Пропускная способность непрерывного гауссовского канала

Рассмотрим полностью непрерывный (по времени и состоянию) канал. На его входе и выходе присутствуют непрерывные колебания x(t) и y(t) (см. рисунок).

Предположим, что:

1) шум в канале z(t) аддитивен, т.e. y(t)=x(t)+z(t);

2) шум гауссовский (ПВ его отсчетов есть W_G(x));

3) полоса пропускания канала равна W.

Подобный канал называют гауссовскимс полосой W.

Благодаря конечности полосы, дискретизация входного и выходного процессов с частотой Найквиста-Котельникова T_d=1/2W преобразует непрерывный по времени канал в дискретный с непрерывными (принадлежащими континуальному алфавиту) символами на входе и выходе. Пусть также спектральная плотность шума равномерна в пределах полосы с односторонней спектральной плотностью мощности N₀. Тогда автокорреляционная функция шума описывается законом «sinc» (см.рисунок).

Как теперь видно, отсчеты с частотой Найквиста-Котельникова некоррелированы, т.е., будучи гауссовскими, независимы. Таким образом, эквивалентный дискретный по времени канал оказывается каналом без памяти. Распространение понятия пропускной способности ДКБП на случай непрерывного алфавита символов дает:

,

где максимизация проводится по ПВ входных символов W(x). Из y=x+z следует, что H_d(Y|X)=H_d(Z)=(1/2)log2pes² не зависит от W(x), и только H_d(Y) можно максимизировать подбором W(x). Но при ограниченной средней мощности сигнала P_s и фиксированной мощности шума P_n= s² мощность на выходе не может превысить P_s+P_n,_, означая, что maxH_d(Y) =(1/2)log2pe(P_s+ P_n). После перехода к скорости передачи в реальном масштабе времени C_t=C/T_d придем к знаменитой формуле Шеннона для пропускной способности гауссовского канала:

.

Этот результат показывает, что для увеличения скорости надежной передачи данных проектировщик имеет в своем распоряжении два (и только два!) ключевых ресурса: мощность сигналаP_sи занимаемую полосуW. Канальное кодирование является инструментом экономии мощности (т.е. энергии) сигнала за счет вовлечения избыточности: полоса кодированного потока данных всегда шире, чем некодированного.

В реальности спектральная плотность мощности шума N₀ может зачастую считаться постоянной в произвольной полосе W, так что P_n=N₀W и, когда полоса расширяется, пропускная способность растет, стремясь к пределу

,

называемому пропускной способностью гауссовского канала с неограниченной полосой. Безусловно, эта формула может использоваться и для ограниченного по полосе канала, если P_s /P_n=P_s /N₀W<<1. Подобный результат демонстрирует потенциальную возможность надежно передавать данные с ненулевой скоростью при исчезающее малом отношении сигнал-шумпо мощности в канале.

Вспомнив, что C_t - максимальная теоретически достижимая скорость R_t безошибочной передачи, введем число бит/с, передаваемых в пересчете на 1 Гц полосы канала, как R_t /W. При этом из формулы Шеннона можно вывести границу Шеннона

,

показывающую зависимость достижимой спектральной эффективности R_t/W (скорости на 1 Гц) от отношения сигнал-шум на бит, где E_b – энергия сигнала на бит (но не кодовый символ!) полезной информации.

Рисунок показывает, что ненулевая скорость на 1Гц достижима при E_b/N₀>ln2. Если при проектировании системы высшим приоритетом является энергосбережение (величина E_b/N₀ не может быть значительной), единственным средством повышения надежности передачи служит расширение полосы (W>>R_t). Напротив, когда главная цель – высокая спектральная эффективность (R_t>>W), проектировщик вынужден полагаться только на достаточную излучаемую энергию E_b/N₀>>1. Оба указанных сценария весьма типичны для современных телекоммуникационных систем.

Тема 3 Введение в блоковые коды