Главная Случайная страница


Категории:

ДомЗдоровьеЗоологияИнформатикаИскусствоИскусствоКомпьютерыКулинарияМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОбразованиеПедагогикаПитомцыПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРазноеРелигияСоциологияСпортСтатистикаТранспортФизикаФилософияФинансыХимияХоббиЭкологияЭкономикаЭлектроника






Связь решений неоднородной и соответствующей однородной систем уравнений

Пусть (25) произвольная система линейных неоднородных уравнений с коэффициентами из поля Р. Если в этой системе все свободные члены заменить нулями, то полученная система линейных однородных уравнений называется соответствующей однородной системой (это система (30)). Решения систем (25) и (30) удовлетворяют следующим свойствам:

(30) 10. Сумма решений данной неоднородной и соответствующей однородной системы линейных уравнений есть решение данной неоднородной системы. Пусть а – частное решение системы (25) и с – частное решение системы (30). Рассмотрим вектор (а + с).

Системы (25) и (30) в векторной форме имеют вид А×х = в (31) и А×х= 0 (32). По условию А×а = в, А×с= 0. Следовательно, А×(а + с) = А×а+ А×с= в + 0 = в. Следовательно, (а + с) – решение уравнения (31), а поэтому и системы (25).

20. Разность двух решений неоднородной системы линейных уравнений есть решение соответствующей однородной системы.

Пусть а и срешения системы (25), а следовательно, и уравнения (31), т.е. А×а = в и А×с = в. Тогда А×(а – с) = А×аА×с= в – в = 0, т.е. (а – с) – решение уравнения (32), а поэтому и системы (30).

30. Если а – фиксированное частное решение системы (25), а с пробегает все решения системы (30), то (а + с) пробегает все решения системы (25).

Согласно 10, при любом свектор(а + с) будет решением системы (25). Если d – любое решение системы (25), то, согласно 20, разность (d а) будет решением системы (30). Обозначив (d а) = с, получим d = (а + с).

Теорема 29. Если а – частное решение линейной неоднородной системы уравнений и а1, а2, …, аn–r – фундаментальная система решений соответствующей однородной системы уравнений, то общее решение данной неоднородной системы имеет вид

d = а + С1а1 + С2а2 + … + Сn–r аn–r , где С1, С2, … , Сn–r – любые элементы поля Р.

(Иными словами, общее решение системы линейных неоднородных уравнений равно сумме частного решения этой системы и общего решения соответствующей однородной системы.)

Доказательство является следствием предыдущих свойств.

7. Линейные операторы: определение, примеры, свойства

Пусть L и L1 – два линейных пространства над полем Р .

Определение 31. Отображение j линейного пространства L в линейное пространство L1 называется линейным оператором, если для любых векторов а и в из L и любого элемента l Î Р выполняются условия j(а + в) = j(а) + j(в) и j(lа) =lj(а).

Элемент j(а) называется образом элемента а, элемент а называется прообразом элемента j(а).

Определение 31 эквивалентно

Oпределению 311: Отображение j линейного пространства L в линейное пространство L1 называется линейным оператором, если для любых векторов а и в из L и любых элементов a, b Î Р выполняется условие j(а + в) = a×j(а) + b×j(в).

Примеры. 1. Отображение j(а) = 01, где а – любой вектор из L , а 01 – нулевой вектор из L1, является, очевидно, линейным оператором. Этот оператор называют нулевым.

2. Отображение j (а) = а есть линейный оператор пространства L на себя. Этот линейный оператор называется тождественным.

3. Пусть е = (е1, е2, е3,… , еn ) – базис в пространстве Ln и L1 = <е1, е2, е3>. Пусть j (х1е1 + х2е2 + х3е3 + …+ хn еn ) = х1е1+ х2е2 + х3е3 . Заданное отображение j есть линейный оператор, действующий из пространства L в его подпространство L1. Этот оператор называется проекцией пространства Lна L1.

Пусть е = (е1, е2,… , еn ) – базис в пространстве L и f = (f1, f2, … , fn ) – упорядоченная совокупность векторов из L1.

Теорема 31. Существует и только один линейный оператор j, действующий из L в L1, при котором j(ек ) = fк для всех к = 1, 2, … , n .

Доказательство. Если а – любой вектор из L , то а = х1е1 + х2е2 + … +хn еn . Зададим отображение j следующим образом: j (а) = х1f1 + х2f2 + … + хn fn . Так как j (аL1, то j действует из L в L1. Если l Î Р, то j(lа) = l×х1f1 + l х2f2 + … + l хn fn = l (х1f1 + х2f2 + … +хn fn) = l j (а). Если в = у1е1 + у2е2 + … +уn еn,то j(а + в) = (х1 + у1) f1 + (х2 + у2 )f2 + … + (хn + уn) fn=(х1f1 + х2f2 + … + хn fn ) + (у1е1 + у2е2 + … +уn еn ) = j(а) + j(в). Итак, j - линейный оператор из L в L1. Кроме того j (ек ) = 1×fк . Следовательно, j - искомый линейный оператор. Обратно, если y - любой линейный оператор, при котором y (eк ) = fк , то по определению линейного оператора y (а) =y (х1е1 + х2е2 + … +хn еn) = х1y(е1) + х2y(е2) + … + хny(еn) = х1f1+ х2f2 +…+ хn fn = j(а). Следовательно, j - единственный искомый оператор.

Следствие. Для того чтобы задать линейный оператор, действующий из линейного пространства L в линейное пространство L1 достаточно выбрать базис (е1, е2,… , еn ) в пространстве L и упорядоченную систему векторов (f1, f2, … , fn ) в пространстве L1 и задать отображение по правилу: j (х1е1 + х2е2 + … +хn еn ) = х1f1 + х2f2 + … + хn fn.

Пример. Даны два линейных пространства L3 и L5 . Пусть е = (е1, е2, е3) и f = (f1, f2, f3 , f4 , f5 ) – базисы в L3 и L5 соответственно. Пусть а1 = (1, 4, –1, 3, 0), а2 = (3, 0, 1, –3, 7), а3 = (1, 1, 2, 2, 0) – три вектора из L5 . Пусть линейный оператор j: L3 ® L5 задан по правилу j(х1е1+ х2е2+ х3е3 ) = х1а1+ х2а2+ х3а3.Найти образ вектора с = (5, –1, 3).

Решение. j (с) = 5а1а2 + 3а3 = (5,20,–5,15,0) – (3,0,1,–3,7) + (3,3,6,6,0) = (5, 23, 0, 24, –7).

Свойства линейных операторов.

Пусть j: Ln ® Lm линейный оператор.

10. j (0) = 01, где 0 и 01 – нули пространств Ln и Lm соответственно.

20. Произведение двух линейных операторов есть линейный оператор.

Пусть j: Ln ® Lm и y: Lm ® Lк . Тогда (y×j): Ln ® Lк . Если а и в – любые два вектора из Ln и l - любой элемент из поля Р, то (y×j)(а + в) = y (j (а + в)) = y (j (а) + j (в)) = = y (j (а)) + y (j (в)) = (y×j)(а) + (y×j)(в); (y×j)(lа) = y (j (lа)) = y (l ×j (а)) = = (y (j (а)) = (y×j)(а). Итак, отображение (y×j) удовлетворяет всем требованиям определения 31. Следовательно, (y×j) – линейный оператор.

Определение 32. Суммой двух линейных операторов j: Ln ® Lm и y: Ln ® Lm называется такое отображение w: Ln ® Lm , что для любого элемента а Î Ln верно равенство w (а) = j (а) + y (а).

30. Сумма двух линейных операторов есть линейный оператор.

Пусть а, в Î L и a, b Î Р. Тогда w (а + b×в) = j (а + b×в) + y (а + b×в) = (a×j(а) + + b×j(в)) + (a×y(а) + b×y(в)), Следовательно, по определению 311, w - линейный оператор, действующий из Ln в Lm .

40. Нулевой линейный оператор играет роль нулевого элемента при сложении линейных операторов.

Определение 32. Произведением линейного оператора j: Ln ® Lm и элемента l Î Р называется такое отображение из Ln в Lm , что (lj)(а) = (j (а)) для любого а Î Ln .

50. Произведение линейного оператора на элемент поля Р есть линейный оператор.

Докажите это утверждение самостоятельно.

60. 1×j = j для любого линейного оператора j.

70. 0×j – нулевой оператор для любого линейного оператора j.

80. Если j и y – два линейных оператора, a, b Î Р, j: Ln ® Lm и y: Ln ® Lm , то (a×j + b×y) – линейный оператор, действующий из Ln в Lm .

Теорема 32. Множество линейных операторов, действующих из линейного пространства Ln в Lm является линейным пространством (оба пространства над одним и тем же полем).

Доказательство следует из свойств суммы линейных операторов и произведения линейного оператора на элемент поля Р.

Последнее изменение этой страницы: 2016-06-09

lectmania.ru. Все права принадлежат авторам данных материалов. В случае нарушения авторского права напишите нам сюда...