Главная Случайная страница


Категории:

ДомЗдоровьеЗоологияИнформатикаИскусствоИскусствоКомпьютерыКулинарияМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОбразованиеПедагогикаПитомцыПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРазноеРелигияСоциологияСпортСтатистикаТранспортФизикаФилософияФинансыХимияХоббиЭкологияЭкономикаЭлектроника






Понятия и операции нечеткой логики

Наиболее сложным и ответственным этапом в процессе управления является принятие решений. Моделирование процессов принятия решений требует использования аппарата понятий с нечеткими границами и высказываний с многозначной шкалой истинности. Построение моделей принятия решений для задач, имеющих нечеткое словесное описание, базируется на понятиях нечеткого множества и лингвистической переменной. Эти понятия употребляются в случаях, когда описываемый объект может вполне определенно принадлежать к интересующему нас классу, может и не принадлежать к нему, возможны и промежуточные градации принадлежности, которые можно обозначить числами, принадлежащими промежутку от 1 до 0. После этого появляется возможность перейти от словесных описаний элементов задачи принятия решения к числовым.

Нечетким множеством А (Alternative) на универсальном множестве U (Universum),состоящим из элементов u, называется совокупность пар

А={ А(u), u}, (4.34)

где A(u)- отображение множества U в единичный отрезок |0,1|, называемое функцией принадлежности нечеткого множества А.Иными словами, нечеткое множество А состоит из совокупности пар чисел, когда каждому числу из множества U ставится в соответствие число А, причем имеет место

0< А≤1. (4. 35)

Значение функции принадлежности А(u) для любого элемента u будем называть степенью принадлежности. Нечеткое множество является количественной характеристикой нечеткого понятия, а степень принадлежности А(u) есть субъективная оценка лицом, принимающим решение, того, насколько элемент u соответствует понятию, формализуемому нечетким множеством А. Можно также полагать, что степень принадлежности в какой-то мере соответствует вероятности того, что элемент u будет отнесен к множеству А. Множество значений u, для которых имеет место А>0 согласно соотношению (4.35), называется носителем SA (Set A) нечеткого множества А. При графическом отображении нечеткого множества значение носителя нечеткого множества откладывают по оси абсцисс, а степень принадлежности – по оси ординат, формируя тем самым кривую функции принадлежности. Пример отображения посредством нечеткого множества нечеткого понятия «скорость движения V около 130 км∕ч» приведен на рис. 4.3. Зависимость µ(V), приведенная на рис. 4.3, свидетельствует о том, что эксперт (лицо, принимающее решение) полагает возможным считать в заданных конкретных условиях значения V = 100-160 км/ч, соответствующими понятию «скорость движения V около 130 км∕ч», но значения, более близкие к V = 130м/ч, он считает более соответствующими данному понятию. Это мнение отображено на графике µ(V) значениями µ, более близкими к единице. Вне указанных пределов лежат значения V, не охваченные данным понятием, что формально отображается равенством µ(V) = 0. Рассматриваемая оценка скорости V может не иметь непосредственного отношения к фактическому распределению скоростей интересующего нас объекта.

 

Рис. 4.3. Функция принадлежности нечеткого понятия «скорость движения V около 130 км/час»

 

Если возможны различные варианты нечетких множеств в пределах отображаемого нечеткого понятия, то такие варианты образуют нечеткую переменную. Так, нечеткая переменная может быть сформирована из различных оценок скорости движения, аналогичных представленной на рис. 4.3.

Лингвистическая переменная является числовой характеристикой сложного понятия, определенного на множестве U и состоящего из ряда более простых понятий. Отображения последних называются термами и представляют собой нечеткие переменные, областью определения каждой из которых также является множество U. Так, если мы хотим оценить величину скорости движения с помощью понятий «малая», средняя», «большая», то можем сделать это с помощью лингвистической переменной СКОРОСТЬ, содержащей три терма: МАЛАЯ, СРЕДНЯЯ и БОЛЬШАЯ. Эти термы должны перекрывать всю область определения скорости V, которую мы определим в процентах (0:-100)% от максимального значения скорости в интересующем нас диапазоне скоростей, хотя действительное значение V может быть и больше. Будем считать, что «малая» скорость не может превышать 50% от максимальной, а «большая» скорость не может быть менее тех же 50%. Наиболее подходящим значением для «средней» скорости будем считать те же 50% от максимальной. В таком случае лингвистическая переменная СКОРОСТЬ может быть отображена, например, графиком, представленным на рис.4.4.

 

Рис. 4.4. Функции принадлежности лингвистической переменной СКОРОСТЬ: М – МАЛАЯ; С – СРЕДНЯЯ; Б – БОЛЬШАЯ

 

Здесь имеются в виду абсолютные значения скорости, о которых можно говорить, когда направление движения не имеет значения. Примером такого движения может быть полет самолета при неизменной высоте полета, неизменном атмосферном давлении и отсутствии ветра. В рассматриваемом случае значения V<0 невозможны, но значения V>100% вполне возможны, поскольку соответствуют понятию БОЛЬШАЯ, что отображается значением µ = 1 при V>100%.

Нечеткие множества, соответствующие числовым значениям лингвистической переменной, называют нечеткими числами. Операции с нечеткими числами требуют введения понятия нечеткого отношения. Если имеются универсальные множества U и V, состоящие из элементов u и v, то нечетким отношением R (Relation) на множестве U V называется совокупность пар

R ={ R (u,v) / (u,v)},(4.36)

Где R (u,v)- функция принадлежности нечетного отношения, отображающая множество U V в единичный отрезок [ 0,1]. Нечеткое отношение – это нечеткое множество с векторной базовой переменной. Нечеткие отношения дают численную характеристику таким высказываниям, как «Х много больше У»или «А значительно хуже В» и т.п. Истинность высказываний такого рода определяется не значениями u и v в отдельности, а их соотношением. Соответственно и функция принадлежности R (u,v) определяется совокупностью значений пары u, v.

Арифметические операции над нечеткими числами производят в соответствии с принципом обобщения, который состоит в следующем. Пусть имеются два нечетких числа, А и В, определенных на некотором интервале действительной оси. Пусть этим числам соответствуют носители: SA, заданный на интервале 1, а2), и SB, заданный на интервале (b1, b2).

Определим нечеткое число

D = A B, (4. 37)

где знак какой-либо из четырех арифметических операций: +, -, × или /, через функцию принадлежности

µD (x) = sup min{µA(a), µB(b)}, (4.38)

a b = x

где а и b – числа, принадлежащие соответственно носителям SA и SB.Значение х определяется путем совершения заданной арифметической операции над числами а и b, а µA(a) и µB(b) – это степени принадлежности чисел а и b в соответствии с функциями принадлежности нечетных множеств А и В.

Очевидно, что путем подбора значений а и b можно получить одно и то же значение xдля многих пар (а, b), которым будут соответствовать различные пары значений µA(a) и µB(b). Согласно соотношению ( 4.38) в каждой такой паре нужно выбрать меньшее (min) значение, а затем из всей совокупности полученных значений µ отобрать наибольшее (sup) значение, которое и будет искомым µD (x). Поскольку при определении степени принадлежности µD (x) результатаарифметической операции мы выбираем в каждой паре исходных значений µ меньшее значение, а в качестве окончательного значения µD признаем наибольшее из выбранных меньших значений, то данный принцип обобщения называется максиминным, т. е. ориентированным на максимальный минимум значения µ.

В качестве обоснования принципа обобщения обратим внимание на то обстоятельство, что основой арифметических операций являются логические операции И (совпадения), см., например, формулы (5.14- 5.16). Следовательно, если трактовать степень принадлежности µA как вероятность отнесения числа а к множеству А, а µB – как вероятность отнесения числа b к множеству В, то вероятность отнесения к множеству D результата произведенной над числами а и b арифметической операции будет близкой к произведению µA µB при условии, что процессы отнесения а к А и b к В независимы. Поскольку обычно неизвестны ни распределения вероятностей на SA и SB, ни вид зависимости процессов отнесения аргументов а и b к нечетким числам А и В, то приходится ограничиться максиминным соотношением (4.38). Его можно рассматривать как верхнюю оценку для µD (x), которая тем точнее, чем больше различие значений µA(a) и µB(b) и чем полнее перебор пар а и b, таких что х = а b.

Пример 4.3.Выполнить сложение нечетких чисел А и В:

А= (0,1/5; 0,8/6; 0,4/7);

B= (0,2/4; 0,9/5; 0,3/6).

В знаменателе каждой реализации нечеткого числа стоит значение его носителя, а в числителе – степень принадлежности. Заданная арифметическая операция выполняется относительно всех возможных пар носителей. Минимальное значение суммы А + В равно 9, из исходных степеней принадлежности 0,1 и 0,2 выбираем меньшее. Следующее значение суммы равно 10. Оно может быть реализовано двумя способами: сложением 0,1/5 и 0,9/5 с минимальным значением µA= 0,1 и сложением 0,8/6 c 0,2/4 с минимальным значением µB= 0,2. В качестве µА+В выбираем большее из меньших: µА+В =0,2. Аналогичными рассуждениями приходим к окончательному результату:

А+В = ( 0,1/9; 0,2/10; 0,8/11; 0,4/12; 0,3/13).

Пример 4.4. Выполнить умножение тех же нечетких чисел А и В, что и в примере 4.3.

Умножение, как и сложение, выполняется относительно всех возможных пар носителей, а результату умножения присваивается меньшая из двух степеней принадлежности. В результате получим:

АВ= (0,1/20; 0,2/24; 0/1/25; 0,2/28; 0,8/30; 0,4/35; 0,3/36;0,3/42).

При выполнении операции умножения были получены два результата с носителем, равным 30: 0,1/30 и 0,8/30. В соответствии с максиминным принципом в окончательный результат вошло произведение 0,8/30.

 

Последнее изменение этой страницы: 2016-06-09

lectmania.ru. Все права принадлежат авторам данных материалов. В случае нарушения авторского права напишите нам сюда...