Аналитические методы моделирования

Многообразие технологических процессов обусловило многообразие моделей ТО и методов их получения. Последние подразделяются на аналитические и экспериментальные. Аналитические методы базируются на знании физических, химических и прочих законов, определяющих функционирование технологического объекта. Если теоретических знаний недостаточно, то применяются экспериментальные методы, когда параметры моделей определяются опытным путем. При составлении алгоритма функционирования аналитическим путем технологический объект представляют в виде совокупности типовых звеньев, в каждом из которых происходит однократное преобразование энергии. Звенья такого рода принято называть динамическими звеньями. Они описываются дифференциальными уравнениями не выше второго порядка.

Математическое описание звеньев данного типа производится в следующем порядке.

1) Выходной параметр рассматриваемого звена назовем преобразуемым продуктом Q, а управляющий (входной) параметр – разностью потенциалов U, измеряемой количеством энергии, затрачиваемой на единицу преобразуемого продукта.

2) Описываемое звено представим в виде контура, в котором сумма разностей потенциалов должна быть равна нулю:

. (3.2)

3) Связи между отдельными звеньями, отображающими ТО, формируются исходя из условия равенства нулю суммы расхода продукта в любом разветвлении

. (3.3)

В качестве примера рассмотрим уравнения характерных для систем электромеханического преобразования энергии электрического и механического звеньев.

1) Уравнение цепи якоря двигателя постоянного тока

где u – напряжение, приложенное к цепи якоря;

е_я – ЭДС якоря, причем предполагается, что положительное направление ЭДС якоря противоположно положительному направлению напряжения;

L_я и R_я – индуктивность и активное сопротивление в цепи якоря;

q – переносимый электрический заряд.

2)Уравнение механического звена двигателя, работающего в условиях наличия сухого (M_с) и вязкого трения с коэффициентом вязкости b_c

где j – угол поворота вала двигателя, а положительное направление момента M_с выбирается противоположным положительному направлению момента двигателя M.

В первом примере имеем: Q_j – это переносимый заряд q, U_j – это ЭДС и падение напряжения в рассматриваемом контуре; во втором примере Q_j – это угол поворота j, U_j – это момент двигателя и моменты сопротивления в рассматриваемом механическом звене.

Полный алгоритм функционирования ТО получают путем установления связей между входящими в его состав динамическими звеньями. В результате получают многоконтурную модель, которая будет представлена в виде односвязной или многосвязной системы. Односвязная (одномерная) система получается тогда, когда модель ТО имеет один вход и один выход. Однодвигательные электроприводы, особенно электроприводы постоянного тока, чаще всего отображаются односвязными моделями. Однако электроприводы и другие ТО, входящие в состав АСУТП, обычно объединены различными связями в один комплекс. Их совместную работу невозможно рассматривать раздельно, без учета их взаимодействия и взаимовлияния. Поэтому алгоритм функционирования ТО, управляемого от АСУТП, обычно представляется в виде многосвязной (многомерной) системы, в которой учтено взаимодействие входных параметров, их совместное воздействие на выходные параметры и перекрестные обратные связи от выходных параметров, действующие в ТО. Для анализа подобных систем строят математические модели в матричной форме.

Рассмотрим, например систему уравнений, отображающую некий ТО в виде трехсвязной (трехмерной) линейной системы:

, (3.4)

где – входные переменные, – выходные переменные, а a_ij и b_ij – коэффициенты (некоторые из них могут быть равны нулю). Слагаемые с x₂ и с x₃. а также с y₂ и с y₃, имеющиеся в первом уравнении системы (3.4), отображают объективно существующие в данном ТО перекрестные связи между его параметрами. Аналогичные связи отображены и в остальных уравнениях системы (3.4). Так, слагаемое b₃₂x₂ в третьем уравнении отображает, возможно нежелательное, но объективно существующее перекрестное влияние управляющего воздействия x₂, предназначенного для управления параметром y₂, на параметр y₃, а слагаемое a₂₃y₃ во втором уравнении отображает перекрестную обратную связь с выхода y₃ на параметр y₂. Если коэффициенты b₃₂ и a₂₃ равны нулю, то это означает, что указанные перекрестные связи отсутствуют.

С помощью системы уравнений типа (3.4) можно анализировать как статические, так и динамические режимы, если при анализе динамики заменить дифференциальные уравнения их операторными отображениями. В матричной форме данная система отображается так:

AY=BX , (3.5)

где A, B, X, и Y – записанные в табличной форме (в виде матриц) коэффициенты и переменные системы (3.4):

А= В= X= Y=

Решение уравнений, записанных в матричной форме, облегчается наличием специализированного программного обеспечения операций с матрицами, предназначенного для исследования систем автоматизации.

Во многих случаях модели ТО существенно нелинейны. В качестве примера рассмотрим трехмерную систему уравнений, описывающих движение механизма по прямой линии со скоростью v из начала координат в точку с координатами x,y и z:

(3.6)

Уравнения (3.6) задают проекции скорости v перемещения рабочего органа в пространстве на координаты x,y и z в пределах текущего кадра программы. Уравнения такого типа используются в системах ЧПУ при вычислениях промежуточных точек заданной траектории движения, когда движение между заданными точками должно производиться по прямой линии (линейная интерполяция). Система уравнений (3.6) соответствует случаю, когда начало координат совмещается с начальной точкой очередного линейного участка траектории (с начальной точкой кадра программы), а координаты x, y и z соответствуют конечной точке в данном кадре, что соответствует заданию перемещений в приращениях. Общий вид траектории движения определяется законом изменения координат x,y и z от кадра к кадру. Чтобы пользоваться типовыми программами решения уравнений, записанных в матричной форме, нелинейные уравнения линеаризуются в окрестности интересных для исследования поведения технологического объекта точек.