того же скалярного произведения, что и Е. Аналогично определяется подпространство унитарного пространства.

Ранг матрицы, теорема о ранге матрицы

Пусть Р некоторое фиксированное поле и пусть А = произвольная матрица размерности m ´ n. Каждый столбец матрицы можно рассматривать как m-мерныйвектор из m-мерного арифметического пространства А_m. Тогда система столбцов матрицы будет системой m-мерныхвекторов а₁ = (а₁₁, а₂₁, … , а_m1), а₂ = (а₁₂, а₂₂, … , а_m2), … , а_n = (а_1n, а_2n, … , а_mn).

Определение 26. Столбцовым рангом матрицы А называется ранг системы её векторов – столбцов.

По аналогии со столбцами каждую строку матрицы А можно рассматривать как n-мерный вектор из n-мерного арифметического пространства А_n .

Определение 27. Строчным рангом матрицы А называется ранг системы её векторов – строк.

Теорема 18. Столбцовый ранг матрицы равен наибольшему порядку среди отличных от нуля её миноров.

Доказательство. Если все элементы матрицы – нули поля Р, то все её столбцы – нулевые вектора. Ранг этой системы векторов равен нулю. В матрице А все миноры первого порядка, все миноры второго порядка и т.д. равны нулю. Можно считать, что максимальный порядок отличных от нуля миноров равен нулю.

Пусть в матрице А не все элементы равны нулю, тогда в матрице есть отличные от нуля миноры. Выберем минор наибольшего порядка среди всех отличных от нуля. При перестановке столбцов ранг системы векторов-столбцов не изменится. При перестановке строк матрицы изменится только порядок координат векторов (при этом у всех векторов одинаково). Следовательно, эта перестановка тоже не изменит ранга системы векторов-столбцов. Переставим, если нужно, строки и столбцы матрицы так, чтобы выбранный нами минор М располагался в левом верхнем углу матрицы. Пусть его порядок равен к. Рассмотрим систему векторов-столбцов матрицы А. Обозначим их а₁, … , а_к, а_к+1, … , а_n . Векторы а₁, … , а_к линейно независимы, иначе выбранный нами минор был бы равен нулю. Покажем, что любой другой вектор-столбец через них линейно выражается. Для этого окаймим выбранный минор любым столбцом с номером к +1, к + 2, … , n и любой

а1, … , ак, ак+1, …, аn А =	строкой. Если номер этой строки не больше к, то полученный определитель будет иметь две одинаковых строки, поэтому равен нулю. Если номер окаймляющей строки больше к, то это будет минор матрицы А порядка (к + 1), поэтому равен нулю по условию. Итак, определитель равнее нулю при любом s, равном к + 1, … , n и любом р, равном 1, 2, … , m .
= 0.	Разложим по последней строке, получим Так как М ¹ 0, то .

Если номер столбца s зафиксирован, то алгебраические дополнения А_р1, … , А_рк не меняются при изменении номера строки р. Следовательно, а_s = а₁ – … – а_к . Итак, любой вектор-столбец матрицы А линейно выражается через первые к её столбцов. Следовательно, столбцовый ранг матрицы равен к, т.е. наибольшему порядку отличных от нуля её миноров.

Следствие. Строчный ранг матрицы равен её столбцовому рангу.

Доказательство. Транспонируем матрицу А. При этом векторы-строки матрицы А станут векторами-столбцами транспонированной матрицы А^Т. П ри транспонировании матрицы транспонируются и все её миноры. Так как при транспонировании определитель не меняется, то максимальный порядок отличных от нуля миноров в матрицах А и А^Т один и тот же. По доказанной теореме столбцовые ранги этих матриц равны. Отсюда и следует утверждение следствия.

Так как столбцовый и строчный ранги матриц равны, то можно дать определение:

Определение 28. Рангом матрицы называется ранг системы её векторов-столбцов (или векторов-строк).

Из теоремы о ранге матрицы следует, что если мы найдём в матрице А минор М к-го порядка, отличный от нуля, то среди миноров (к + 1)-го порядка достаточно рассмотреть только те, которые получаются окаймлением минора М. Если они все равны нулю, то ранг матрицы равен к. В дальнейшем минор наибольшего порядка среди отличных от нуля будем называть базисным минором.

Пример. Найти ранг матрицы А = в зависимости от b.

Решение. Так как не все элементы матрицы равны нулю, то её ранг не меньше 1. Так как второй т третий столбцы одинаковы, то один из ни можно отбросить и находить ранг матрицы А₁ = . Из миноров второго порядка только один не содержит b, но этот минор равен 0. Рассмотрим минор М₁ = При b = 0 матрица А₁ имеет вид . В ней только один ненулевой столбец, следовательно, её ранг равен 1. Если , то М₁ ¹ 0, т.е. ранг матрицы не меньше 2. Минор М₁ можно окаймить третьей строкой и третьим столбцом или четвёртой строкой и третьим столбцом. Получим М₂ = . Так как , то М₂ ¹ 0. В матрице А₁ миноров 4-го порядка нет, поэтому rang A = rang A₁ = 3.

Итак, при b = 0 rang A = 1, при b ¹ 0 rang A =3.

Теорема 19. Элементарные преобразования матрицы не меняют её ранга.

Доказательство следует из того, что при элементарных преобразованиях матрицы мы получаем эквивалентные системы её векторов-строк.