Главная Случайная страница


Категории:

ДомЗдоровьеЗоологияИнформатикаИскусствоИскусствоКомпьютерыКулинарияМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОбразованиеПедагогикаПитомцыПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРазноеРелигияСоциологияСпортСтатистикаТранспортФизикаФилософияФинансыХимияХоббиЭкологияЭкономикаЭлектроника






Уравнения Ньютона-Эйлера для вращающейся системы координат.

Для упрощения вычислений пользуются формулой Ньютона-Эйлера, в основе которых лежит второй закон Ньютона.

Для вывода этих уравнений обратимся к подвижной системе координат.

Вращающиеся системы координат

Рисунок 11.1. Вращающаяся система координат

Рассмотрим две системы координат (рис. 11.1): - неподвижная инерционная система координат, - вращающаяся система координат. Начала этих координат совпадают и расположены в точке О, а оси , , вращаются относительно осей , , .

Пусть и - тройки единичных векторов, направленных вдоль основных осей систем и соответственно. Положение точки r, неподвижной относительно системы координат , можно описать следующими двумя способами:

, (11-1) . (11-2)

Найдём скорость точки r. Поскольку обе системы координат взаимно вращаются, скорость точки r(t) будут различны в этих системах. Примем,

Чтобы найти соотношения между скоростями точки r в неподвижной и вращающейся системах координат, предположим, что система вращается вокруг некоторой оси OQ, проходящей через точку О с угловой скоростью (рис. 11.2).

Угловая скорость вращения системы представляет собой по определению вектор длины , направленный вдоль оси OQ в соответствии с правилом правой руки.

Рисунок 11.2. Скорость во вращающейся системе координат

Скорость точки, положение которой задаётся вектором s в системе координат равна:

справедливость выражения (7-8) можно доказать, убедившись, что:

Поскольку равенство векторов обеспечивается совпадением их длин и направлений, векторы в левой и правой частях равенства (11-10) одинаковы по величине и их направления совпадают. Длина вектора равна:

Если величина достаточно мала, то из рис. 11.2 очевидно, что:

Следовательно, длина векторов в левой и правой частях равенства (11-10) равны. В соответствии с определением векторного произведения вектор перпендикулярен вектору s и лежит в плоскости окружности (рис. 11.2).

Применив формулу (11-8) к единичным векторам из равенства (11-7), получаем:

. (11-13)

Это основное соотношение, определяющие связь между скоростями одной и той же точки во вращающейся и неподвижной системах координат. Продифференцировав левую и правую части равенства (11-13), получим:

Равенство (11-14) представляет собой теорему Кориолиса. Первое слагаемое в правой части – ускорение точки в системе . Второе слагаемое описывает кориолисово ускорение. Третье слагаемое – центростремительное ускорение, направленное к оси вращения и перпендикулярное ей. Четвёртое слагаемое исчезает при постоянной угловой скорости.

Уравнения Ньютона-Эйлера для подвижной системы координат

Подвижные системы координат могут участвовать как во вращательном, так и в поступательном движениях относительно некоторой неподвижной инерциальной системы координат. На рис. 12.1 изображена подвижная система координат , которая совершает вращательное и поступательное движения относительно инерциальной системы координат . Положение материальной точки р, обладающей масcой m, относительно систем координат и задается векторами r и r* соответственно. Положение точки О* в системе координат определяется вектором h.

Рисунок 12.1. Подвижная система координат

Соотношения между векторами r и r* даётся выражением (см. рис. 12.1):

. (12-1)

Если система координат движется относительно системы , то:

С учетом равенства (11-13) выражение (12-2) представим:

. (12-3)

Аналогично ускорение точки р в системе координат :

, (12-4)

где и - ускорения точки р в системах координат и соответственно, а - ускорение системы координат в инерциальной системе координат .

С учетом (11-14) равенство (12-4) можно представить в виде:

. (12-5)

Полученные соотношения для подвижных систем координат применима к системам координат звеньев манипулятора.

Последнее изменение этой страницы: 2016-06-09

lectmania.ru. Все права принадлежат авторам данных материалов. В случае нарушения авторского права напишите нам сюда...