Главная Случайная страница


Категории:

ДомЗдоровьеЗоологияИнформатикаИскусствоИскусствоКомпьютерыКулинарияМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОбразованиеПедагогикаПитомцыПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРазноеРелигияСоциологияСпортСтатистикаТранспортФизикаФилософияФинансыХимияХоббиЭкологияЭкономикаЭлектроника






Устойчивость систем автоматического управления, 2) теоремы А. М. Ляпунова.

Вопрос №1.

Устойчивость систем автоматического управления, 2) теоремы А. М. Ляпунова.

Алгебраические критерии устойчивости.

1) Понятие устойчивости относится к ситуации, когда входные сигналы системы равны нулю, т.е. внешние воздействия отсутствуют. При этом правильно построенная система должна находиться в состоянии равновесия (покоя) или постепенно приближаться к этому состоянию. В неустойчивых системах даже при нулевых входных сигналах возникают собственные колебания и, как следствие, – недопустимо большие ошибки.

Понятие устойчивости

Одним из первых вопросов, возникающих при исследовании и проектировании линейных систем управления, является вопрос об их устойчивости. Линейная система называетсяустойчивой, если при выведении ее внешними воздействиями из состояния равновесия (покоя) она возвращается в него после прекращения внешних воздействий. Если после прекращения внешнего воздействия система не возвращается к состоянию равновесия, то она является неустойчивой. Для нормального функционирования системы управления необходимо, чтобы она была устойчивой, так как в противном случае в ней возникают большие ошибки.

Определение устойчивости обычно проводят на начальном этапе создания системы управления. Это объясняется двумя причинами. Во-первых, анализ устойчивости довольно прост. Во-вторых, неустойчивые системы могут быть скорректированы, т.е. преобразованы в устойчивые с помощью добавления специальных корректирующих звеньев.

2)В теории устойчивости исключительно большое значение имеет «прямой метод» А. М Ляпунова, основывающийся на использовании функций Ляпунова. Это — общий метод, применимый к большому классу нелинейных систем и, конечно, к линейным системам.

Теорема 1. (Теорема Ляпунова об устойчивости.) Если дифференциальные уравнения возмущенного движения таковы, что в некоторой окрестности начала координат существует функция Ляпунова, то равновесие в начале координат устойчиво.

Теорема 2. (Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости.) Если выполнены условия теоремы 1 и, кроме того, функция определенно отрицательна, то равновесие в начале координат асимптотически устойчиво.

Положительно определенная в окрестности точки a, функция, называется функцией Ляпунова.

Функция Ляпунова.

Пусть функция V(x) непрерывно дифференцируема в окрестности точки a, эта функция называется положительно определенной области если

Если же выполнены условия, то функция называется отрицательно определенной.

3) Алгебраические критерии устойчивости позволяют судить об устойчивости системы по коэффициентам характеристического уравнения.

 

Необходимым условием устойчивости системы любого порядка является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения:

Критерий устойчивости Гурвица

Гурвиц разработал алгебраический критерий устойчивости в форме определителей, составляемый из коэффициентов характеристического уравнения системы.

Из коэффициентов характеристического уравнения строят сначала главный определитель Гурвица

 

по следующему правилу: по главной диагонали определителя слева направо выписывают все коэффициенты характеристического уравнения от an-1до a1 в порядке возрастания индексов. Столбцы вверх от главной диагонали дополняют коэффициентами характеристического уравнения с последовательно убывающими индексами, а столбцы вниз – коэффициентами с последовательно возрастающими индексами. На место коэффициентов с индексами больше n и меньше нуля проставляют нули.

Отчеркивая в главном определителе Гурвица диагональные миноры, получим определители Гурвица низшего порядка.

Номер определителя определяется номером коэффициента по диагонали. Сам критерий формулируется следующим образом.

Для того, чтобы система автоматического управления была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все определители Гурвица имели знаки, одинаковые со знаком первого коэффициента характеристического уравнения a0, т.е. при a0> 0:

Если an= 0 или ∆n-1 = 0 при ∆1> 0, ..., то система находится на границе устойчивости, причем при an= 0 − граница апериодической устойчивости (один из корней равен нулю); при an-1 = 0 − граница колебательной устойчивости (имеются два комплексно-сопряженных корня).

По этому критерию можно определить критическое значение параметра, при котором система находится на границе устойчивости.

 

Критерий устойчивости Рауса

Критерий, который предложил Раус, наиболее просто поясняется табл., где -

характеристический полином.

В первой строке записываются в порядке возрастания индексов коэффициенты характеристического уравнения, имеющие четный индекс, во второй − нечетный индекс.

Любой другой коэффициент таблицы определяется как

где ri= c1,i-2 /c1,i-1; k – номер столбца; i – номер строки.

Число строк таблицы Рауса равно степени характеристического полинома плюс единица – (n + 1). После заполнения таблицы можно сделать следующее суждение об устойчивости системы согласно условию устойчивости Рауса.

Для того, чтобы система автоматического управления была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты первого столбца таблицы Рауса имели один и тот же знак, т.е. при a0> 0 были положительными числа:

Если не все коэффициенты первого столбца положительны, то система неустойчива, а число правых корней равно числу перемен знака в первом столбце таблицы Рауса.

Этот критерий очень удобен, когда заданы численные значения коэффициентов характеристического уравнения, очень легок для программирования на ЭВМ и нашел широкое применение при исследовании влияния на устойчивость коэффициентов уравнения либо отдельных параметров системы.

Кофф. ri Строка Столбец
- a0 = c11 a2 = c21 a4 = c31
- a1 = c12 a3 = c22 a5 = c32
r3 = a0/ a1 c13 = a2-r3a3 c23 = c31-r3a32 c33 = c41-r4c42
r4 = a1/ a13 c14 = c22-r4c23    
r5 = a13/ a14      
   
ri = a1,i-2/ a1,i-1   c1,i = c2,i-2-ric3,i-1 c2,i = c3,i-2-ric3,i-1  

 

 

Вопрос №1.

Устойчивость систем автоматического управления, 2) теоремы А. М. Ляпунова.

Последнее изменение этой страницы: 2016-06-09

lectmania.ru. Все права принадлежат авторам данных материалов. В случае нарушения авторского права напишите нам сюда...