Матрица линейного оператора. Связь координат вектора и его образа. Связь матриц линейного оператора в разных базисах.

Следствие. Если в линейных пространствах L_n и L_m зафиксированы базисы, то каждому линейному оператору, действующему из L_n в L_m соответствует единственная матрица размерности m´nс элементами из поля Р.

Теорема 34.Если в линейных пространствах L_n и L_m зафиксированы базисы, то каждая матрица размерности m´nс элементами из поля Р является матрицей одного и только одного линейного оператора, действующего из L_n в L_m .

Следствие. Размерность линейного пространства линейных операторов, действующих из L_n в L_m , равна m×n .

Пусть даны два линейных пространства L_n и L_m над полем Р. Пусть в L_n зафиксированы базисы е =(е₁, е₂,… , е_n ) и е¹ =(е₁¹, е₂¹,… , е_n¹ ), а в пространстве L_m – базисы f = (f₁, f₂, … , f_m ) и f¹ = (f₁¹, f₂¹, … , f_m¹ ). Пусть j: L_n ® L_m линейный оператор, А – его матрица в паре базисов е и f и А¹ – матрица этого же оператора в паре базисов е¹ и f¹. Пусть Т – матрица перехода от базиса е к базису е¹, а Q – матрица перехода от f к f¹. Тогда е¹= е×Т, f¹ = f×Q , j(е) = f×А, j(е¹) = f¹×А¹. Отсюда j( е×Т) = ( f×Q )×А¹, j(е)×Т = f×(Q ×А¹). Так как Т – матрица перехода, то она невырожденная, следовательно, существует матрица Т^–1. Из последнего равенства получаем, что j(е) = ( f×(Q ×А¹))×Т^–1 = f×(Q ×А¹×Т^–1). Но j(е) = f×А. Следовательно, А = Q ×А¹×Т^–1, или А¹ = Q^–1 ×А×Т (34)

Пример. Даны два линейных пространства L₃ и L₅ . Пусть е = (е₁, е₂, е₃) и f = (f₁, f₂, f₃ , f₄ , f₅ ) – базисы в L₃ и L₅ соответственно. Пусть а₁ = (1, 4, –1, 3, 0), а₂ = (3, 0, 1, –3, 7), а₃ = (1, 1, 2, 2, 0) – три вектора из L₅ . Пусть линейный оператор j: L₃ ® L₅ задан по правилу j(х₁е₁+ х₂е₂+ х₃е₃ ) = х₁а₁+ х₂а₂+ х₃а₃.Составить матрицу оператора j и найти образ вектора с = (5, –1, 3).

Решение.Для составления матрицы оператора достаточно найти координаты образов базисных элементов пространства L₃ в базисе f пространства L₅ . По данному правилу получим j(е₁) = 1×а₁ = (1, 4, –1, 3, 0), j(е₂)= 1×а₂ = (3, 0, 1, –3, 7), j(е₃)= 1×а₃ = (1, 1, 2, 2, 0). Составим матрицу, столбцами которой являются координаты найденных векторов.

А =

Координаты вектора j(с)можно найти по формуле (33), а именно, х1 = А×х.

× = .

Примеры. 1. Даны два линейных пространства L₃ и L₅ . Пусть е = (е₁, е₂, е₃) и f = (f₁, f₂, f₃ , f₄ , f₅ ) – базисы в L₃ и L₅ соответственно. Пусть а₁ = (1, 4, –1, 3, 0), а₂ = (3, 0, 1, –3, 7), а₃ = (1, 1, 2, 2, 0) – три вектора из L₅ . Пусть линейный оператор j: L₃ ® L₅ задан по правилу j(х₁е₁+ х₂е₂+ х₃е₃ ) = х₁а₁+ х₂а₂+ х₃а₃.Найти j(L₃) и Ker(j).

Решение. Так как х₁, х₂, х₃ – любые элементы поля коэффициентов Р, то х₁а₁+ х₂а₂+ х₃а₃– любой вектор из линейной оболочки < а₁, а₂, а₃ >. Итак, j(L₃) = < а₁, а₂, а₃ >.

j(х₁е₁+ х₂е₂+ х₃е₃ ) = 0 Û х₁а₁ + х₂а₂ + х₃а₃ = 0 Û х₁(1, 4, –1, 3, 0) + х₂(3, 0, 1, –3, 7)+ + х₃(1, 1, 2, 2, 0) = (х₁ + 3х₂ + х₃ , 4х₁ + х₃ , –х₁ + х₂ + 2х₃ , 3х₁ –3х₂ + 2х₃ , 7х₂ ) = 0 Û

Для нахождения х1, х2. х3 получили систему пяти уравнений с тремя неизвестными. Решая её, получим х1 = х2 = х3 = 0. Следовательно, ядро данного линейного оператора состоит только из нулевого вектора.

Всё, что было сказано о линейных операторах, очевидно, верно и для линейных преобразований, но некоторые формулы будут иметь более простой вид. Напомним формулы.

1. Если в пространстве L_n зафиксирован базис е =(е₁, е₂,… , е_n ), то матрица А линейного преобразования j : L_n® L_n имеет вид

А = , столбцы которой – координаты образов базисных векторов е.

(35)

2. Формулы (35) в матричном виде имеют вид j(е) = е×А.

3. Связь столбцов координат вектора и его образа: х¹ = А×х (36)

4. Если в пространстве L_n зафиксированы два базиса е =(е₁, е₂,… , е_n) и е¹ =(е₁¹,е₂¹,… , е_n¹) и Т – матрица перехода от е к е¹, то связь матриц линейного преобразования в этих базисах задаётся формулой А¹ = Т^-1×А×Т (37).

Определение 36. Квадратные матрицы А и В называются подобными, если существует такая квадратная невырожденная матрица С, что В = С^–1×А×С.

5. Матрицы, задающие линейное преобразование в разных базисах, подобны.

6. Теорема 35. Для любых двух подобных матриц А и В одного и того же порядка n над полем Р и любого линейного пространства L_n над полем Р в L_n существуют такие базисы е и е¹, что данные матрицы будут задавать в этих базисах одно и то же линейное преобразование.

Доказательство. Пусть В = С^–1×А×С. Зафиксируем в L_n какой-нибудь базис. Матрица А в этом базисе задаёт линейное преобразование (пусть это j). Так как матрица С невырожденная, то С^–1 может быть матрицей перехода. Пусть е¹= е×С^–1. Тогда преобразование j в базисе е¹ будет иметь матрицу С^–1×А×(С^–1 )^–1 = С^–1×А×С = В.

7. dim (j(L_n)) + dim (Kerj ) = n.

8. Множество всех линейных преобразований пространства L_n есть тоже линейное пространство над тем же полем Р, что и пространство L_n .

Определение 37.Линейное пространство линейных преобразований линейного пространства L_n называется линейным пространством, сопряжённым пространству L_n .

Пространство, сопряжённое L_n , обозначается L_n^*.

9. Пространство L_n^* изоморфно линейному пространству квадратных матриц порядка n с элементами из поля Р. Следовательно, dim (L_n^* ) = n².

12. Сумма линейных преобразований, умножение линейного преобразования на действительное(комплексное число), линейное пространство, сопряженное данному.

Сложение преобразований. Пусть в n -мерном пространстве R с базисом l₁, l₂, ..., l_n заданы два линейных преобразования Аи В, определяемые как y = Ax и z = Bx.

Определение 28. Суммой линейных преобразований А и В называют преобразование С, обозначаемое С = А + В, если для каждого вектора x из пространства R справедливо Сх = (А + В)х = Ax + Вx. Тогда говорят, что преобразование С преобразует вектор х в вектор q равный сумме векторов у и z, т.е. q = y + z.

Из определения 28 очевидно, что матрица С, определяющая преобразование С, должна быть равна сумме матриц преобразований А иВ: С = А + В.

Умножение преобразования на число. Пусть в n -мерном пространстве R с базисом l₁, l₂, ..., l_n задано линейное преобразование А, определяемом как y = Ax, и некоторое число .

13. Умножение линейных преобразований.

Произведением линейного преобразования А и числа называют преобразование С, обозначаемое , если для каждого вектора x из пространства R справедливо . Тогда говорят, что преобразование С преобразует вектор х в вектор q, равный , где у = Ax.

Произведение преобразований. Пусть в n -мерном пространстве R с базисом l₁, l₂, ..., l_n заданы два линейных преобразованияА и В, определяемых как y = Ax и z = Bу, т.е. вектор x преобразуется преобразованием А в вектор y, который в свою очередьпреобразуется в вектор z преобразованием В.

Определение 30. Произведением преобразований А и В называют преобразование С, обозначаемое С = ВА, если для каждого вектора справедливо Сх = (ВА)х = В(Ax) = Ву = z.

Заметим, что в этом случае матрица преобразования С, определяющая произведение преобразований А и В, будет выражаться произведением матриц соответствующих преобразований: С = ВА.

14. Собственные векторы и собственные значения линейного преобразования: определение, свойства, способы нахождения.

Пусть L_n – линейное n-мерное пространство над полем Р, j : L_n® L_n – линейное преобразование и А –матрица этого преобразования в некотором базисе е.

Определение 40. Ненулевой вектор а называется собственным вектором преобразования j, если j(а) = l×а для некоторого l Î Р. Элемент l называется собственным значениемпреобразования j.

По определению собственного вектора, а – собственный вектор преобразования j Û $l Î Р : j(а) = l×а. Перепишем это равенство в координатах, получим А×х = l×х. Отсюда А×х – (lЕ)×х = О, или (А –lЕ)×х = О. Итак, а – собственный вектор преобразования j Û столбец координат этого вектора является ненулевым решением уравнения (А –lЕ)×х = О (38). Матрица (А –lЕ) называется характеристической матрицей для матрицы А. Матричное уравнение (38) перепишем в виде системы уравнений. Получим, что а – собственный вектор

(39)	преобразования j Û (х1, х2, … , хn ) – ненулевое решение системы (39), при этом все хк принадлежат полю Р. Так как (39) система линейных однородных уравнений и число уравнений равно числу неизвестных, то она имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда её определитель равен нулю, т.е.
(40)	имеет место равенство (40). Уравнение (40) называется характеристическим уравнением матрицыА. Определитель системы, т.е. | А – lЕ |, называется характеристическим многочленом матрицы А.

Корни характеристического многочлена называются характеристическими корнями матрицы А. ( Характеристический корень не всегда принадлежит полю Р). Множество всех характеристических корней матрицы А называется её спектром.

Согласно определению 40, l Î Р. Пусть l₀ Î Р и является характеристическим корнем матрицы А. При l₀ система (39) имеет ненулевое решение, т. е. j будет иметь собственный вектор и l₀ будет собственным значением преобразования j, заданного матрицей А.

Теорема 37. Характеристические многочлены подобных матриц одинаковы.

Доказательство. Пусть В = С^–1×А×С. Так как матрица lЕ перестановочна с любой матрицей, то | В – lЕ | = | С^–1×А×С – lЕ | = | С^–1×А×С – С^–1 ×(lЕ)×С | = | С^–1×(А – lЕ)×С | = |С^–1 || А – lЕ ||С| = | А – lЕ |.

Так как матрицы линейного преобразования в разных базисах подобны, то

Следствие. Матрицы линейного преобразования в разных базисах имеют один и тот же спектр.

Определение 41.Спектр матрицы линейного преобразования в каком-нибудь базисе называется спектром линейного преобразования.

Доказательство этой теоремы вытекает из всего сказанного выше.

Можно сформулировать следующие правила нахождения собственных значений и собственных векторов линейного преобразования.

1. Записать матрицу данного преобразования в некотором базисе.

2. Составить характеристическое уравнение и найти его корни, принадлежащие полю Р (т.е. найти собственные значения).

3. Если l₀ – собственное значение, то составить систему и найти её ненулевые решения.

Пример. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования j : L₄® L₄ (над полем R), если это преобразование в базисе е =(е₁, е₂, е₃,е₄) имеет матрицу А.

А = .

Решение. Составим характеристическое уравнение (*). Используя теорему Лапласа, раскроем определитель, получим уравнение:

(*)

, [(1 – l )² – 1]×[(1– l )×(3 –l ) – 6] = 0. Возможны два случая:

1) (1 –l )² – 1 = 0, 1 – l = ± 1. Отсюда l₁ = 0, l₂ = 2.

2) (1– l )×(3 –l ) – 6 = 0, l² – 4l – 3 = 0, l₃ = , l₄ = . Итак, характеристическое уравнение имеет четыре корня, все они действительные. Поэтому данное преобразование имеет четыре собственных значения. Для каждого из них составим систему уравнений для нахождения собственных векторов.

1) При l = 0.

Отсюда х2 = – х1. Подставим в третье и четвёртое уравнения, получим Отсюда

Решив последнюю систему, получим х₄ = , х₃ = . Если х₁ = 3С, то х₂ = –3С, х₃ = 13С, х₄ = –11С, С – любое действительное число, отличное от нуля. Итак, собственными векторами, принадлежащими собственному значению l = 0, являются все ненулевые векторы вида (3С, –3С, 13С, –11С ).

2) При l = 2.

Отсюда х2 = х1. Подставим в третье и четвёртое уравнения. Отсюда

Решив последнюю систему, получим х₃ = , х₄ = Если х₁ = 7С, то х₂ = 7С, х₃ = –15С, х₄ = –11С, где С – любое отличное от нуля действительное число. Итак, собственными векторами, принадлежащими собственному значению l = 2, являются все ненулевые векторы вида (7С, 7С, –15С, –11С ).

3) При l = .	Из первых двух уравнений х1 = х2 = 0. Подставив в третье и четвёртое уравнения, получим
Из этой системы , х3 – любое отличное от нуля действительное число. Если х3 = 2С, то . Итак, собственными векторами, принадлежащими собственному значению l = 2 + , являются все ненулевые векторы вида (0, 0, 2С, ).
4) При l = .	Из первых двух уравнений х1 = х2 = 0 . Подставив в третье и четвёртое уравнения, получим
Из полученной системы , х3 – любое отличное от нуля действительное число. Если х3 = 2С, то . Итак, собственными векторами, принадлежащими собственному значению l = 2 + , являются все ненулевые векторы вида (0, 0, 2С, (1 )С).

Свойства собственных векторов.

1⁰. Если вектор а – собственный вектор преобразования j, принадлежащий собственному значению l и a ¹ 0, то a×а – тоже собственный вектор, принадлежащий тому же собственному значению.

Если j (а ) = lа, то j(aа) =aj(а) = a(lа) = l(aа).

2⁰. Множество всех собственных векторов линейного преобразования j : L_n® L_n , принадлежащих одному и тому же собственному значению (если к ним добавить нулевой вектор), есть линейное подпространство в L_n.

Пусть а и в два собственных вектора и j(а ) = lа, j(в) = lв. Тогда j(aа + bв) = aj(а) + bj(в) = a(lа) + b(lв) = l(aа + bв).

3⁰. Собственные векторы, принадлежащие различным собственным значениям, линейно независимы.

Пусть j(а ) = lа, j(в) = l₁в, l ¹ l₁. Если бы а и в были бы линейно зависимы, то хотя бы один из них линейно выражался через другой пусть в = aа. Так как в – собственный вектор, то a ¹ 0. Тогда j(в) = j(aа). Отсюда l₁в = a(lа), l₁(aа) = a(lа), a(l₁ – l)а = 0. Но в левой части a ¹ 0, l₁ – l ¹ 0, а¹ 0. Противоречие. Следовательно, а и в – линейно независимы.

4⁰. Если в базисе е = (е₁, е₂,... , е_к, … , е_n ) вектор е_к – собственный вектор линейного преобразования j, принадлежащий собственному значению l, то в к-ом столбце матрицы этого преобразования на всех местах, кроме к-го, стоят нули и а_кк = l.

15. Матрица линейного преобразования в базисе из собственных векторов