Главная Случайная страница


Категории:

ДомЗдоровьеЗоологияИнформатикаИскусствоИскусствоКомпьютерыКулинарияМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОбразованиеПедагогикаПитомцыПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРазноеРелигияСоциологияСпортСтатистикаТранспортФизикаФилософияФинансыХимияХоббиЭкологияЭкономикаЭлектроника






Вопрос 1 – Признаки параллелограмма.

Билет №1

Вопрос 1 – Признаки параллелограмма.

· Если противоположные стороны четырехугольника попарно параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

· Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

· Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

· Если в четырехугольнике диагонали, пересекаясь, точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Вопрос 2 – признаки подобия треугольников (доказательство на выбор экзаменатора)

· Первый признак подобия (по двум углам) – если 2 угла одного треугольника соответственно равны 2 углам другого треугольника, то эти треугольники подобны.

Доказательство:

1) Т.к. сумма углов треугольника = 180 градусам, и у нас 2 угла треугольника =, то у обоих треугольников все углы равны соответственно.

2) Отложим на АB BM и на BC BN. Треугольник BMN = А’B’C’ по стороне и углу, отсюда угол M = A, отсюда прямая MN || AC. По лемме о подобных треугольниках (если провести через треугольник прямую, параллельную любой из сторон, то отсеченный треугольник и исходный будут подобными), треугольник BMN подобен BAC, то есть B’A’C’ подобен BAC.

· Теорема 2. Два треугольника подобны, если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, лежащие между ними, равны.

Пусть в треугольниках ABC и А'В'С' AB/A'B' = BC/B'C' и / В =/ В'

Требуется доказать, что /\ ABC /\ А'В'С' (черт. 368).

3)

Для доказательства отложим, например, на стороне АВ треугольника ABC от вершины В отрезок ВМ, равный отрезку А'В'. Через точку М проведём прямую MN || АС. Полученный треугольник MBN подобен треугольнику ABC (§ 87).
Докажем, что /\ MBN = /\ А'В'С'. В этих треугольниках / В =/ В' по условию теоремы, MB = А'В' по построению. Чтобы убедиться в равенстве сторон BN и В'С, составим пропорцию AB/MB = BC/BN (она вытекает из параллельности АС и MN) и сравним её с пропорцией, которая дана в условии теоремы: AB/A'B' = BC/B'C'. В этих двух пропорциях имеется по три равных члена, следовательно, равны и четвёртые их члены,
т. е. В'С' = BN. Отсюда следует равенство треугольников MBN и А'В'С'.
Так как /\ MBN /\ А'В'С' , то, следовательно, и /\ А'В'С' /\ АВС.

· Теорема 3. Два треугольника подобны, если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника.

Пусть в треугольниках ABC и А'В'С' AB/A'B' = BC/B'C' = AC/A'C' (черт. 369).

Требуется доказать, что /\ ABC /\ А'В'С'

Для доказательства отложим на стороне АВ треугольника ABC от вершины В отрезок ВМ = А'В'. Из точки М проведём прямую MN || АС. Полученный треугольник MBN подобен треугольнику AВС. Следовательно, AB/MB = BC/BN= AC/MN.

Докажем, что /\ MBN = /\ А'В'С'. Для доказательства сравним две пропорции
AB
/MB = BC/NB и AB/A'B' = BC/B'C' . В этих пропорциях имеется по три равных члена, следовательно, равны и четвёртые члены их, т.е. BN = В'С'.
Сравним ещё две пропорции: AB/MB = AC/MN и AB/A'B' = AC/A'C' . В этих пропорциях также имеется по три равных члена, следовательно, равны и четвёртые члены их, т. е. МN = А'С'.
Оказалось, что три стороны /\ BMN равны трём сторонам /\ А'В'С', а именно:
MB = А'В'; BN = В'С' и MN = А'С'.
Следовательно, /\ MBN = /\ А'В'С', а /\ ABC /\ А'В'С' С.

Билет №2

Вопрос 1 – признаки равенства треугольников (доказательство на выбор экзаменатора).

· Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники ABC и A1B1C1, у которых АВ = A1B1, АС = A1C1 ∠ А = ∠ А1 (см. рис.2). Докажем, что Δ ABC = Δ A1B1C1.

Так как ∠ А = ∠ А1, то треугольник ABC можно наложить на треугольник А1В1С1 так, что вершина А совместится с вершиной А1, а стороны АВ и АС наложатся соответственно на лучи А1В1 и A1C1. Поскольку АВ = A1B1, АС = А1С1, то сторона АВ совместится со стороной А1В1 а сторона АС — со стороной А1C1; в частности, совместятся точки В и В1, С и C1. Следовательно, совместятся стороны ВС и В1С1. Итак, треугольники ABC и А1В1С1 полностью совместятся, значит, они равны.

Аналогично методом наложения доказывается теорема 2.

· Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

· Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Правило треугольника

Правило треугольника наиболее естественно следует из понимания вектора как переноса. Ясно, что результат последовательного применения двух переносов и некоторой точки будет тем же, что применение сразу одного переноса , соответствующего этому правилу. Для сложения двух векторов и по правилу треугольника оба эти вектора переносятся параллельно самим себе так, чтобы начало одного из них совпадало с концом другого. Тогда вектор суммы задаётся третьей стороной образовавшегося треугольника, причём его начало совпадает с началом первого вектора, а конец с концом второго вектора.

Это правило прямо и естественно обобщается для сложения любого количества векторов, переходя в правило ломаной:

Правило многоугольника[править | править вики-текст]

Начало второго вектора совмещается с концом первого, начало третьего — с концом второго и так далее, сумма же векторов есть вектор, с началом, совпадающим с началом первого, и концом, совпадающим с концом -го (то есть изображается направленным отрезком, замыкающим ломаную). Так же называется правилом ломаной.

Правило параллелограмма

Для сложения двух векторов и по правилу параллелограмма оба эти векторы переносятся параллельно самим себе так, чтобы их начала совпадали. Тогда вектор суммы задаётся диагональю построенного на них параллелограмма, исходящей из их общего начала. (Легко видеть, что эта диагональ совпадает с третьей стороной треугольника при использовании правила треугольника).

Правило параллелограмма особенно удобно, когда есть потребность изобразить вектор суммы сразу же приложенным к той же точке, к которой приложены оба слагаемых — то есть изобразить все три вектора имеющими общее начало.

Модуль суммы векторов

Модуль суммы двух векторов можно вычислить, используя теорему косинусов:

, где — косинус угла между векторами и .

Если векторы изображены в соответствии с правилом треугольника и берется угол по рисунку — между сторонами треугольника — что не совпадает с обычным определением угла между векторами, а значит и с углом в приведенной формуле, то последний член приобретает знак минус, что соответствует теореме косинусов в её прямой формулировке.

Вычитание векторов

Два вектора и вектор их разности

Для получения разности в координатной форме надо вычесть соответствующие координаты векторов:

Для получения вектора разности начала векторов соединяются и началом вектора будет конец , а концом — конец . Если записать, используя точки векторов, то .

Модуль разности векторов

Три вектора , как и при сложении, образуют треугольник, и выражение для модуля разности получается аналогичным:

где — косинус угла между векторами и

Отличие от формулы модуля суммы в знаке перед косинусом, при этом надо хорошо следить, какой именно угол берется (вариант формулы модуля суммы с углом между сторонами треугольника при суммировании по правилу треугольника по виду не отличается от данной формулы для модуля разности, но надо иметь в виду, что для тут берутся разные углы: в случае суммы берётся угол, когда вектор переносится к концу вектора , когда же ищется модель разности, берётся угол между векторами, приложенными к одной точке; выражение для модуля суммы с использованием того же угла, что в данном выражении для модуля разности, отличается знаком перед косинусом).

 

Билет №3

Билет №4

Билет №5

Билет №6

Билет №7

Вопрос 2 – Теорема косинусов

A2=B2+C2-2BC*cos(A) B2=A2+C2-2AC*cos(B) C2=A2+B2-2AB*cos(C)

Билет №8

Билет №9

Билет №10

Билет 11

Вопрос 2 – Площадь трапеции.

Полусумма оснований на высоту, проведенную к этим основаниям.

Средняя линия на высоту.

½ синуса угла между диагоналями на произведение их длин.

Билет №12

Шаги

1.

Посмотрите на данный вам угол.

2.

Найдите вершину угла.

3.

Установите иглу циркуля в вершине угла и проведите дугу, пересекающую стороны угла в двух точках (раствор циркуля установите равным любому значению). Назовем эту дугу «первой» дугой.

4.

Установите иглу циркуля в точке пересечения первой дуги со стороной угла. Проведите «вторую» дугу так, чтобы она располагалась правее первой дуги между сторонами угла (раствор циркуля установите равным любому значению).

5.

 

Не меняйте раствор циркуля! Установите иглу циркуля в другой точке пересечения первой дуги со стороной угла и проведите «третью» дугу так, чтобы она пересекла вторую дугу.

6.

Проведите прямую, исходящую из вершины данного угла и проходящую через точку пересечения второй и третьей дуг.

· Вы построили биссектрису.

 

Шаги

1.

Обозначьте данный вам угол как ABC.

2.

Нанесите точку М – она будет вершиной нового угла.

3.

Проведите луч MN (в любом направлении и любой длины). Он будет служить в качестве стороны угла.

4.

Установите раствор циркуля меньшим ВА и ВС (то есть меньше сторон данного вам угла).

5.

 

Установите иглу циркуля в точке В (вершине данного вам угла) и проведите дугу, пересекающую стороны угла BA и BC в некоторых точках X и Y, соответственно.

6.

Не меняйте раствор циркуля и установите его иглу в точке М (вершине нового угла).

7.

Проведите дугу, пересекающую луч MN в некоторой точке F.

8.

Установите раствор циркуля равным длине отрезка XY.

9.

Установите иглу циркуля в точке F и проведите дугу, пересекающую первую дугу в некоторой точке G.

10.

Проведите луч ML, исходящий из точки М и проходящий через точку G.

11.

Новый угол LMN равен данному вам углу ABC.

 

Билет №13

Билет №14

Вопрос 1 – Теорема Фалеса

Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные отрезки.

Билет №15

Билет №16

Билет №17

Билет №18

Билет №19

Билет №20

Билет №1

Вопрос 1 – Признаки параллелограмма.

· Если противоположные стороны четырехугольника попарно параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

· Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

· Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

· Если в четырехугольнике диагонали, пересекаясь, точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Вопрос 2 – признаки подобия треугольников (доказательство на выбор экзаменатора)

· Первый признак подобия (по двум углам) – если 2 угла одного треугольника соответственно равны 2 углам другого треугольника, то эти треугольники подобны.

Доказательство:

1) Т.к. сумма углов треугольника = 180 градусам, и у нас 2 угла треугольника =, то у обоих треугольников все углы равны соответственно.

2) Отложим на АB BM и на BC BN. Треугольник BMN = А’B’C’ по стороне и углу, отсюда угол M = A, отсюда прямая MN || AC. По лемме о подобных треугольниках (если провести через треугольник прямую, параллельную любой из сторон, то отсеченный треугольник и исходный будут подобными), треугольник BMN подобен BAC, то есть B’A’C’ подобен BAC.

· Теорема 2. Два треугольника подобны, если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, лежащие между ними, равны.

Пусть в треугольниках ABC и А'В'С' AB/A'B' = BC/B'C' и / В =/ В'

Требуется доказать, что /\ ABC /\ А'В'С' (черт. 368).

3)

Для доказательства отложим, например, на стороне АВ треугольника ABC от вершины В отрезок ВМ, равный отрезку А'В'. Через точку М проведём прямую MN || АС. Полученный треугольник MBN подобен треугольнику ABC (§ 87).
Докажем, что /\ MBN = /\ А'В'С'. В этих треугольниках / В =/ В' по условию теоремы, MB = А'В' по построению. Чтобы убедиться в равенстве сторон BN и В'С, составим пропорцию AB/MB = BC/BN (она вытекает из параллельности АС и MN) и сравним её с пропорцией, которая дана в условии теоремы: AB/A'B' = BC/B'C'. В этих двух пропорциях имеется по три равных члена, следовательно, равны и четвёртые их члены,
т. е. В'С' = BN. Отсюда следует равенство треугольников MBN и А'В'С'.
Так как /\ MBN /\ А'В'С' , то, следовательно, и /\ А'В'С' /\ АВС.

· Теорема 3. Два треугольника подобны, если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника.

Пусть в треугольниках ABC и А'В'С' AB/A'B' = BC/B'C' = AC/A'C' (черт. 369).

Требуется доказать, что /\ ABC /\ А'В'С'

Для доказательства отложим на стороне АВ треугольника ABC от вершины В отрезок ВМ = А'В'. Из точки М проведём прямую MN || АС. Полученный треугольник MBN подобен треугольнику AВС. Следовательно, AB/MB = BC/BN= AC/MN.

Докажем, что /\ MBN = /\ А'В'С'. Для доказательства сравним две пропорции
AB
/MB = BC/NB и AB/A'B' = BC/B'C' . В этих пропорциях имеется по три равных члена, следовательно, равны и четвёртые члены их, т.е. BN = В'С'.
Сравним ещё две пропорции: AB/MB = AC/MN и AB/A'B' = AC/A'C' . В этих пропорциях также имеется по три равных члена, следовательно, равны и четвёртые члены их, т. е. МN = А'С'.
Оказалось, что три стороны /\ BMN равны трём сторонам /\ А'В'С', а именно:
MB = А'В'; BN = В'С' и MN = А'С'.
Следовательно, /\ MBN = /\ А'В'С', а /\ ABC /\ А'В'С' С.

Билет №2

Вопрос 1 – признаки равенства треугольников (доказательство на выбор экзаменатора).

· Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники ABC и A1B1C1, у которых АВ = A1B1, АС = A1C1 ∠ А = ∠ А1 (см. рис.2). Докажем, что Δ ABC = Δ A1B1C1.

Так как ∠ А = ∠ А1, то треугольник ABC можно наложить на треугольник А1В1С1 так, что вершина А совместится с вершиной А1, а стороны АВ и АС наложатся соответственно на лучи А1В1 и A1C1. Поскольку АВ = A1B1, АС = А1С1, то сторона АВ совместится со стороной А1В1 а сторона АС — со стороной А1C1; в частности, совместятся точки В и В1, С и C1. Следовательно, совместятся стороны ВС и В1С1. Итак, треугольники ABC и А1В1С1 полностью совместятся, значит, они равны.

Аналогично методом наложения доказывается теорема 2.

· Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

· Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Последнее изменение этой страницы: 2016-06-09

lectmania.ru. Все права принадлежат авторам данных материалов. В случае нарушения авторского права напишите нам сюда...