Произвольная плоская система сил

Статика. Основные положения

Статикой называется раздел теоретической механики, в котором рассматриваются операции с силами и равновесие твердых тел. Под состоянием равновесия твердого тела понимают не только состояние покоя, но и движение по инерции. В основе теоретической механики лежат экспериментально установленные аксиомы (законы), справедливость которых проверена многовековой практической деятельностью человека.

При действии сил на свободные тела их равновесие может быть нарушено. Тела или системы тел, равновесие которых изучается, несвободны, так как их перемещению в пространстве препятствуют другие (неподвижные) тела, скрепленные или соприкасающиеся с первыми. Тела, которые ограничивают (связывают) перемещение данного тела, называются связями.

Сила, с которой данная связь действует на тело, препятствуя его перемещению, называется силой реакции связи или просто реакцией связи. Значения реакций связей определяются в процессе решения соответствующей задачи механики. Направлена же реакция связи в сторону, противоположную той, куда связь не дает перемещаться телу. Ниже представлены наиболее часто встречающиеся типы связей и направления их реакций.

Рис. 1

Гладкая плоскость (поверхность или опора) (рис. 1). Реакция гладкой поверхности или опоры направлена по общей нормали к поверхностям соприкасающихся тел в точке их касания и приложена в этой точке.

Рис. 2

Нить (канат, цепь, ремень, трос). Связь, осуществленная в виде гибкой нерастяжимой нити (рис. 2), не дает телу М удаляться от точки подвеса нити по направлению АМ. Поэтому реакция натянутой нити направлена вдоль нее от тела к точке подвеса.

Неподвижный цилиндрический шарнир или подшипник (шарнирно-неподвижная опора). Цилиндрическим шарниром (рис. 3) называется совокупность неподвижной обоймы (втулки) 1 и помещенного в нее валика (пальца) 2, жестко соединенного с телом 3. В точке С соприкосновения втулки с валиком возникает сила опорной реакции, направленная по нормали к идеально гладким поверхностям. Эта нормаль проходит через геометрический центр А валика. Так как положение точки С соприкосновения валика со втулкой заранее не известно, то невозможно сразу указать направление силы реакции , но можно утверждать, что линия действия реакции всегда пройдет через центр А шарнира. На расчетных схемах шарнирно-неподвижная опора условно изображается так, как показано на рис. 4. Неизвестную по модулю и направлению реакцию при решении задач представляют в виде двух ее взаимно-перпендикулярных составляющих и . После определения их значений находят значение реакции и ее направление:

,

Рис. 3 Рис. 4

Рис. 5

Шарнирно-подвижная опора (опора на катках). Реакция такой связи проходит через центр шарнира (рис. 5) и направлена перпендикулярно к опорной плоскости.

Рис. 6

Рис. 7

Сферический шарнир (рис. 6). Сферическим шарниром называется устройство, выполненное в виде двух контактирующих сфер, геометрический центр А которых неподвижен. Тело 3, равновесие которого рассматривается, жестко связано с внутренней подвижной сферой 1. При условии, что сферические поверхности гладкие, реакция направлена по нормали к этим поверхностям и проходит через центр А сферы. На расчетных схемах реакцию представляют в виде трех ее взаимно-перпендикулярных составляющих , и , направленных вдоль координатных осей.

Подпятник (рис. 7). Подпятник представляет собой соединение цилиндри-ческого шарнира 2 и опорной плоскости 3, на которую опирается вал 1. Реакция подшипника, лежащая в плоскости перпен-дикулярной оси вала, представляется двумя ее взаимно-перпендикулярными составляющими и , а реакция опорной плоскости - реакцией , направленной по нормали к этой плоскости.

Невесомый стержень (рис. 8). Реакция прямолинейного невесомого (идеального) стержня направлена вдоль этого стержня. Если связью является криволинейный стержень, то реакция направлена вдоль прямой АВ, соединяющей концевые шарниры А и В.

Рис. 8

Жесткая заделка (неподвижное защемление) конца балки (рис. 9). Такая связь не допускает не только линейных перемещений балки 1 вдоль координатных осей, но и вращения балки в плоскости хАу.

Рис. 9

Нахождение реакций жесткой заделки сводится к определению трех неизвестных величин: составляющих и реакции и так называемого реактивного момента М_А, препятствующего вращению балки в плоскости хАу вокруг точки А.

Для того чтобы составить уравнения равновесия, надо уметь вычислять проекции сил на координатные оси и выполнять операции сложения и разложения сил.

Проекцией силы на ось называется алгебраическая величина, равная произведению модуля силы на косинус угла между силой и положительным направлением оси. Так, для сил, изображенных на рис. 10:

F_x = a₁b₁ = Fcos a;F_у = a₂b₂ = F cos (90° - a) = F sin a;

Q_x = c₁d₁ = Q cos b = Q cos (180° + g) = - Q cosg;

Q_у = c₂d₂= Q cos (90° + g) = - Q sin g.

Проекцией силы на плоскость Оху называется вектор = , заключенный между проекциями начала и конца силы на эту плоскость (рис. 11).

Рис. 10

По модулю F_ху = F cos q, где q - угол между направлением силы и ее проекцией .

В некоторых случаях для нахождения проекции силы на ось удобнее сначала найти ее проекцию на плоскость, в которой расположена эта ось, а затем полученный вектор спроецировать на данную ось. Например, в случае, изображенном на рис. 11, найдем:

F_х = ОВ₂ = F_ху cos j = F cos q×cosj,

F_у = ОВ₃ = F_ху sin j = F cos q×sin j.

Рис. 11

Геометрическое сложение сил , , ..., основывается на построении в масштабе векторного многоугольника, замыкающая сторона которого представляет эту сумму и называется главным вектором (рис. 12).

Рис. 12

Аналитическое сложение сил основано на известной теореме векторной алгебры: проекция вектора суммы на ось равна алгебраической сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось:

Модуль (численное значение) главного вектора

Действие силы на твердое тело может вызвать вращательный эффект, который для плоской системы сил оценивается моментом силы относительно какой-либо точки О на плоскости (рис. 13):

; ,

где h₁ и h₂ - плечи сил и относительно точки О.

Рис. 13

Плечом называется длина перпендикуляра, опущенного из точки О на линию действия соответствующей силы. Если данная сила стремится вращать тело вокруг точки О против хода часовой стрелки, то ее моменту относительно этой точки приписывают знак «+». Момент силы относительно точки равен нулю, если линия действия силы проходит через эту точку, так как при этом плечо равно нулю (например, ).

Вычисление момента силы относительно какой-либо точки во многих случаях упрощается, если эту силу разложить на две взаимно-перпендикулярные составляющие и применить теорему Вариньона, согласно которой момент равнодействующей сходящихся сил относительно любого центра равен сумме моментов составляющих сил относительно того же центра. Например, для равнодействующей силы и ее составляющих и (рис. 14) имеем:

где

Таким образом,

Вращательный эффект вызывает также пара сил, под которой понимается совокупность двух сил, равных по модулю, направленных в противоположные стороны и линии действия которых параллельны (рис. 15).

Рис. 14

Пара сил, стремящаяся вращать тело против хода часовой стрелки, считается положительной, а по ходу часовой стрелки - отрицательной. Пара сил характеризуется ее моментом, который равен взятому со знаком «плюс» или «минус» произведению модуля одной из сил данной пары на плечо пары, т. е. на кратчайшее расстояние между линиями действия сил пары.

Рис. 15

Обозначив момент пары буквой m, а плечо пары буквой d, будем иметь (рис. 15):

m₁ = F₁ × d₁; m₂ = -F₂ × d₂.

Систему пар сил, расположенных в одной плоскости, можно заменить одной эквивалентной парой, момент которой М равен алгебраической сумме моментов пар:

М = m₁ + m₂ + ... +m_n = (k = 1, 2, ..., n).

Система сходящихся сил

Пример С3. . Конструкция состоит из невесомых стержней 1, 2, ..., 6, соединенных друг с другом (в узлах K и М) и с неподвижными опорами А, В, С, D шарнирами (рис. С3). В узлах K и М приложены силы и , образующие с координатными осями углы a₁, b₁, g₁ и a₂, b₂, g₂ соответственно (на рисунке показаны только углы a₁, b₁, g₁).

Дано: Р = 100 Н, a₁ = 60°, b₁ = 60°, g₁ = 45°; Q = 50 H, a₂ = 45°, b₂ = 60°, g₂ = 60°, y = 30°, j = 60°, d = 74°. Определить усилия в стержнях 1-6.

Рис. С3

Решение. 1. Рассмотрим равновесие узла K, в котором сходятся стержни 1, 2, 3. На узел действуют сила и реакции , , стержней, которые направим по стержням от узла, считая стержни растянутыми. Составим уравнения равновесия этой пространственной системы сходящихся сил:

(13)

(14)

(15)

Из уравнения (15) находим:

Из уравнения (13):

Из уравнения (14):

N₁ = P×cos b₁ - N₂×cos y.

N₁ = 100×cos 60° - (-345)×cos 30° = 348,78 Н.

2. Рассмотрим равновесие узла М. На узел действуют сила и реакции , , , стержней. При этом по закону о равенстве действия и противодействия реакция направлена противоположно , численно же = N₂. Составим уравнения равновесия:

(16)

(17)

(18)

При определении проекций силы на оси х и у в уравнениях (16) и (17) удобнее сначала найти проекцию этой силы на плоскость хОу (по числовой величине ), а затем найденную проекцию на плоскость спроектировать на оси х, у.

Решая уравнение (17), находим:

Из уравнения (16):

Из уравнения (18):

Ответ: N₁ = 348,78 H, N₂ = - 345 H, N₃ = 141 H, N₄ = 49,79 H, N₅ = 328,86 H, N₆ = 65,48 H. Знаки показывают, что стержень 2 сжат, остальные растянуты.

Статика. Основные положения

Статикой называется раздел теоретической механики, в котором рассматриваются операции с силами и равновесие твердых тел. Под состоянием равновесия твердого тела понимают не только состояние покоя, но и движение по инерции. В основе теоретической механики лежат экспериментально установленные аксиомы (законы), справедливость которых проверена многовековой практической деятельностью человека.

При действии сил на свободные тела их равновесие может быть нарушено. Тела или системы тел, равновесие которых изучается, несвободны, так как их перемещению в пространстве препятствуют другие (неподвижные) тела, скрепленные или соприкасающиеся с первыми. Тела, которые ограничивают (связывают) перемещение данного тела, называются связями.

Сила, с которой данная связь действует на тело, препятствуя его перемещению, называется силой реакции связи или просто реакцией связи. Значения реакций связей определяются в процессе решения соответствующей задачи механики. Направлена же реакция связи в сторону, противоположную той, куда связь не дает перемещаться телу. Ниже представлены наиболее часто встречающиеся типы связей и направления их реакций.

Рис. 1

Гладкая плоскость (поверхность или опора) (рис. 1). Реакция гладкой поверхности или опоры направлена по общей нормали к поверхностям соприкасающихся тел в точке их касания и приложена в этой точке.

Рис. 2

Нить (канат, цепь, ремень, трос). Связь, осуществленная в виде гибкой нерастяжимой нити (рис. 2), не дает телу М удаляться от точки подвеса нити по направлению АМ. Поэтому реакция натянутой нити направлена вдоль нее от тела к точке подвеса.

Неподвижный цилиндрический шарнир или подшипник (шарнирно-неподвижная опора). Цилиндрическим шарниром (рис. 3) называется совокупность неподвижной обоймы (втулки) 1 и помещенного в нее валика (пальца) 2, жестко соединенного с телом 3. В точке С соприкосновения втулки с валиком возникает сила опорной реакции, направленная по нормали к идеально гладким поверхностям. Эта нормаль проходит через геометрический центр А валика. Так как положение точки С соприкосновения валика со втулкой заранее не известно, то невозможно сразу указать направление силы реакции , но можно утверждать, что линия действия реакции всегда пройдет через центр А шарнира. На расчетных схемах шарнирно-неподвижная опора условно изображается так, как показано на рис. 4. Неизвестную по модулю и направлению реакцию при решении задач представляют в виде двух ее взаимно-перпендикулярных составляющих и . После определения их значений находят значение реакции и ее направление:

,

Рис. 3 Рис. 4

Рис. 5

Шарнирно-подвижная опора (опора на катках). Реакция такой связи проходит через центр шарнира (рис. 5) и направлена перпендикулярно к опорной плоскости.

Рис. 6

Рис. 7

Сферический шарнир (рис. 6). Сферическим шарниром называется устройство, выполненное в виде двух контактирующих сфер, геометрический центр А которых неподвижен. Тело 3, равновесие которого рассматривается, жестко связано с внутренней подвижной сферой 1. При условии, что сферические поверхности гладкие, реакция направлена по нормали к этим поверхностям и проходит через центр А сферы. На расчетных схемах реакцию представляют в виде трех ее взаимно-перпендикулярных составляющих , и , направленных вдоль координатных осей.

Подпятник (рис. 7). Подпятник представляет собой соединение цилиндри-ческого шарнира 2 и опорной плоскости 3, на которую опирается вал 1. Реакция подшипника, лежащая в плоскости перпен-дикулярной оси вала, представляется двумя ее взаимно-перпендикулярными составляющими и , а реакция опорной плоскости - реакцией , направленной по нормали к этой плоскости.

Невесомый стержень (рис. 8). Реакция прямолинейного невесомого (идеального) стержня направлена вдоль этого стержня. Если связью является криволинейный стержень, то реакция направлена вдоль прямой АВ, соединяющей концевые шарниры А и В.

Рис. 8

Жесткая заделка (неподвижное защемление) конца балки (рис. 9). Такая связь не допускает не только линейных перемещений балки 1 вдоль координатных осей, но и вращения балки в плоскости хАу.

Рис. 9

Нахождение реакций жесткой заделки сводится к определению трех неизвестных величин: составляющих и реакции и так называемого реактивного момента М_А, препятствующего вращению балки в плоскости хАу вокруг точки А.

Для того чтобы составить уравнения равновесия, надо уметь вычислять проекции сил на координатные оси и выполнять операции сложения и разложения сил.

Проекцией силы на ось называется алгебраическая величина, равная произведению модуля силы на косинус угла между силой и положительным направлением оси. Так, для сил, изображенных на рис. 10:

F_x = a₁b₁ = Fcos a;F_у = a₂b₂ = F cos (90° - a) = F sin a;

Q_x = c₁d₁ = Q cos b = Q cos (180° + g) = - Q cosg;

Q_у = c₂d₂= Q cos (90° + g) = - Q sin g.

Проекцией силы на плоскость Оху называется вектор = , заключенный между проекциями начала и конца силы на эту плоскость (рис. 11).

Рис. 10

По модулю F_ху = F cos q, где q - угол между направлением силы и ее проекцией .

В некоторых случаях для нахождения проекции силы на ось удобнее сначала найти ее проекцию на плоскость, в которой расположена эта ось, а затем полученный вектор спроецировать на данную ось. Например, в случае, изображенном на рис. 11, найдем:

F_х = ОВ₂ = F_ху cos j = F cos q×cosj,

F_у = ОВ₃ = F_ху sin j = F cos q×sin j.

Рис. 11

Геометрическое сложение сил , , ..., основывается на построении в масштабе векторного многоугольника, замыкающая сторона которого представляет эту сумму и называется главным вектором (рис. 12).

Рис. 12

Аналитическое сложение сил основано на известной теореме векторной алгебры: проекция вектора суммы на ось равна алгебраической сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось:

Модуль (численное значение) главного вектора

Действие силы на твердое тело может вызвать вращательный эффект, который для плоской системы сил оценивается моментом силы относительно какой-либо точки О на плоскости (рис. 13):

; ,

где h₁ и h₂ - плечи сил и относительно точки О.

Рис. 13

Плечом называется длина перпендикуляра, опущенного из точки О на линию действия соответствующей силы. Если данная сила стремится вращать тело вокруг точки О против хода часовой стрелки, то ее моменту относительно этой точки приписывают знак «+». Момент силы относительно точки равен нулю, если линия действия силы проходит через эту точку, так как при этом плечо равно нулю (например, ).

Вычисление момента силы относительно какой-либо точки во многих случаях упрощается, если эту силу разложить на две взаимно-перпендикулярные составляющие и применить теорему Вариньона, согласно которой момент равнодействующей сходящихся сил относительно любого центра равен сумме моментов составляющих сил относительно того же центра. Например, для равнодействующей силы и ее составляющих и (рис. 14) имеем:

где

Таким образом,

Вращательный эффект вызывает также пара сил, под которой понимается совокупность двух сил, равных по модулю, направленных в противоположные стороны и линии действия которых параллельны (рис. 15).

Рис. 14

Пара сил, стремящаяся вращать тело против хода часовой стрелки, считается положительной, а по ходу часовой стрелки - отрицательной. Пара сил характеризуется ее моментом, который равен взятому со знаком «плюс» или «минус» произведению модуля одной из сил данной пары на плечо пары, т. е. на кратчайшее расстояние между линиями действия сил пары.

Рис. 15

Обозначив момент пары буквой m, а плечо пары буквой d, будем иметь (рис. 15):

m₁ = F₁ × d₁; m₂ = -F₂ × d₂.

Систему пар сил, расположенных в одной плоскости, можно заменить одной эквивалентной парой, момент которой М равен алгебраической сумме моментов пар:

М = m₁ + m₂ + ... +m_n = (k = 1, 2, ..., n).

Произвольная плоская система сил

Под произвольной системой сил понимают совокупность сил, расположенных в одной плоскости, линии действия которых не пересекаются в одной точке. Произвольную плоскую систему сил можно значительно упростить, приведя силы к одному центру приведения О. В результате чего в этом центре будет приложена сила , называемая главным вектором, и к телу в целом будет приложена пара сил с моментом М_О, называемым главным моментом относительно этого центра.

Главный вектор равен геометрической сумме сил, входящих в данную систему, а главный момент М_О - алгебраической сумме моментов сил относительно центра приведения, включая и алгебраическую сумму моментов пар сил:

,

Численное значение главного вектора определяется по его проекциям на координатные оси:

,

где и

Направление главного вектора находят по косинусам направляющих углов:

где , - орты осей Ох и Оу.

Условиями равновесия тела под действием произвольной плоской системы сил являются равенство нулю главного вектора и главного момента относительно любого центра О:

= 0 и М_О = 0.

Эти условия выполняются, если

(1)

Уравнения (1) называются основными уравнениями равновесия. Существуют еще две формы уравнений равновесия:

(2)

(3)

В системе уравнений (2) ось х не должна быть перпендикулярной к прямой, проходящей через центры А и В, а центры А, В и С в системе (3) не должны лежать на одной прямой.

Пример С1. Жесткая рама АDСВ (рис. С1) имеет в точке А неподвижную шарнирную опору, а в точке В – подвижную шарнирную опору на катках. Все действующие нагрузки и размеры показаны на рисунке.

Дано: F = 25 кН, a = 60°, Р = 18 кН, g = 75°, М = 50 кН×м, b = 30°, а = 0,5 м. Определить: реакции в точках А и В, вызываемые действующими нагрузками.

Решение. 1. Рассмотрим равновесие рамы. Проведем координатные оси ху и изобразим действующие на раму силы: силу , пару сил с моментом М, натяжение троса (по модулю Т = Р) и реакции связей , , (реакцию неподвижной шарнирной опоры А изображаем двумя ее составляющими, реакция шарнирной опоры на катках направлена перпендикулярно опорной плоскости).

Рис. С1

2. Для полученной плоской системы сил составим три уравнения равновесия. При вычислении момента силы относительно точки Авоспользуемся теоремой Вариньона, т. е. разложим силу на составляющие , ( ) и учтем, что . Получим:

(4)

(5)

(6)

Из уравнения (6) находим:

Из уравнения (4):

Из уравнения (5):

Ответ:

Знаки указывают, что реакции и направлены противоположно показанным на рисунке.

Для проверки правильности полученных результатов составим и решим проверочное уравнение равновесия в форме моментов всех сил относительно точки С.

Пример С2. Конструкция состоит из жесткого угольника АЕС и стержня СК, которые в точке С (рис. С2а) соединены друг с другом с помощью цилиндрического шарнира.

Внешними связями являются: в точке А - шарнирно-неподвижная опора, в точке В - невесомый стержень ВВ¢, в точке D - шарнирно-подвижная опора. К конструкции приложена сила , пара сил с моментом М и равномерно распределенная на участке КВ нагрузка интенсивности q.

Дано: F = 10 кН, a = 60°, q = 20 кН/м, М = 50 кН×м, а = 0,5 м.

Определить реакции связей в точках А, В, С и D, вызванные заданными нагрузками.

Рис. С2а

Решение.1. Для определения реакций расчленим систему по шарниру С и рассмотрим сначала равновесие стержня КС (рис. С2б). Проведем координатные оси ху и изобразим действующие на стержень силы: равномерно распределенную нагрузку заменим силой , приложенной в середине участка ВК (численно Q = q×2а = 20 кН), реакцию стержня ВВ¢ направим вдоль этого стержня, а действие отброшенного угольника АЕС представим составляющими и реакции шарнира С.

Рис. С2б

Для полученной плоской системы сил составляем три уравнения равновесия:

(7)

(8)

(9)

При вычислении момента силы разлагаем ее на составляющие и и применяем теорему Вариньона ( , ).

Из уравнения (9) находим:

Из уравнения (7):

Из уравнения (8):

2. Теперь рассмотрим равновесие угольника (рис. С2в).

Рис. С2в

На него действуют: сила , пара сил с моментом М, реакция шарнирно-подвижной опоры D, составляющие и реакции шарнирно неподвижной опоры А и составляющие и реакции , направленные противоположно соответствующим реакциям и , которые были приложены к стержню КС. При решении учитываем, что численно